对称与结构数学家眼里的自然界

　　科学就是为了探索自然界，在自然界千奇百怪的现象中找规律，可以说是科学家肩负的使命。数学家又必须走在很多其他类别科学家的前面，因为数学家面对的是一个已经抽象出来的自然界，抽象世界肯定要比现实世界更容易研究。在数学的世界里，你可以排除很多干扰，专心致志研究你心目中的理想社会。数学家当然不能脱离现实社会，他们的任何思维都会打上时代的烙印。在理想社会中打拼，同时又不断受到现实残酷世界的鞭策，这使得天才数学家必须有超乎寻常的想象力和推理能力，一方面超越现实社会的局限性，另一方面又必须符合世俗的逻辑和基本要求，否则就无法生存。处于和平时代，对数学家来说还没什么问题，但是你如果处于乱世，面对纷扰甚至绝望的社会争斗，就是天才数学家也很难独善其身。
　　大家好，今天伟岗跟大家聊聊数学家眼里的对称和结构究竟是什么。聊到这个话题，自然避免不了涉及对这些概念做出巨大贡献的天才数学家伽罗华。伟岗没想到前面一篇关于伽罗华群的文章受到了大家的好评，两天之内头条号上的阅读量就超过5000！这对于一个发文不久，属于小号，头条不太推荐的号来说已经非常不错了。微信公众号也有700多阅读量，伟岗已经感到很满意。谢谢各位朋友同学的鼓励和打赏！
　　在数学上研究对称和结构，鼻祖应该是高斯。在算术探究这部巨著中，为了探讨二次同余，高斯必须抛弃具体的研究算术，而去研究一组数共同的性质，也就是结构。不过高斯写得太晦涩，也就是说太难了，不要说高斯同时代的人，就是到了几百年后的今天，经过了无数天才数学家的简化和分析，能够理解高斯结构理论的人又有几个？甚至一些今天的数学家都要求自己的学生反复阅读高斯的大作，并且说每读一遍就有不同的体会，可见高斯思维真正的深度还没有被理解。
　　把对称和结构真正展现在世人面前的应该要算群论了。而群论的创立谁都不能否认伽罗华立了头功。非常奇怪的是，伽罗华生活的年代是最不对称，结构最混乱的时代。法国大革命的烈火从精英已经烧到平民。革命复辟，再革命再复辟，社会结构的翻烧饼把很多人卷进了巨大的漩涡。伽罗华就是在这个巨大的冲击中，失去了自己的生命。
　　革命的残酷性甚至使托克维尔这样对革命倍加推崇的思想家也对革命产生了怀疑。但革命的大量流血怪谁呢？国王和贵族的不妥协使得人民无路可选，只有采用暴力手段。而一旦暴力手段的蔓延，伤及无辜可以说是必然的。伽罗华这样的天才就是这样坠落了。
　　可以说伽罗华面对的是一个非常不平衡不对称的社会，他父亲甚至因为选举的争拗而自杀，可以想象那是一个多么混乱的世界！在18,19岁伽罗华被投进监狱，原因竟然是跟当局意见不合！也许正是如此多的打击，使得伽罗华走向跟人决斗的死路。他自己在决斗前就已经预测死亡将会降临，这才匆匆又把他天才般的论文交给了好友，使得群论有了发展的种子。
　　令人感到一丝悲哀的是，也许伽罗华是数学史上第一个发现数学对称美的天才数学家。后续数学家基本都把对称和结构的发现功劳归于伽罗华。伽罗华以无以伦比的洞察力，探索出正是因为多项式方程根以及系数的对称，演化出五次及五次以上方程没有根式解。多项式方程根和系数的对称，组成了一种特殊的结构，这种结构从古希腊到伽罗华时代已经有上千年，竟然都没有人注意到。或者即使注意到了，也没有深入研究从而化解5次及5次以上方程没有根式解这个巨大的难题。
　　那么究竟什么是数学上的对称和结构呢？这一点还没有直接的定义，我们只能自己细细体会。伟岗认为还是先从我们熟悉的日常生活入手比较好。
　　在平时生活中，我们看到最多的就是建筑物的结构。各种稀奇古怪的建筑是我们现代人生活的必须品。很早以前，有人把建筑物分为砖瓦结构和框架结构。也就是说有一些房子是砖瓦搭起来的，另一些房子是通过一些框架组合起来的。还有就是木结构等。从房子入手，我们理解结构这个概念，是以组成的物质和把基本物质组合拼在一起从而组成整个建筑物而形成建筑物的风格，性质等我们想看到或得到的建筑物的外观和性质，从而我们可以区别建筑物的不同，同时也把建筑物归类，便于我们记忆，理解建筑物并在以后的修建房子过程中利用这些信息。
　　更为直观地说，当我们住进一套新房，我们总可以得到这套房结构好不好的主观看法。这里房屋的结构就是指布局，朝向等信息的综合，是一个对房屋的总体看法。
　　数学上的结构也类似。一组数或者其它数学家想研究的对象被组合起来，这些数或其他形式的数学研究对象之间存在一定的关系，也就是说这些数或对象要通过一些数学上的变换而互相依存，同时这些数还要被封闭起来，对于一个开放或者不能确定其中有什么元素的系统你是很难研究它的结构的。结构是一个整体性质的表示，你首先当然要把这个整体确定下来。
