几何原本几何代数的基本原理（1）

　　在《勾股定理引发的第一次数学危机》中，我向大家讲过，因为无理数（无法用整数或者整数之比表示）的发现，古希腊人意识到，无理数无法用整数之比表示，毕达哥拉斯有关＂万物都可以用整数或者整数之比表示＂的说法是错误的，从而引发了第一次数学危机。
　　不过生活还要继续，虽然作为数学两大分支之一的代数因为无理数的发现出现了危机，但是另一分支几何学确可以表示出无理数，于是追求严谨的古希腊人将数学的研究方向从代数转向了几何学。后来就涌向了一批数学家专门研究几何学，如欧几里得、阿基米德，这也对古希腊天文学、光的折射、反射等问题的研究起到了推动作用，甚至在伽利略之前，欧洲在物理学方面的主要成就都在光学领域。
　　因为数学的研究方向转向了几何学，因此像代数运算恒等式、求几何图形面积之类的数学运算，古希腊数学家都是借用几何图形的方式来表示。欧几里德作为第一次数学危机之后出生的数学家，也很自然地受到这方面的影响，在他的《几何原本》中，我们很容易看出这方面的影响。
　　《几何原本》第二卷＂几何代数的基本原理＂共包含2条定义、14个命题。
　　其中前10个命题从几何上得出了下述等价代数问题，其中命题1就是小学课本里学的乘法分配律：
　　（1）a（b+c+d+...）=ab+ac+ad+...；
　　（2）（a+b）a+（a+b）b=  ；
　　（3）（a+b）a=ab+ ；
　　（4） =  +2ab+ ；
　　（5）ab+ = ；
　　（6）（2a+b）b+ = ;
　　（7） + =2（a+b）a+ ;
　　（8）4（a+b）a+ = ;
　　（9）  +  = ;
　　（10） + =
　　命题11从几何上表达出一元二次方程（a-x）a= ，命题14从几何上求方程解出平方根。在第6卷＂相似图形＂中，我们将看到欧几里得用几何方法解出更复杂的二次方程。
　　命题12、命题13在几何上从钝角三角形、锐角三角形上都得出著名的余弦定理公式：
　　以上14个命题的证明都需要用到第一卷＂平面几何基础＂中的定义、公设、公理以及命题，特别是第1卷命题47＂勾股定理＂的结论，大家可以回看我的上篇文章《《几何原本》-平面几何基础（4）-勾股定理》进行回顾。
　　好了，这一讲就到这里了，下一讲我将向大家讲解欧几里得是如何证明上述14个命题的。
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