关于Mobius环状体转动惯量方面的分析

　　摘要：正三角形中心绕垂直所在平面的对称轴转动，并沿着圆周移动。完成一个圆周移动后，转动角是120度的整数倍，与起始位形重合，形成一个Mobius环状体。利用这个扭转体参数形式的坐标表示，利用定义进行积分计算，得到了扭转体对3个坐标轴的转动惯量。
　　关键词： Mobius环状体 力学教学研究 正三角形 转动惯量
　　有趣物体转动惯量的计算，是力学教学研究的一个关注点。文献[1]讨论了匀质旋转面体对旋转轴的转动惯量，文献[2]讨论了匀质圆环胚体的转动惯量，文献[3]讨论了对称相交圆柱，特别是牟合方盖的转动惯量。圆环胚体可以看作一个圆沿着另一个圆周平行移动而来。除了圆，正多边形也能形成这种环状体。正多边形中心在圆环上移动一周后，沿着垂直多边形所在平面且通过中心的轴转过的角度正好是正多边形中心夹角2π/N的整数倍L，L也称为扭转数。这样移动一周后的正多边形与原来的能重合起来，扭转体形成一个Mobius环状体(扭转体)。扭转数为2的正三角形Mobius环状体如图1所示。图1扭转数为2的正三角形Mobius环状体对于这样复杂的刚体，文献[2]所用的质量投影法就很难应用了，必须用原始基础的定义，直接积分计算。
　　为简单起见，考虑一个正三角形中心在圆周上移动一周，同时扭转形成扭转体。设起始时候正三角形在xz平面上。中心坐标是(b，0，0)，其中b是圆周的半径。正三角形三个顶点坐标是：
　　，其中a是正三角形外接圆半径。扭转体是这样形成的:三角形首先绕着z轴转动φ角度，然后以转动后的中心(bcosφ，bsinφ，0)为参考点，沿着(－sinφ，cosφ，0)方向转动λφ角度，λ=L/3称为扭转参数。经过这两个转动操作，正三角形三个顶点坐标转化为：
　　由式(11)可以看出，转动惯量Iz与扭转数L无关。当正多边形的边数N趋向无穷大时，即趋向于一个半径为a的圆，Mobius环状体的极限就是文献[2]中的圆环胚刚体，式(11)的极限与文献[2]的结果一致。
　　这样，我们给出Mobius环状体参数形式的直角坐标表示，以及参数空间中的体积元。由定义，直接积分计算了Mobius环状体相对坐标轴的转动惯量。转动惯量Iz与扭转数无关。我们也给出了基于正多边形Mobius环状体转动惯 量的表达式。当正多边形的边数趋向无穷时，这个表达式的极限与圆环胚刚体一致，并给出了文献[2]中圆环胚刚体没有计算的相对x和y轴的转动惯量。有条件的学校可以3D打印出这种Mobius环状体，实际测量转动惯量，验证本文的猜测。