中考数学压轴题分析切线问题

　　【中考真题】
　　（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
　　（1）求证：直线CD与⊙O相切；
　　（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．
　　【分析】
　　题（1）比较简单，但是也比较典型少见。根据＂无交点，作垂直，证半径＂进行求解即可。
　　题（2）难度也不大，只需要进行转化即可。可以连接BE，或者连接OE都可以进行转化，易得∠APE＝∠OBC，求出∠OBC的tan即可。
　　【答案】 解：（1）作OE⊥CD于E，如图1所示：
　　则∠OEC＝90°，
　　∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
　　∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，
　　∴∠OEC＝∠OBC，
　　∵CO平分∠BCD，
　　∴∠OCE＝∠OCB，
　　在△OCE和△OCB中，∠OEC=∠OBC，∠OCE=∠OCB，OC=OC，
　　∴△OCE≌△OCB（AAS），
　　∴OE＝OB，
　　又∵OE⊥CD，
　　∴直线CD与⊙O相切；
　　（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图所示：
　　则四边形ABFD是矩形，
　　∴AB＝DF，BF＝AD＝1，
　　∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，
　　∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
　　∴AD⊥AB，BC⊥AB，
　　∴AD、BC是⊙O的切线，
　　由（1）得：CD是⊙O的切线，
　　∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，
　　∴CD＝ED+EC＝3，
　　∴DF=√(CD²-CF² )=√(3²-1² )=2√2，
　　∴AB＝DF＝2√2，
　　∴OB=√2，
　　∵CO平分∠BCD，
　　∴CO⊥BE，
　　∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，
　　∴∠ABE＝∠BCH，
　　∵∠APE＝∠ABE，
　　∴∠APE＝∠BCH，
　　∴tan∠APE＝tan∠BCH=OB/BC=√2/2．
　　【举一反三】
　　（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
　　（1）AC•PD＝AP•BC；
　　（2）PE＝PD．
　　【答案】
　　解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
　　∴AB⊥BC，
　　∵DE⊥AB，
　　∴DE∥BC，
　　∴△AEP∽△ABC，
　　∴EP/BC=AE/AB⋯①，
　　又∵AD∥OC，
　　∴∠DAE＝∠COB，
　　∴△AED∽△OBC，
　　∴ED/BC=AE/OB=AE/(1/2 AB)=2AE/AB⋯②，
　　由①②，可得ED＝2EP，
　　∴PE＝PD．
　　（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
　　∴AB⊥BC，
　　∵DE⊥AB，
　　∴DE∥BC，
　　∴△AEP∽△ABC，
　　∴AP/AC=PE/BC，
　　∵PE＝PD，
　　∴AP/AC=PD/BC，
　　∴AC•PD＝AP•BC．