五次方程没有根式解及置换群

　　上篇关于群论的文章收到很多朋友同学的鼓励和打赏，多谢！有些朋友甚至提到期待下篇，这令伟岗有些感动！今天就来聊聊群论的一些具体内容，算是对上一篇的补充。由于内容有难度，伟岗也是自学成才，有些叙述难免有误，也请大家原谅包涵并批评指正，谢谢了！
　　上一篇卖了点关子，这一篇就从那些关子开始。第一个问题就聊聊5次方程没有根式解的问题。
　　其实这个问题还困扰了伟岗很多年，主要因为要理解根式解需要一个过程。目前大多数数学书籍对这个问题都一带而过，没有过多解释，而这恰好是伟岗学习的一个盲点，后来在油管上看了一个教授的讲课录像，才恍然大悟，原来根式解问题要从方程和数的性质两方面去理解！
　　方程可以说是初等数学的精华，你掌握了方程，初等数学就掌握了一大半。方程的精髓是平衡，也就是方程等号两边要始终保持相等一致。当你在方程一边做任何运算时，一定记住在另一边要做同样的动作，而且这些动作必须是合法，没有任何违背运算规律的，否则你即使求出了方程的根也必须验证这个根是不是真正方程的根。
　　上面这段话，看似简单，还是需要大家去体会，伟岗当年自学数学，就是从方程开始的。其中验根尤其重要，因为很多时候，你很可能用零乘了方程的两边，这样破坏了方程的平衡。
　　回到5次方程的问题，根式解也是一个平衡。平衡的一边是未知数（也就是要求的方程的根，一般用x表示），另一边是由方程系数组成的运算式（这个叫方程的解，比如一元二次方程解的公式）。对解的运算式限制，决定了解的形式，也就是说解在某种运算范围内存不存在。比如说如果不允许乘除运算，只允许加减运算，那么方程ax=b就没有解，也就是说对于加减运算来说，ax=b没有解。把这个不太恰当的例子推广到5次方程，所谓5次方程根式解不存在，就是说你找不到一个公式，这个公式只有加减乘除和开方（包括任意次开方，比如开三次方，开四次方等）运算，通过这些运算（注意这些运算是作用到方程的系数上的，而不是任意的数）而得到方程的解。也就是说，你找不到一个平衡，这个平衡的一边是5次方程的未知数（也就是x），另一边是用方程系数组成的，只包含加减乘除和开方运算的表达式。为什么会这样呢？大多数教科书到了这个环节，往往就说是因为伽罗华证明这一点。这样说也不算错，不过更深层的思考，伟岗认为是由数的性质决定的，这句话怎么讲呢？
　　可能在伽罗华时代对这个问题，大家还觉得不可思议，数的性质怎么能决定根式解不存在？但是到了我们现代，这个问题就相对好理解了，因为有了超越数的存在。超越数也是一个很有趣而我们大家很少关注或者很难理解的问题，以后找机会，伟岗跟大家聊聊。
　　所谓超越数，就是说这类数不可能是任何代数方程（也称为多项式方程）的根。圆周率π就是一个超越数。也就是说，圆周率π代入任何代数方程，方程两边都不可能平衡。说得更直白一点，那就是圆周率π经过如何加减乘除开方运算以及跟其它有理数之间进行这些运算都不会等于零（也就是说使代数方程两边相等）。有了这样的准备，没有根式解就比较好理解了。
　　伽罗华实际上是证明了有这样的数存在，它是5次方程的根（也就是说代入5次方程，能使5次方程平衡），但是这个数不能用由方程系数组成的，只包含加减乘除和开方运算的式子计算出来。甚至存在这样的数，它是5次方程的根，但是不能用有理数通过加减乘除和开方运算计算出来。
　　理解了上面这些，你基本就理解了所谓5次方程没有根式解的含义。当然要说明的一点是，并不是所有的5次方程都没有根式解，事实上很多5次方程都有根式解，但因为有没有根式解的5次方程存在，所以我们说5次方程没有根式解。伽罗华的伟大就在于，它用群的理论，真的找出了没有根式解的5次方程，在这样的事实面前，任何寻找5次方程解的通项公式就没有意义了，数学就进入了一个崭新的境界。
　　当然伽罗华断言五次及以上方程没有根式解，对数学家来说一点都不出奇，事实上伽罗华之前就有很多数学家怀疑并公开宣称五次方程没有根式解，阿贝尔甚至用复杂的推导证明了五次方程没有根式解。让伽罗华永垂青史的是他的证明。他不仅断言五次方程没有根式解，而且用严格的逻辑推理证明了他的断言。伽罗华的证明还超越了时代，在他生前无一人能够理解他天才般的思维，直到他去世10多年后，数学家才慢慢理解了他的证明。
　　平心而论，伽罗华的证明确实很有难度。就是到了21世纪的今天，像伟岗这样经过正规大学教育的毕业生也要费很大劲才能勉强理解伽罗华证明的思路。要想真正掌握群论这个工具，估计需要大学数学专业硕士水平，由此可见这个理论的深奥。
