GPS卫星为何会用相对论去修正时间？但最常见的解释却是错误的

　　对科学领域抱有兴趣的各位读者，可能大家或多或少都有听过这样一条科普知识：GPS卫星在运作时，卫星时间与地面时间有差异，而产生差异的一部分原因需要用到相对论去解释，也就是说GPS存在一个相对论时间修正项。
　　（注意：本文公式略多，可以忽略不看，不影响大意）
　　上述只是概括性的描述，而对此十分好奇的读者再进一步寻找解释时，会在很多科普文章中见到这样一条似乎已经形成共识的说法（也就是为何会用到相对论去修正时间）：
　　GPS时间修正需要考虑到两个方面，一个是狭义相对论修正，因为卫星存在高速运动；另一个就是广义相对论修正，因为卫星与地面的高度差不可忽略，也就是引力势不同（或者说不同高度的引力场强不同）如果这些文章更加深入一点，会将两个方面的公式写出来，如下图：
　　第一个公式大家都很熟悉了，狭义相对论中的钟慢效应，其中v是卫星的轨道速度（GPS卫星的轨道近乎圆形），相对于地面上的物体来说，速度越快，卫星上的时间越慢。
　　第二个公式可能有些不熟悉，但理解依旧简单，这是广义相对论中的引力钟慢公式，G是引力常数，M是地球质量，r为卫星离地心的距离，可以看出当卫星的高度越高时，卫星的时间就过的比地面更快。
　　但考虑到地球存在自转，因此地表上的物体（就认为也是一个钟吧，毕竟GPS卫星内部都带有原子钟的）也存在上述的两个效应，所以将上述公式综合一下变为如下
　　其中t为无穷远处的钟读数，T为物体自身的时间读数，并且将此公式称为公式A
　　有了这样的公式我们就可以动手算一下卫星和地面时钟走时的差异，以地面钟走24小时为基础，我们发现GPS卫星每天要比地面时间快约38微秒。
　　此时我们再去网上搜索相关文献，会发现算出来的结果和文献是一样的。先不要高兴的太早，但如果你仔细分析一下这个过程，你会发现似乎这样的结论从一开始就站不脚，因为狭义相对论与广义相对论的分界是非常清晰的，涉及到时空是否平直或弯曲，在平直时空里的物理问题属于狭义相对论范围，以此类推弯曲时空就是广义相对论。这种解释利用了狭义与广义两个方面，那不经要问：GPS卫星所处的时空到底有没有弯曲啊？
　　很显然，这种解释是做了某种近似。先说答案，卫星所处的时空自然是弯曲的，这一点毫无争议，因此这纯粹就是一道广义相对论的问题，但为什么又能掺杂狭义相对论呢？因为地球对时空弯曲的影响很微弱，也就是地球周围的时空可以近似的当做平直，于是咱们就能利用上狭义相对论了。
　　虽然这种公式A的解释似乎非常清晰且容易理解，而且计算的结果精度非常高。但对于不太了解相对论的朋友，这样的解释会直接造成很严重的误解
　　他们会认为不论什么场景下都可以这样去分析。如果换做黑洞附近呢？你还能把时空当做平直吗？很显然是不能的，自然狭义相对论就不能用了。
　　以最简单的黑洞——史瓦西黑洞为例，除了我们常说的事件视界（其半径为史瓦西半径），其实史瓦西黑洞还拥有一圈光子层，顾名思义就是光子绕着黑洞转圈，但是我们不要想当然的认为这个光子层的半径就是史瓦西半径，实际上是1.5倍史瓦西半径。
　　再者光子有坐标速度一说，可以算出光子层光子的切向速度（其值远低于我们常说的每秒30万公里），如此一来我们将数据代入公式A，很容易发现，光子的固有时竟然不为零了，这显然是错的，如果用下面讲到的公式B则不存在问题。
　　此外如果有朋友真想知道那个第二个公式的由来怎么办？解释那个公式并不比纯粹的广义相对论解更加容易，所以说这样的解释根本没有必要，非但容易造成误解，而且深入解释也不占优势。所以咱们下面就直接给出纯粹的广义相对论对GPS时间的修正（公式B）
　　可以看到公式并没有想象中的复杂，其中个字母代表的含义也和上面相同，且算下来的结果依旧是38微秒。（注意：这个公式是基于史瓦西时空所得，如果最精确的考虑，由于地球自转、带电，是需要在克尔纽曼时空计算的，但史瓦西时空给出的答案精确度已经很高，就没必要再介绍更复杂的了，放到科普文章也不好）
　　可能这里又有朋友产生疑惑了，为什么错误解释和正确解释得到的答案是一样的呢？其实原因显而易见，除了上面讲到时空可以看做近似平直之外，公式中的列如（2GM/rc^2）、（v/c）^2这些数值算下来都是非常非常小的。
　　如果稍微麻烦下，你可以对公式A、B进行一次展开，取一级近似发现两个公式竟然都变成了如下公式
　　这也直接说明了，为什么错误解释还能给出正确答案的原因（所谓正确，就是指精度高）。
　　总的来说，我们常说的GPS卫星时间需要狭义和广义相对论去修正是不准确的，实际上这只是一个广义相对论问题而已，不关狭义相对论的事。
　　本篇文章的内容到此结束。
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