配速法解复合场一般曲线运动

　　带电粒子在正交的匀强磁场和匀强电场(或重力场)所形成的复合场中运动,若所受洛伦兹力与电场力(或重力)不平衡,电场力(或重力)会改变粒子的速度,而速度的变化又会使洛伦兹力不断变化,使粒子做复杂的曲线运动,它的轨迹不是圆，也不是抛物线，而是旋轮线 ，就是行驶的汽车轮子上某点的运动轨迹.
　　旋轮线的运动可以分解为绕圆心的圆周运动(母圆)和圆心的平动.
　　受速度选择器 的启发，配速法就是＂无中生有＂配上一个速度，配上的速度所对应的洛伦兹力和电场力(或重力)抵消.
　　带电粒子在速度选择器中的运动
　　如果粒子的速度v=E/B，就有qvB=qE，粒子轨迹为直线，若粒子的速度大于或小于E/B，粒子的轨迹就不再是直线而是比较复杂的曲线。这种曲线既不是圆弧也不是抛物线，数学上把这种轨迹称为＂摆线＂、＂最速降线＂、＂旋轮线＂.
　　①绕圆心转动速度等于圆心平动速度 (相当汽车轮子不打滑)
　　②绕圆心转动速度大于圆心平动速度 (相当汽车轮子原地打转)
　　③绕圆心转动速度小于等于圆心平动速度 (相当汽车轮子刹车滑行)
　　常用方法：动能定理和牛顿第二定律
　　特殊方法：配速法
　　配速法步骤：
　　①找到电场力(或重力)
　　②配上一个电场力(或重力)等大反向的洛伦兹力
　　③配上一个和所配洛伦兹力对应的速度
　　③补偿所配的速度
　　特点：
　　①最大速度圆心平动速度和绕圆心转动速度之和；最小速度圆心平动速度和绕圆心转动速度之差.
　　②最高点或最低点距圆心为R.
　　③一拱周期为2πm/qB.
　　例题：如图所示，匀强电场E的方向竖直向下，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，粒子质量为m（重力不计），电荷量为 q，以水平速度v₀从左侧射入，且V₀ E/B.
　　例题：如右图所示，在垂直纸面向内的匀强磁场B和竖直向下的电场E中，有一质量m、带电量十q粒子由点P无初速释放，请分析它的运动，求：
　　（1）粒子向下运动的最大位移dm。
　　（2）粒子运动过程中的最小速度和Vmin最大速度Vmax
　　【解析】
　　【轨迹】
　　例题：如图所示，二维坐标系中存在着垂直纸面向内的匀强磁场B和竖直向下的匀强电场E，一电子从坐标原点处静止释放，求电子在y轴方向运动的最大距离yₘ。（电子的重力不计）。
　　例题：如图所示，xOy坐标平面在竖直平面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场.一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线.关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（BD）
　　A.OAB轨迹为半圆
　　B.小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向
　　C.小球在整个运动过程中机械能不守恒
　　D.小球在A点时受到的洛伦兹力大于重力
　　【解析】配上一个速度v₁，使得qv₁B=mg，补偿速度v₂=v₁，
　　例题：在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：
　　（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v.
　　（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.
　　（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E mg/q）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vₘ.
　　例题：如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q（q 0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同大小和方向的初速度入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
　　（1）若粒子以初速度v₁沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v₁的大小；
　　（2）已知一粒子的初速度大小为v（v v₁），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；
　　（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一带电粒子从O点以初速度v₀沿y轴正向发射，研究表明：带电粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vₓ，与其所在位置的纵坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vₘ。
　　【配速法】
　　例题：如图所示，已知圆盘的半径为R，竖直放在水平面上，开始时圆盘边缘上的一点P位于坐标原点，当圆盘在轨道水平面上沿直线以角速度ω无滑动向前滚动时，圆盘上的固定点P的运动轨迹为旋轮线。试推导圆轮边缘上的固定点P的运动轨迹方程.
　　解析
　　利用几何法推导方程。建立直角坐标系如图所示，开始时圆轮的顶点位于坐标原点，与x轴相切，当圆盘沿水平轴匀速滚动时，设某时刻轮缘上固定点P的坐标为P（x，y），半径转过的圆心角为θ，圆轮在x轴方向的位移等于弧长s Rθ Rωt，O′点坐标为(ωRt，R).
　　P点的轨迹方程为：
　　(x-ωRt)²+(y-R)²=R²
　　P点的坐标为：
　　x s一Rsinθ R(θ-sinθ)，
　　y R一Rcosθ R(1-cosθ）.
　　P点的参数方程为：
　　x R(ωt一sinωt），
　　y R（1一cos ωt）.
　　旋轮线曲率半径：
　　旋轮线四个性质：
　　①旋轮线的长度等于旋转圆直径的4倍，是一个不依赖于π的有理数；
　　证明：在旋轮线上取一小段弧元ds，则(ds)² (dx)² (dy)²
　　因为：x Rθ-Rsinθ；y=R-Rcosθ，所以dx R(1-cosθ)dθ；dy Rsin θdθ(ds)² R²(1-cosθ)²(dθ)² R² sin²θ(dθ)² 2R²(dθ)²(1-cosθ) 4R²(dθ)² sin²(θ/2)
　　ds 2 Rdθsin(θ/2)，
　　旋轮线长度s 2R ₀²ᴾᴵdθ -4R ₀²ᴾᴵdcosθ/2 8R
　　②旋轮线在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍；
　　③圆上描出旋轮线的那个点，具有不同的速度，在某个特定的地方它甚至是静止的；
　　④当弹子从一个摆线形状的光滑容器的不同点放开时，会同时到达底部。