第一宇宙速度與第二宇宙速度的推導

　　關於第一宇宙速度的推導：
　　預備知識：
　　機械能守恆定律：封閉系統內機械能不變，機械能為動能與勢能之和。
　　動能：mv²/2
　　引力勢能：-Gm₁m₂/r
　　向心力大小：F=mv²/r
　　萬有引力大小：F=Gm₁m₂/r²
　　現假設一飛船以v₁的速度自地球表面發射，後於高度為h除繞地以v的速度飛行，設飛船質量為m，地球質量為M，地球半徑為R，則飛船初動能為：
　　mv₁²/2
　　末動能為：
　　mv²/2
　　系統初引力勢能為：
　　-GMm/R
　　末引力勢能為：
　　-GMm/(R+h)
　　故由機械能守恆定律，得
　　E=(mv₁²/2)-(GMm/R)
　　=(mv²/2)-(GMm/(R+h))
　　化簡上式，兩邊同乘2/m
　　v₁²-(2GM/R)=v²-(2GM/(R+h))
　　移項
　　v₁²=v²+(2GM/R)-(2GM/(R+h))
　　化簡分式
　　v₁²=v²+(2GMR+2GMh)/R(R+h)
　　-2GMR/R(R+h)
　　v₁²=v²+2GMh/R(R+h) (1)
　　又因飛船欲繞地球做圓周運動，故其應保持的向心力為：
　　F=mv²/(R+h)
　　而其向心力均由萬有引力提供，則
　　mv²/(R+h)=GMm/(R+h)²
　　化簡上式，兩側同乘(R+h)/m得
　　v²=GM/(R+h) (2)
　　代(2)入(1)得
　　v₁²=GM/(R+h)+2GMh/R(R+h)
　　化簡，得
　　v₁²=(RGM+2GMh)/R(R+h)
　　提取公因式，得
　　v₁²=(GM/R²)(R+2h)R/(R+h)
　　注意GM/R²=g，且高度h與地球半徑R比起微不足道，故R+2h，R+h，都可以看做為R，故
　　v₁²=GM/R=Rg
　　即
　　v₁=(Rg)½
　　代入數據R 6.37*10⁶，g 9.8得
　　v₁ 7900(m/s)
　　關於第二宇宙速度的推導
　　這次設一飛船以v₂的速度飛出地球而最後飛離擺脫地球引力場控制，那麼我們照舊可以用(1)式這個結論，得：
　　v₂²=v²+2GMh/R(R+h)
　　實質上就是把v₁改成v₂，而其v,G,M,R,h意義不變，我們設飛船飛到最後速度為零，即在他飛行到最遠距離時，得v₂²=2GMh/R(R+h)
　　其中h指飛船飛行最遠距離，而想要讓飛船擺脫地球引力場，就要讓其最遠飛到無限遠的地方，也就是h= ，那麽R+h就約等於h，即
　　v₂²=2GMh/Rh
　　v₂²=2GM/R
　　故
　　v₂=(2GM/R)½
　　或是說
　　v₂=2½v₁
　　代入數據，得
　　v₂ 11200（m/s)
　　这樣一來我們就算出第一宇宙速度和第二宇宙速度了