伟岗眼里的伽罗华理论

　　前一篇文章受到很多同学朋友的鼓励打赏，这给了伟岗很大的惊喜。在这里表示感谢！伟岗的想法是把目前对大多数人来说比较难的数学知识展现出来，尽量让更多的人理解现代数学。数学的发展突飞猛进，遗憾地是，绝大多数人仅仅满足于初等数学，甚至认为学会加减乘除就够了。深入理解微积分的已经不多，比微积分更深入的，比如群论，非欧几何，椭圆函数，数论等，理解的人就更少了。
　　其实深奥的数学也没有难到普通人完全明白不了的程度。况且从窥探现代数学的奥秘中，大家可以学到很多数学知识，数学素养会不知不觉地提高。反倒是天天埋头在初等数学里刷题等，数学考试水平很难提高。站在一个更高层次来理解数学，很多你以前总是出错的数学考试题，有时候很容易就纠正过来。
　　数学素养地提高，还不单单是应付考试的问题。也许跟大家的普遍观点相反，数学越高深，其逻辑还越严密，因为在更高的角度看问题，你已经没有超出范围的借口，你必须完成你的逻辑链才能真正形成数学上的内容。所以，在关注现代数学的同时，你的逻辑思维能力就不知不觉的加强了。逻辑思维能力的改善，甚至能改变你的世界观，面对目前这个谣言弥漫的信息时代，逻辑思维能力也许能使你的生活水平得到很大的提升。
　　还是开始我们今天的内容吧。有同学反映，伟岗你怎么兜兜转转，伽罗华理论到现在还没有写到。说句实话，还真不是伟岗啰嗦，是因为群论太难，预备知识太多，你没有准备，直接读到伽罗华定理，你会一头雾水。
　　不过今天伟岗把伽罗华理论的逻辑链条理理，让大家初步有个概念。首先要提醒大家地是，伟岗也是自学的群论，所以不能保证没有错误，只不过通过伟岗的理解和描述，可以给大家展示一下群论的魅力。
　　伟岗准备从两头说，一头从伽罗华理论的结论倒叙，一头从置换群开始，聊聊群论的理论基础，这样是不是大家好理解一些？
　　按照《抽象代数—理论，问题与方法》一书的叙述，代数方程的伽罗华理论是这样的（也叫方程可解性的基本定理）：域F上不可约多项式f(x)=0有根式解的充分必要条件是：f(x)的分裂域E对F的伽罗华群G=Gal(E/F)是可解群。
　　你要是第一眼就完全理解这个定理，那你伽罗华理论就完全掌握了，相信很多人做不到。里面有很多术语先要知道。第一个要了解的就是群论中域的概念。
　　域实际上是群概念的延伸。一般教科书都是从群到环再到域。环概念的引进，主要是因为基本运算中有加法还有乘法。既然基本运算有两种运算规则，加上两个运算规则又是相互关联的（也就是说乘法对加法有分配律），对待群这个范围的理论，群中元素，我们也要定义两种运算规则，而且其中一个运算规则对另一个运算规则有分配律。这种由群引申出来的，带有两种运算规则，其中一种运算规则对另外一种运算规则有分配律的特殊群就叫环。相比较群，环就多了两个条件（实际上是三个）。一个就是对第二个运算规则也要有封闭性（也就是说经过第二种运算得到的结果还要是环的元素），第二就是分配律（理解分配律，可以参考乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+bc.）。同时（也就是第三点），环的第一种运算要满足交换律（类似加法的交换律：a+b=b+a）。这里特别要强调地是，对于群理论中的运算，是一种抽象的运算，我们只能参考基本运算中的加法乘法来理解，但是群理论中的运算不一定就是我们想象中的加法和乘法，这点非常重要，请大家自己体会体会。
　　从环定义中又引申出交换环，也就是说环的第二种运算也满足交换律（即类似乘法ab=ba）,那么就叫交换环。域就是一种交换环，同时域中全体非零元素组成一个群。
　　环和域的定义有些抽象，认真的同学可以参考一下教科书，一般同学就知道是特殊群就可以了。
　　不可约多项式的存在是为了研究问题的简化，由于可约多项式都可以化成不可约多项式，所以我们可以抛开一般多项式，只研究不可约多项式。所谓不可约多项式简单理解，就是不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
　　接下来分裂域的概念就有些复杂。这个概念还隐含着把多项式跟群的思想连接起来，所以包含的内容非常多。理解了分裂域，对伽罗华理论的理解就进了一大步。
　　伟岗如果直接把分裂域定义抛出来，可能会吓走很多读者。我们还是先讲讲一些背景知识吧。
　　我们知道，伽罗华设想出群论不是为了研究群论的理论，而是为了解决5次方程根式解问题。以伽罗华短短21年的生涯不可能预见到群论是那么博大精深，他只是为了解决困扰数学家几百年的根式解难题。
　　伟岗前面提到过，伽罗华首先考虑的是方程系数的对称性，或者说从方程根与系数的关系中，演化出没有根式解这个惊天动地的结论。从方程根与系数的关系到5次方程没有根式解需要一条旁人难以想象的桥梁，初步考虑建桥可能性的是法国数学家拉格朗日（伟岗这里要道歉，前面有篇文章，伟岗把拉格朗日误认为了是达朗贝尔，非常不好意思，犯这么低级的错误）。
