磁场区域最小面积的求解方法

　　有界磁场的作用：利用有界磁场可以控制带电粒子的运动方向.
　　【思路】
　　在粒子运动过程分析（正确画出运动轨迹示意图）的基础上借助几何关系先确定最小区域示意图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小面积.
　　确定圆心经常用到的是圆心在入射速度和出射速度夹角或夹角补角的角平分线上.
　　一些结论：
　　①粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心.
　　②所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长.
　　③从同一点入射的速率相同的粒子,若要求出射后粒子运动方向都平行,则磁场中粒子出射位置所在的边界是一段圆弧,其半径与粒子在该磁场中运动的轨迹半径相等,且圆心与入射点的连线垂直于出射方向(磁聚焦 ).反之亦然(磁发散 ).
　　④从同一点沿相同方向入射的不同速率的相同粒子,若要求出射后粒子运动方向都平行,则磁场中粒子出射位置所在的边界是一段线段.线段的两个端点分别在入射点及速率最大的粒子的出射点上.
　　【步骤】：
　　①画出粒子运动的可能轨迹
　　②确定磁场一定要覆盖轨迹
　　③找到轨迹两端与磁场形状
　　【方法】：
　　①放缩圆、旋转圆、平移圆
　　②几何法
　　③参数法
　　例题：如图所示，在倾角为30 的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，OP 0.5m.现有一质量m 4 10 ²⁰kg，带电量q 2 10 ¹⁴C的粒子，从小孔以速度v₀ 3 10⁴m/s水平射向磁感应强度B 0.2T、方向垂直纸面向外的某磁场区域.且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计.
　　(1)若磁场是方向垂直纸面向外的一圆形磁场区域，圆形磁场区域的最小半径.
　　(2)若磁场是方向垂直纸面向外的一矩形磁场区域，求矩形磁场区域的最小面积.
　　(3)若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求此正三角形磁场区域的最小边长.
　　例题：如图，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v₀的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，
　　求：
　　（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
　　（2）此匀强磁场区域的最小面积.
　　例题：如图所示，一带电质点质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）
　　例题：如图所示，在xOy平面第一象限内的某区域有垂直平面匀强磁场（没画出），一个质量为m、电荷量为q的电带粒子。由y轴上的P点开始运动，初速度为v₀，方向沿x轴正方向；P到O的距离为 3L，后来，粒子经过x轴上的Q点，此时速度方向与x轴负方向的夹角为θ 60 ，Q到O的距离为2L，磁场的磁感应强度B 4 3mv₀/
　　3qL。
　　（1）求带电粒子从P点运动到Q点所用的时间；
　　（2）若匀强磁场的区域是圆形磁场，求圆形磁场的最小面积；
　　（3）若匀强磁场的区域是矩形，求矩形磁场的最小面积。
　　例题：如图所示，在y轴右侧存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的有界匀强磁场（图中未画出）。一束质量为m，电量为十q的粒子流，从坐标原点沿x轴正向射入磁场，其速度大小介于2v₀与3v₀之间，经磁场偏转后，所有粒子均沿y轴正方向射出磁场区域。不计粒子重力。求：
　　（1）粒子经过多长时间全部离开磁场；
　　（2）为防止粒子流污染，在磁场外放置一块板挡住粒子流，该板至少需要多宽；
　　（3）画出满足条件的磁场区域，并求出最小面积。
　　例题：在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率v₀沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xOy平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。
　　【解析】由题意可知，电子是以一定速度从原点沿任意方向射人第一象限的，先研究速度沿 y方向的电子，如图甲所示，其在磁场中的运动轨迹是圆心在x轴上的A点、半径为R mv₀/qB的圆弧OCP。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场区域的上边界。当电子速度方向与x轴正向成角度θ时，作出轨迹图如图乙，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴正方向，设边界任一点的坐标为S（x，y），由图可知：
　　x Rsinθ，y R-Rcosθ
　　消去参数θ得：x² (y-R)² R²
　　可以看出随着θ的变化，S的轨迹是圆心为（O，R），半径为R的圆，即磁场区域的下边界。
　　上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图甲所示。则符合条件的磁场最小面积为
　　例题：如图所示，在平面直角坐标系 oy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形 匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿 轴负方向的匀强电场，一粒子源固定在 轴上坐标为（-L，O）的A点.粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上坐标为（0，2L）的C点，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与 轴正方向成15 角的射线ON（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）.求：
　　（1）匀强电场的电场强度E的大小；
　　（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；
　　（3）圆形磁场的最小半径Rmin.
　　【分析】运动轨迹图，先类平抛运动，后部分匀速圆周运动.
　　例题：如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q 0）和初速为v₀的带电粒子。已知重力加速度大小为g。
　　（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿ⅹ轴正方向运动。求电场强度和磁场强度的大小和方向。
　　（2）调节坐标原点0处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同的速率v₀沿不同方向将这种带电微粒射入第Ⅰ象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于ⅹ轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度和方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
　　例题：如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于0点，夹角θ 30 ，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场；MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，且O点在磁场的边界上。现有大量质量为m、电量为 q的带电粒子在纸面内以速度v（0 v E/B）垂直于MO从点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左。不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
　　求：
　　（1）速度最大的粒子从O点运动至水平线PQ所需的时间；
　　（2）磁场区域的最小面积。