　　在这里，你必须注意到你是在数学的范畴内研究结构，而不是跟哲学家一样，天马行空，什么都研究。这有什么重要性呢？这主要是要限制你的想象力到数学范围内。数学家特别是天才数学家最大的特点就是有极丰富的想象力，但同时他们的想象力又集中在数学领域内。不像艺术家，可以把思维和创作无极限的放大。数学研究最重要的就是要有数学逻辑，在有数学逻辑的前提下再极大地发挥自己的想象力。由于研究结构是一个抽象的东西，所以很多人都可能误以为是什么都可以研究。其实，研究结构也是研究数或者数学上的变换组合成整体的性质，这一点往往会被轻视。比如说伽罗华群的建立就是为了研究结构，但是从伽罗华群的定义看，组成伽罗华群的元素是一些自同构。当你理解不了自同构是什么的时候，你会如坠五里雾中，摸不到头脑，以为根本无法确定这些自同构。这时，你就要从数学的范围内去找自同构的定义，也就是说，自同构也是一个数学概念，而不是其它看不见摸不着的东西。在数学里，没有神秘的东西，都有来龙去脉，都有数学上确切的定义。
　　那么究竟什么是数学意义上的结构呢？我们这里以群论为例来加以说明。我们前面讲过，群是由一组元素，通过4个原则封闭起来，而这四个原则必然包含一种运算。比如说整数和加法就组成一个群，也就是说，整数通过加法的运算规则可以满足群的4个原则要求。而一旦一个群组成了，我们就说它有一定的结构性质。你如果要追问什么样的性质才叫一个群的结构性质，伟岗没有找到严格的定义。同时伟岗怀疑有没有数学上结构性质的定义。
　　数学家是这样处理群结构性质的：数学家首先构造了一些简单好理解的群，它们可以比较容易确定一些共同性质，这些性质被数学家称为结构。比如说，整数和加法组成的被叫做加法群，还有二面体群，置换群，循环群等。然后，数学家定义了同构这个概念，如果两个群同构，那么就说这两个群结构一致。而同构是指，存在一个映射（也就是一种数学上的变换），这个映射有这样的性质，比如说从A群到B群，A群中两个元素（a和b）经过群规定的变换（比如整数和加法组成的加法群中的加法）得到第三个元素（c）的值（由于群的封闭性，这第三个元素c也是群A的一个元素），这第三个元素c如果经过一个映射到B群中得到一个元素的值（记为d），这个d值正好等于a映射到B中的元素（记为e）和b映射到B中元素（f）通过B群中定义的运算得到的元素（假设B群是乘法群，那么d=e*f）。
　　这个同构定义有点绕，如果列个式子理解的话，我们可以这样说。假设φ（）为一个同构映射，那么:φ（a+b）= φ（a）+ φ（b）。也就是说同构变换保持了运算的结构。
　　有了同构变换，数学家就可以把研究群集中在一些比较好理解的群上。这就像我们研究建筑物，无论它多高，多么稀奇古怪，我们从结构上一下就可以知道特定建筑物的性质，比如他们是框架结构还是别的结构等。
　　最好作为范例的就是置换群的对称性，这是研究群结构最常用的例子。
　　如果某类群跟置换群同构，那么我们就可以说这类群具有对称性。
　　那么什么是置换群的对称性呢？我们知道置换群的元素是一些位置的变换（比如a,b是一个排列，如果把a,b排列变成b,a，这就产生一个位置变化，或者说一种位置变换，把这些变换组成群的元素就构成置换群）。位置变换的特点就是，你经过几次变换，你能够把一个排列又变回到原来一模一样的排列。就拿最简单的例子来说，a,b是一个排列，a,b互换位置是一种位置变换，这个可以当做置换群的一个元素，当a,b位置互换时，排列变成b,a。但是如果你再把b,a的位置互换，排列又会变为a,b。这就跟原来的排列一模一样了。由于位置变换具有还原功能，我们就说置换群具有对称性。
　　我们从想象和直观上也可以理解群的对称性。所谓对称，就是经过变换会重合。比如我们说两个图是轴对称的，无非就是绕着这个轴可以使两个图形重叠。而伽罗华可以说是第一个利用群对称性来解决数学难题的天才。这个难题就是5次及5次以上方程的根式解问题。这可是数学史上的大难题，困扰了数学家也是上千年，今天虽然可以说已经完美解决，但是能够理解伽罗华解决方案的又有多少人呢？
　　当然现在课本上的解决方案是经过后续数学家提炼修改过的，把群论这么完美的理论功劳完全归于伽罗华也不符合事实。不过后续数学家肯定是在伽罗华论文基础上慢慢把群论演变成现在这个样子。
　　至于伽罗华是怎么想到这么精妙理论的，由于他英年早逝，就没有任何文献记录伽罗华的数学研究史了。事实上，伽罗华是怎么学数学的，我们知道的也不多。生于乱世，被多个当时已经出名的数学家忽略也是很正常的，过早地离开人世只能说是乱世概率的体现。可能是第一个用对称来解决数学难题的天才，竟然因为非常不对称的社会而死于非命，这只能说命运的多舛。
　　本来还想再写一些伽罗华群跟自同构的内容，但写起来又要不小的篇幅，但今天已经聊得够多了，那些内容就留在下一篇再聊吧。
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