几何原本与圆有关的平面几何（3）命题16命题22的证明过程

　　在前两篇文章《《几何原本》-与圆有关的平面几何（1） 》、《《几何原本》-与圆有关的平面几何（2）-命题7~命题15的证明过程》 中，我对《几何原本》第3卷命题1-命题15是如何证明的进行了讲解。
　　这一讲我继续进行命题16~命题22的讲解，命题16~命题22中很多命题其实大家都学过，如＂如果一条直线与圆相切，那么连接圆心和切点的直线垂直于切线＂、＂在一个圆内，同弧上的圆心角是圆周角的二倍＂、＂圆的内接四边形的对角和等于两直角和＂。
　　这些命题的证明基本都使用了假设法，好了，接下来让我们一起来看看欧几里得是如何证明这些命题的。命题16：过圆的直径的端点作一条直线与直径成直角，则该直线落在圆外，又，在这个平面上这条直线与圆周之间无法插入另一条直线，且半圆角大于任何锐直线角，余下的角小于任何锐直线角。
　　已知在圆ABC中，点D是圆心，AB是直径。
　　目标1：证明过点A与AB成直角的直线落在圆外。
　　证明：
　　1、过点A作AC与AB成直角，假设AC落在圆内,与圆相交于C，连接DC。
　　2、因为点D是圆心，所以DC=DA，角DAC=角DCA。（第1卷 命题5）
　　3、因为角DAC=直角，所以角DAC+角DCA=两直角，这是不可能的。（第1卷 命题17）
　　4、因此假设不成立，所以过点A的直线与BA成直角，不会落在圆内。
　　目标2：过点A作AB的垂线AE，证明在这个平面内，AE与圆之间无法再插入其他直线。
　　5、假设AE与圆之间能插入直线FA。
　　6、过点D作DG垂直于FA，且DG与圆、FA分别交于点C、G。
　　7、于是角AGD=直角，又角DAG<直角，所以AD>DG。（第1卷 命题19）
　　8、又DA=DC，所以DC>DG。
　　9、又假设AF在线段AE与圆之间，所以AF在圆外，于是点G也在圆外。
　　10、所以DCDG矛盾，因此假设不成立，即AE与圆之间无法再插入其他直线。
　　目标3：证明弦BA与圆周BCA所夹的半圆角大于任何锐直线角，余下的由圆周BCA与直线AE所包含的角小于锐直线角。
　　11、假设有一个直线角大于直线BA与圆周BCA所包含的角，而且有一个直线角小于圆周CHA与直线AE所包含的角。
　　12、那么在直线AE与圆之间可以插入直线包含这样的角。
　　13、但是前面已经证明不存在这样的直线，因此假设不成立。
　　14、即不存在一个直线角大于直线BA与圆周BCA所包含的角，而且有一个直线角小于圆周CHA与直线AE所包含的角。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。
　　目标3的证明过程，有极限的思想。 命题17：过给定点作已知圆的切线。
　　已知A是给定点，BCD是已知圆。
　　目标：过点A作一条直线与圆BCD相切。
　　证明：
　　1、设E为圆BCD的圆心。（第3卷 命题1）
　　2、连接AE，与圆BCD相交于点D。以E为圆心，EA为半径作圆AFG。
　　3、过D作DF与EA成直角，DF与圆AFG相交于点F。（第1卷 命题11）
　　4、连接EF和AB。
　　5、因为点E是圆BCD、AFG的圆心，所以ED=EB，EA=EF。
　　6、又角E是公共角，所以三角形DEF与三角形BEA全等。（第1卷 命题4推论）
　　7、所以角ABE=角FDE=直角。
　　8、又EB是半径，过圆的直径的端点的直线与该直径成直角，该直线与圆相切（第3卷 命题16推论），所以AB与圆BCD相切。
　　证明完毕。命题18：如果一条直线与圆相切，那么连接圆心和切点的直线垂直于切线。
　　已知直线DE与圆ABC相切于点C，圆ABC的圆心为F（第3卷 命题1），连接FC。
　　目标：证明FC垂直于DE。
　　证明：
