中考数学压轴题分析勾股树

　　【中考真题】
　　（2020·七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
　　（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
　　（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
　　【分析】
　　一个三角形往外构造两个相似的图形，这样的模非常常见。
　　也可以说成是＂共点双正方形＂。如果换成等腰直角三角形、等边三角形、菱形等都是可以的。会产生很多结论。
　　题（1）比较特殊，是等腰直角三角形往外构造两个正方形，易得他们是全等的正方形，那么△AEG就是等腰直角三角形，容易得到AN是∠EAG的平分线，所以EN与EG必然相等。
　　那么题（2）就是在（1）的基础上面变形，由特殊到一般的过程。
　　如何证明两条线段相等呢？
　　一般可以考虑用全等或者等腰的方式进行证明。
　　本题中出现的比较多的是直角，可以考虑构造三垂直。
　　此时，易得△AEP≌△BAM，及△AQG≌△AMC。然后再证明△EPN与△GQN全等即可。
　　图3有了图2的基础，用一样的方法就可以得到结论了。
　　本题的图比较特殊，其实证明的方法还是有多种的。比如下图。
　　继续延长MA，与过点E作AG的平行线EO交于点O。我们就可以得到红色的两个三角形全等了，进而得到四边形EOGA其实是平行四边形，对角线自然平分了。
　　【答案】 解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
　　∴∠ACB＝45°，
　　∵AM⊥BC，
　　∴∠MAC＝45°，
　　∴∠EAN＝∠MAC＝45°，
　　同理∠NAG＝45°，
　　∴∠EAN＝∠NAG，
　　∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，
　　∴AE＝AB＝AC＝AG，
　　∴EN＝GN．
　　（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．
　　理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
　　∵四边形ABDE是正方形，
　　∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
　　∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
　　∵AM⊥BC，
　　∴∠ABM+∠BAM＝90°，
　　∴∠ABM＝∠EAP，
　　在△ABM和△EAP中，
　　∠ABM=∠EAP，∠AMB=∠P=90°，AB=AE，
　　∴△ABM≌△EAP（AAS），
　　∴EP＝AM，
　　同理可得：GQ＝AM，
　　∴EP＝GQ，
　　在△EPN和△GQN中，
　　∠P=∠NQG，∠ENP=∠GNQ，EP=GQ，
　　∴△EPN≌△GQN（AAS），
　　∴EN＝NG．
　　如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立．
　　理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
　　∵四边形ABDE是正方形，
　　∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
　　∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
　　∵AM⊥BC，
　　∴∠ABM+∠BAM＝90°，
　　∴∠ABM＝∠EAP，
　　在△ABM和△EAP中，
　　∠ABM=∠EAP，∠AMB=∠P=90°，AB=AE，
　　∴△ABM≌△EAP（AAS），
　　∴EP＝AM，
　　同理可得：GQ＝AM，
　　∴EP＝GQ，
　　在△EPN和△GQN中，
　　∠P=∠NQG，∠ENP=∠GNQ，EP=GQ，
　　∴△EPN≌△GQN（AAS），
　　∴EN＝NG．