阿基里斯带着托里拆利小号,追着芝诺的乌龟,赶往希尔伯特的旅馆
这个有点让人"丈二摸不着头脑"的标题,估计不少读者朋友都没看明白怎么回事。实际上标题里串接了三个著名的数学悖论。它们分别是:
芝诺悖论
托里拆利小号悖论
希尔伯特旅馆悖论
今天的主要内容就是介绍这三个悖论,为此我准备了一个长故事来将这三个悖论串接起来讲解。
出于某种时空异常现象,存在于不同时空的人物故事被放到了一个全新的时空平台…
随着一阵急促的呼吸声,阿基里斯从梦中惊醒,这位荷马史诗中为人称颂的英雄摸着他那没有伤痕的脚后跟(在原时空中,被阿波罗射中脚后跟而亡),才回想起他已经来到了另一个时空。
穿好衣物后,阿基里斯拿起前两天在托里拆利那买的小号,当做礼物去参加希尔伯特新开的一间旅馆的庆典,顺便再好吃好喝住上一晚。
刚走出村子没多远,一位不知从哪走出的老者突然叫住了阿基里斯,说道:尊敬的阿基里斯,我叫芝诺,是这村子的一位居民,我知道您原本是一位英勇的战神,但是我仍心存疑虑,我这有一只乌龟,它的速度虽然不快,但却谁也跑不过它。
阿基里斯摸着脑袋:哪来的糟老头子,神神叨叨在说些什么,还是不要理他为好,免得碰瓷。
正在阿基里斯疑惑时,芝诺悄悄拿走阿基里斯的小号,放到了乌龟背上,然后拍了一下龟背,乌龟便稳稳当当的走了。
等阿基里斯回过神时,乌龟已经走远了,阿基里斯也顾不上质问芝诺了,因为这个小号可是送人的礼物,可不能弄坏了。
阿基里斯开始追赶前面的乌龟,而芝诺大笑道:你要追上这只乌龟,那必定得先跑完现有距离,比如50米,而当你跑完50米时,乌龟在这段时间内也往前跑了一段距离,比如5米,接下来,当你又跑完这5米时,乌龟又往前跑了一点,如此重复下去,你虽然在不断的接近乌龟,但你永远赶不上它。
没等芝诺继续说下去,阿基里斯已经追上了乌龟,并且抱起乌龟向芝诺扔去,大吼道:看你年老不欺你,还是你自己去和乌龟赛跑吧…接稳了!
(解释:虽然芝诺悖论看上去,人似乎永远不能追上乌龟,但实际上我们很容易就能证明人追上乌龟所走过的路程,虽然看着是无限多个路程段,但这并不代表是无限长的路程,相反它是一个有限长度,而有限的长度在确定的速度下,耗费的时间自然也是有限的)
阿基里斯终于来到了希尔伯特旅馆,作为数学家的希尔伯特看到阿基里斯送的礼物,顿时来了兴趣。问道:你这小号是哪买的呀?看着好奇怪。
阿基里斯道:这是我从托里拆利手中买的,买的时候他还念念不断,说什么"面积无限大,体积却是有限的,怪哉!怪哉!"
希尔伯特听后,仔细瞧了瞧小号,不一会儿变露出了微笑,喃喃道:有意思,数学上来讲,还真是这么回事!
看着阿基里斯一脸困惑,希尔伯特找来一张纸,在上面画了一个反比例函数y=1/x
说道:我们取这段函数x大于等于1的部分,之后再让这个图形绕x轴转一圈,很容易想象,绕完后的图像和小号模样非常类似。
我们接着对小号的内表面积和内容积做一个计算
发现这个小号的内表面积是无限大,但容积确实一个定值π。这个结论的通俗含义就是:假如我用它来装水,那么只能装一个定量的水;但如果用油漆给它里面刷一遍,却发现怎么也刷不完。
(解释:托里拆利小号仅仅是数学世界的产物,实际上是不可能造出来的,因此阿基里斯买的是个假货)
希尔伯特的一番话,听得阿基里斯满脸问号。于是希尔伯特赶紧岔开话题,说道:阿基里斯兄,咱们不谈这个,天也不早了,来选个房间住下吧,我这家新旅馆可是有无穷多个房间哦。
满心欢喜的阿基里斯正准备选个宽敞的房间休息时,却发现旅馆前台上明明白白的摆着一块"房间已满"的牌子。
阿基里斯又满脸问号的看向希尔伯特:老兄,你这是在逗我吗?房间都满了,你还让我选房间住,这是个什么意思?你不是说,你的旅馆有无穷多的房间吗?怎么还会满房?
希尔伯特说:对啊,确实有无穷多的房间,但今天住店的客人给也是无穷多啊,所以牌子上写"房间已满"并没有不对啊。
阿基里斯满脸带着看待傻子的表情:那我住哪?你这是出题考我的吧?看来我只能在外面打地铺了。
希尔伯特说:别啊,这个问题很简单,我只要将2号房客人挪到3号,3号挪到4号,以此类推,反正是无限多的房间,这样一来,你就可以住一号房啦!
阿基里斯顿时来了兴趣:那如果现在又来了无穷多的客人要住店,你该怎么办呢?
希尔伯特不慌不忙的回道:那也容易,只要把原先的1号客人放到2号房,原先的2号客人放到4号房…按照这个规律,相当于把原先的客人全部挪到偶数号房间,空出的奇数号房间再给新来的无穷多客人居住。
(解释:希尔伯特旅馆悖论其实不应该叫悖论,只不过它的描述给人以违反直觉,甚至是耍小聪明的感觉。但实际上,这个问题就相当于"两个无穷集合的大小该怎么确定?"
比如1+∞和∞谁更大?这个一眼看上去,好像是1+∞更大一些,因为多了一个1。但实际上在无穷集合的问题上,我们要采用"势"的概念来比较,如果两个集合的元素能够不重复的一一对应,那么就称为等势,也就是两者一样大,因此1+∞和∞是一样大的。
对应于"把原有房客搬到偶数号房间",实际上就是比较正偶数集合和正整数集合的大小,很显然这也可以建立一一对应的关系(同样的,正奇数集合和正整数集合也是一样大),因此即便是又来了无穷多的客人,这个旅馆还是可以住的下。)
德国数学家、大卫.希尔伯特
本篇文章的内容到此结束。
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