　　1、假设FC与DE不垂直。
　　2、过点F作FG垂直DE于点G。（第1卷 命题12）
　　3、因为角FGC是直角，所以角FCG是锐角。（第1卷 命题17）
　　4、因为大角对大边（第1卷 命题19），所以FC>FG。
　　5、又FC=FB，所以FB>FG，即小的大于大的，而这是不可能的。
　　6、因此假设不成立，所以FC与DE垂直。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题19：如果一条直线与圆相切，那么过切点作与切线成直角的直线，必经过圆心。
　　已知直线DE与圆ABC相切于点C。过点C作CA，使其与DE成直角。（第1卷 命题11）
　　目标：证明圆心在AC上。
　　证明：
　　1、假设圆心不在AC上，设F为圆心，连接CF。
　　2、因为DE与圆ABC相切于C，FC是圆心与切点的连线，所以FC垂直于DE。（第3卷 命题18）
　　3、于是角FCE是直角。
　　4、又角ACE也是直角，所以角FCE=角ACE，即较小角等于较大角，这是不可能的。
　　5、因此假设不成立，所以圆心在FC上。
　　证明完毕。
　　说明：本命题的证明使用了假设法。 命题20：在一个圆内，同弧上的圆心角是圆周角的二倍。
　　已知ABC是一个圆，角BEC是圆心角，角BAC是圆周角，它们有一个以BC作底边的弧。
　　目标：证明角BEC是角BAC的二倍。
　　证明：
　　情形一：点E在ABC内。
　　1、连接AE并延长与圆ABC相交于点F。
　　2、因为EA=EB，所以角EAB=角EBA。（第1卷 命题5）
　　3、又角BEF=角EAB+角EBA。（第1卷 命题32）
　　4、所以角BEF=角EAB的二倍，同理角CEF=角EAC的二倍。
　　5、因此，角BEC=角BAC的二倍。
　　情形二：点E在ABC外。
　　6、连接AE并延长与圆ABC相交于点G。
　　7、因为EA=EB，所以角EAB=角EBA。（第1卷 命题5）
　　8、又角GEB=角EAB+角EBA。（第1卷 命题32）
　　9、所以角GEB=角EAB的二倍，同理角GEC=角EAC的二倍。
　　10、因此，剩余的角BEC=角BAC的二倍。
　　证明完毕。命题21：在一个圆内，同一弓形上的角彼此相等。
　　已知ABCD是一个圆，角BAD和角BED在同一弓形BAED上。
　　目标：证明角BAD=角BED。
　　证明：
　　1、设圆ABCD的圆心为点F。（第3卷 命题1）
　　2、连接FB、FD。
　　3、因为角BFD是圆心角，角BAD是圆周角，且它们有相同的弧BCD，所以角BFD=角BAD的二倍。（第3卷 命题20）
　　4、同理，角BFD=角BED的二倍。
　　5、所以角BAD=角BED。
　　证明完毕。命题22：圆的内接四边形的对角和等于两直角和。
　　已知ABCD是一个圆，ABCD是圆的内接四边形。
　　目标：证明四边形的对角和等于两直角和。
　　证明：
　　1、连接AC、BD。
　　2、因为三角形的三个角的和等于两直角和（第1卷 命题32），所以在三角形ABC中，角CAB+角ABC+角BCA=两直角和。
　　3、由命题21的结论，可得角CAB=角BDC，角ACB=角ADB。（第3卷 命题21）
　　4、所以角ADC=角BAC+角ACB。
　　5、等式两边同时加角ABC，于是角ADC+角ABC=角BAC+角ACB+角ABC。
　　6、又角BAC+角ACB+角ABC=两直角和，所以角ADC+角ABC=两直角和。
　　7、同理，角BAD+角DCB=两直角和。
　　证明完毕。
　　好了，命题16~命题22的讲解就到这里了，下一讲，我们继续学习《几何原本》第3卷＂与圆有关的平面几何＂。
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