中考数学压轴题分析中位线旋转最值
【中考真题】
(2020·重庆)△ABC为等边三角形,AB=8,AD⊥BC于点D,E为线段AD上一点,AE=2√3.以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF,连接CE,N为CE的中点.
(1)如图1,EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长;
(2)如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为α,M为线段EF的中点,连接DN,MN.当30°<α<120°时,猜想∠DNM的大小是否为定值,并证明你的结论;
(3)连接BN,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,当线段BN最大时,请直接写出△ADN的面积.
【分析】
题(1)连接CF,求出CF,利用中位线定理得到NG的长度。
题(2)猜测∠DNM的大小不变且为120°(与等边三角形有关的钝角)。那么怎么证明呢?有中点,依然考虑构造中位线。
连接BE与CF,把∠DNM转化为求∠DNE+∠MNE的值,利用平行线的性质进行转化。
题(3)求BN的最大值。把AC的中点J与B、N连接,易得BN≤BJ+JN,三点共线时BN最大,为BJ与JN的和。
有了前面的结论,那么图形就可以画出来了。
要求△AND的面积,只需求出底和高即可。
【答案】 解:(1)如图1中,连接BE,CF.
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴AB=BC=AC=8,BD=CD=4,
∴AD=√3BD=4√3,
∵AE=2√3,
∴DE=AE=2√3,
∴BE=√(BD²+DE² )=√(4²+(2√3 )² )=2√7,
∵△ABC,△AEF答等边三角形,
∴AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴CF=BE=2√7,
∵EN=CN,EG=FG,
∴GN=1/2CF=√7.
(2)结论:∠DNM=120°是定值.
理由:连接BE,CF.同法可证△BAE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF,
∵∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°,
∴∠EBC+∠BCF=∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°,
∵EN=NC,EM=MF,
∴MN∥CF,
∴∠ENM=∠ECM,
∵BD=DC,EN=NC,
∴DN∥BE,
∴∠CDN=∠EBC,
∵∠END=∠NDC+∠ACB,
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACN+∠ECM=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°.
(3)如图3﹣1中,取AC的中点,连接BJ,BN.
∵AJ=CJ,EN=NC,
∴JN=1/2AE=√3,
∵BJ=AD=4√3,
∴BN≤BJ+JN,
∴BN≤5√3,
∴当点N在BJ的延长线上时,BN的值最大,如图3﹣2中,过点N作NH⊥AD于H,设BJ交AD于K,连接AN.
∵KJ=AJ•tan30°=(4√3)/3,JN=√3,
∴KN=(7√3)/3,
在Rt△HKN中,∵∠NHK=90°,∠NKH=60°,
∴HN=NK•sin60°=(7√3)/3×√3/2=7/2,
∴S△ADN=1/2•AD•NH=1/2×4√3×7/2=7√3.
奇点是一个具有无限吸引力的点,在这里时间和空间都不再具有意义宇宙中存在着数十亿个黑洞。我们可以用望远镜和卫星探测到它们,但却不能近距离观察它们。路漫漫其修远兮,但科学家们已经开始考虑前往黑洞。这是一次单程旅行,目的地是宇宙最危险的地方。最初
NASA的IXPE任务检测到来自极端宇宙天体的X射线美国宇航局(NASA)的X射线成像偏振探测器(IXPE)任务是与意大利航天局联合进行的,该探测器已经发回了其他航天器之前没有从几个极端宇宙天体中获得的数据。在2021年12月发射的
科学家发现一种能在太空生存的细菌有一种在吉尼斯世界纪录中被称为世界上最坚韧的细菌的超级细菌将可以帮助我们在火星上呼吸。据悉,它可以在太空中生存长达3年,叫deinococcusradiodurans(简称D。ra
LAMOST再立功!天文学家揭示银河系成长史光明网讯(记者宋雅娟)3月24日,国际科学期刊自然以封面文章形式发布了德国马普天文研究所的研究人员向茂盛博士和HansWalterRix教授合作的一项重大成果。基于中国科学院国家天
科学家在地核中发现磁波据英国新科学家周刊网站3月21日报道,在地核中发现的微小磁波可能有助于揭示地球深处正在发生什么。地核有一个固体内层和一个由液态金属构成的外层。炽热中心和较冷外层之间的温度差驱动了液
新研究显示河怪棘龙适应了水生生活据CNET报道,科学家们在一篇新的论文中提出了更多关于棘龙科物种生活在水中的证据,他们现在正在研究恐龙的骨密度。最近的研究指出,棘龙可能是一种水生动物。在河流沉积物中发现的桨状尾骨
自然封面开启银河系尘封成长史,迄今最清晰形成演化图像被还原如果时光可以倒流,人类想了解的一个终极谜团是,我们身处的银河系是怎样从幼年一步步演化至今的。如今,这个谜团有了新解。基于中国科学院国家天文台运行的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜(
北极海冰长期以来的减少,引人深思整个21世纪,北冰洋和周围海域经历了几次值得注意的天气和气候事件。春季,西伯利亚上空持续的热浪导致东西伯利亚和拉普捷夫海的海冰迅速融化。到夏季结束时,北冰洋的冰盖融化回到有记录以来
美洲第一批古人类竟然是通过海路,而非通过白令陆桥到达的?美英两国科学家最新研究发现,最早进入美洲的人类是通过海路,而不是通过白令陆桥到达的,因为13800年前白令陆桥所在的地方矗立着高达3000英尺(约914米)的巨大冰墙,2。65万年
一张图,揭示恒星的一生恒星,可以被视为宇宙的基本组成部分,就像原子是物质的基本构成一样。在人类历史的大部分时间里,徜徉在宇宙中的恒星仿佛是永恒不变的。但正如地球上所有的生命一样,恒星也会经历诞生演化和死
宇宙大爆炸理论错了?发现一颗比宇宙还古老的恒星,引发争议宇宙的演变和人类的发展息息相关,从古至今,人类对于宇宙的想象和探索从来没有停止过,即便是现在,人类堪堪走出了地球,还没有完全走出地球。探索宇宙,还有很长的一段路需要走。目前宇宙并没