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球形空腔内的恒定重力加速度

  已知质量分布匀速的球壳对壳内物体的万有引力为零,假设地球是质量分布均匀的球体,如图若在地球内挖一球形内切空腔,有一小球自切点A自由释放,则小球在球形空腔内将做(  )
  A.匀速直线运动
  B.加速度越来越大的直线运动
  C.匀加速直线运动
  D.加速度越来越小的直线运动参考答案:C
  实际上,即使空腔不与球体相切,腔内加速度也是恒定值。
  首先根据挖补法,将空腔部分填满。再根据万有引力公式,算出将空腔填满后,整个实心球对腔内某点处质点的引力,与空腔部分(已经被同种材料填满后)对同一位置同一质点的引力,引力比值=整个球半径/空腔半径。再结合矢量减法可知:空腔内的引力为恒力,即加速度恒定,如下图蓝色剪头即为恒力矢量:
  红色比值=半径比
  进一步还可以证明类似的带电球体,腔内场强也是恒定。

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