中考数学压轴题分析旋转相似

　　【中考数学】
　　（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
　　小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
　　（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
　　（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
　　（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE²+BG²的值是定值，请求出这个定值．
　　【分析】
　　题（1）目测线段相等，利用SAS即可证明结论；
　　题（2）就是在题（1）的基础上进行求解即可，也是SAS的全等；
　　题（3）变成了相似。但是结论变了。此类题目怎么做呢？
　　图形旋转过程中要求DE²+BG²的定值。我们可以先定一个起点，算出其数值，然后再旋转90°算出一个数值，两个一对比就知道是不是定值了。再根据两个图形的解法得出一般的求解过程。
　　连接EG、BD得到一个四边形。观察发现对角线BE与DG是互相垂直的。
　　所以我们可以得到
　　DE²＋BG²＝EG²＋DQ²＋GQ²＋BQ²＝BD²＋EG²。
　　再转化为
　　AE²＋AG²＋AB²＋AD²＝260。
　　【答案】 解：（1）∵四边形AEFG为正方形，
　　∴AE＝AF，∠EAG＝90°，
　　又∵四边形ABCD为正方形，
　　∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
　　∴∠EAB＝∠GAD，
　　∴△AEB≌△AGD（SAS），
　　∴BE＝DG；
　　（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，
　　理由如下：
　　∵∠EAG＝∠BAD，
　　∴∠EAB＝∠GAD，
　　又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，
　　∴AE＝AG，AB＝AD，
　　∴△AEB≌△AGD（SAS），
　　∴BE＝DG；
　　（3） 【方法一】
　　过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，
　　过点G作GN⊥AB交AB于点N，
　　由题意知，AE＝4，AB＝8，
　　∵AE/AG=AB/AD=2/3，
　　∴AG＝6，AD＝12，
　　∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，
　　∴△AME∽△ANG，
　　设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，
　　∴ED²＝（2a）²+（12+2b）²＝4a²+144+48b+4b²，
　　GB²＝（3a）²+（8﹣3b）²＝9a²+64﹣48b+9b²，
　　∴ED²+GB²＝13（a²+b²）+208＝13×4+208＝260．
　　【方法二】
　　如图2，设BE与DG交于Q，
　　∵AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8
　　∴AG＝6，AD＝12．
　　∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
　　∴∠EAG＝∠BAD，
　　∴∠EAB＝∠GAD，
　　∵EA/AG=AB/AD，
　　∴△EAB∽△GAD，
　　∴∠BEA＝∠AGD，
　　∴A，E，G，Q四点共圆，
　　∴∠GQP＝∠PAE＝90°，
　　∴GD⊥EB，
　　连接EG，BD，
　　∴ED²+GB²＝EQ²+QD²+GQ²+QB²＝EG²+BD²，
　　∴EG²+BD²＝4²+6²+8²+12²＝260．