　　拉格朗日提出了一种所谓预解式的方法来求代数方程的根式解。正是拉格朗日的这种预解式区别出了5次以下和5次及以上方程的解法。也就是说，拉格朗日方法在解2,3,4次代数方程时，几乎毫无困难（当然也需要比较复杂的推导），但是一到5次方程，拉格朗日的方法突然失灵了。这给5次方程没有根式解提供了一些思维的空间。
　　同时，关键还在于，拉格朗日的方法是对方程系数的置换变换，得出一些中间转换的矩阵，再演算矩阵而得出方程的根式解。虽然从拉格朗日的思维中，还得不到群论的思想，但是这种靠着添加中间项而扩展方程系数与根的关系的思路正是以后伽罗华用来创造群论理论的基础。这一个发展链条，有很多技术细节，《古今数学思想》这部大作有比较详细的论述，不过推导太过复杂，说老实话，伟岗也只能理解个大概。
　　预解式的方法到5次方程就失效，根本原因是5次方程没有预解式，如果有预解式，那么5次方程就有根式解了。从另一方面讲，拉格朗日对方程系数的处理肯定有缺陷，否则他就可以得到5次方程没有根式解这个结论。怎么处理方程的系数成了解决5次方程根式解的关键。一个代数方程，实际上就是研究一个代数多项式等于零的情况，所以我们第一步就是要研究多项式。把多项式跟群论关联起来，这就是域论的主要研究领域。
　　所以理解分裂域这个概念，第一步你应该想到这个域就是多项式这个内容放到群伦的框架中进行研究。研究多项式当然就是研究它的系数。所以我们说一个多项式属于一个域，也就是说它的系数全部都在这个域中。这时群论的威力就要发挥出来了。别忘了群的四个基本要求，更别忘了域又加了3个要求。也就是说，不光是系数，就连系数之间通过运算得到的结果也全部在群里，或者说在域里。这时我们定义域中的两个运算就是加法和乘法运算。用一句话概括就是，多项式属于的域包括了所有这个多项式的系数以及系数之间通过加法，乘法运算得到的数值，而且由于有逆元的存在，所以连除法得到的运算值也包括在这个域中了。
　　这样我们就向证明5次方程没有根式解迈出了坚实的一步，因为我们把系数以及包括系数的加减乘除运算得到的结果组合在一起了。伽罗华群论的伟大之处就在于此。一个小小的4个条件（或者准确地说7个条件）就把代数方程的系数组织在一起了，所以千万不要小看群的威力。这时你可能会问，那么方程的根怎么办？也就是说多项式的零点怎么办？回答这个问题，分裂域就要出场了。
　　伽罗华当然不仅仅是把多项式的系数组织起来，他是要解决5次方程没有根式解这个大难题。打个不太恰当的比方，多项式系数被整合在一起就像天才的皇帝组成了一只军队，他还要训练这个军队，让这只军队帮他得到天下。对伽罗华来说，就是要处理多项式系数组成的域，最终证明5次方程没有根式解。他的第一步就是把多项式的零点（也就是代数方程的根）引入系数组成的域，这个域就是分裂域。
　　现在伟岗可以给出正规分裂域定义了（还是来源于《抽象代数—理论，问题与方法》一书）：设F是一个域，多项式f(x)属于F[x],K是F的扩域，如果f(x)在K[x]中能分解成一次因式的乘积，而对K与F的任何一个其他中间域L，f(x)在L[x]中都不能分解成一次因式的乘积，则域K称为多项式f(x)的分裂域。
　　这个定义又是很多坑，这也是按照教科书无法学习群论的一个理由。F(x)属于F[x]好解释，表明多项式f(x)的系数组成F这个域。扩域又是一个需要思考的定义。为什么不直接把多项式的零点跟多项式组合成一个域，而采用扩域的方法？伟岗浅显的理解是，F这个域有时候只有有理数，而零点有时是复数，这样把零点跟多项式的系数混在一起，会比较混乱。当然分开的目的还是为了后来证明5次方程没有根式解，只是伟岗没有看出直接的逻辑关系（指分开跟证明的直接关系）。
　　这时很多同学可能会有点晕，这个定义中我们没看到多项式的零点啊！实际上一次因式就是多项式的零点。也许下面的引理说得更直白一些（引理也是来源同一本书）：设F是一个域，多项式f(x)属于F[x]。如果K是f(x)的分裂域，f(x)=a(x-a1)(x-a2)……(x-an),则K=F（a1,a2,……an）。
　　这个描述也比较教科书化，要理解还是需要思考。简单一点讲，K就是多项式零点的扩域，也就是在F的基础上，加上多项式的零点。
　　多项式系数组成的域，加入了多项式的零点，这离证明5次方程没有根式解又近了一步，当然差距还非常的大。但是难点已经显露。关键是域怎么扩？还有分裂域中L引进的原因和理由是什么？同时还有一个难题，那就是分裂域是不是唯一的？这同时引发一个基本的思考，什么才叫两个域相等？这一些的理解还需要从群论的基础聊起，我们暂且放在一边。
　　最最关键，也是非常难理解的东西要出场了，那就是到底什么叫伽罗华群？为什么它成了证明5次方程没有根式解的关键？由于篇幅的原因，这个关键知识点又要等到下篇了。
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