　　对数学发展来说，最大的遗憾就是伽罗华卷入怀疑被人设立的圈套，参与一个无谓的决斗而失去了生命。所以留给后人的只有区区两篇论文（应该是3篇，不过有一篇不重要，一般数学家都忽略），短短的两篇文章当然很难描述复杂的群理论。不过伽罗华生活在法国大革命时代，一个有鲜明色彩的天才，生活在那个时代，发生悲剧一点都不意外。使我们后人感到惋惜的是，伽罗华的思想没有办法完全展示在世人面前，以至于现在很多数学史学家只有发挥自己的想象，添加很多浪漫的情节，把伽罗华的形象拔高很多。
　　回到伽罗华的证明，我们先把伽罗华的结论粗粗的描述一下。对待五次方程没有根式解问题，伽罗华给出了一个定理来确定在什么条件下有根式解，在什么条件下没有根式解，也就是5次方程有根式解的充分必要条件。前面我们讲过群的概念，也就是满足4个条件元素的组合。4个条件是关键，也就是封闭性（属于群中元素之间进行特定的运算得出的结果元素仍然属于这个群，注意这个运算是抽象，可能是加法运算，也可能是一种对元素的操作），结合律（这个和加法乘法的结合律类似，不过此时的运算是特定抽象的运算），群里必须有单位元（类似于乘法运算中的1，加法运算中的零），还必须有逆元存在（类似加法中的负数，乘法中的倒数）。
　　有了群的定义，还远远不过。首先我们必须把群的内容跟方程联系起来。伟岗认为（不一定准确），伽罗华时代的数学家都认识到这一点，那就是根与系数的关系是方程有没有根式解的关键。事实上，阿贝尔就是通过这个关系证明了5次方程没有根式解，不过伽罗华进行了更进一步的思考，估计他发现（这个也是伟岗的猜测），之所以5次方程没有根式解，是因为方程系数的对称关系决定的，或者说是方程系数的对称变换决定的。这句话怎么理解呢？
　　从现在的数学教科书来看，实际上伽罗华是利用了方程系数跟置换群的关系，证明了无根式解这个几百年数学家都没有解决的大难题。这里又隐藏了很多我们只有初等数学基础不知道的数学知识。首先什么叫置换群？其次方程系数怎么跟置换群拉上关系？最终，也是最大的难点，伽罗华是怎么利用这个置换群理论，证明5次方程没有根式解的？
　　这次还真不是伟岗故意卖关子，实在是群论太难。可以说，群论的数学知识困扰了伟岗上十年，到现在还没有完全理清群论的理论脉络。
　　先谈谈伟岗对置换群的理解。置换群可以说是数学上群理论的一个典型代表。首先组成它的元素不是具体的数，而是一种变换。
　　举个最简单的例子，对于（1，2）这样的排列，我们可以把它变换成（2,1），这时这个变换就是置换群的一个元素。注意，不是1,2或者（1,2）等这样具体的数或排列组成置换群，而是把一个排列变成另一个排列的变换当做置换群的元素。这一点非常抽象。
　　数学家还还专门用希腊字母定义这样的变换。比如（1,2）变成（2,1）用σ12表示。当然我们可以把排列复杂化，比如（1,2,3,4）就可以变换成（4,2,3,1）；（1,2,4,3）等。因为输入法的问题，伟岗这里就不举多维的例子。总之，就像矩阵一样，我们可以任意变换多维矩阵里面元素的位置，这样的变换，我们把它们组合起来，数学家证明了这些组合可以组成一个群，也就是说满足群的4个条件，从而得到的就是置换群。
　　置换群其实是描述一组排列整齐数的对称性。这又是什么意思呢？你想啊，我们怎么判断两个物体是对称的？这个当然不能凭感觉，要有逻辑推理。首先，我们要找到对称轴，其次，我们要把两个可能对称的物体进行旋转平移等变换，如果两个物体经过特定的变换，重合了，这时我们就可以断定这两个物体是对称的。
　　粗略地讲，置换群中的元素(也就是一种变换，这个变换改变了排列元素的位置)起到沿着对称轴平移旋转的功能。这个就比较抽象。只能大概理解为，当你变换一个复杂排列元素位置时，它是否对称这个性质就可以表现出来。也许这个表现非常不直观（实际上，大部分通过置换群运算得到的结果似乎都跟对称性无关），但是排列元素位置的变化，肯定体现了这个排列布局的性质，而是否相对于某个对称轴（这里所说的对称轴也是抽象的概念。你发挥想象，可以是很多东西，比如一个固定的点）对称这样的性质，肯定埋藏在布局里面。
　　群论的难点和奥秘，伟岗认为就在这里。它的所谓研究结构，不研究具体的数，就是抛开一些细节，研究整体性质。在置换群这个具体例子上，群论就是研究排列元素的对称性等整体性质，得到一些惊人的结果。
　　伽罗华就是利用置换群这个工具得到5次及以上方程根式解存在的充分必要条件，这个结论够惊人的吧！在伽罗华之前，估计世界上没有一个人想得到！从整个人类乃至时代脱颖而出，这样的天才在历史上非常的少，伽罗华做到了，我们不得不佩服他的天分。
　　那么问题就来了，伽罗华是怎么利用置换群作用到方程系数上，得出一个前人谁都想不到的结论呢？伟岗这里又要卖个关子了，因为今天的篇幅太长，留在下次在跟大家聊聊！
　　文章结尾还是要感谢同学们的鼓励和打赏。同时希望喜欢飞镖的同学到我的淘宝小店购买世界顶级品牌的哈路士飞镖，淘宝店名：伟岗飞镖，谢谢！！