小乐数学科普80多年前的群代数单位猜想被否定译自量子杂志

　　作者：Erica Klarreich 2021-4-12 译者：zzllrr小乐 2021-4-13
　　2月22日，一位名叫Giles Gardam的博士后数学家，在网上花了长达一个小时，谈论了单位猜想，一个很基本但令人困惑的代数问题，至今已有80多年的历史了。他细致地阐述了这个猜想以及两个关联猜想的历史，并解释了它们与称为K理论的强大代数机器的联系。然后，在演讲的最后几分钟，他宣布了一个意外的结果。
　　他说：＂我快要结束谈话了，现在是时候让我告诉你最新消息了。＂ ＂我很高兴今天能首次宣布，实际上单位猜想是错误的。＂
　　Gardam拒绝告诉听众他如何找到了人们期待已久的反例（除非确认它涉及计算机搜索）。他告诉量子杂志，将在几个月后分享更多细节。但是现在他说：＂我仍然很乐观，也许我还有足够的技巧可以得到更多的结果。＂
　　Gardam解决的问题涉及一个足以向高中生解释的简单问题：在一个广泛的代数结构家族中，哪些元素具有乘法逆元。
　　乘法逆是成对的，例如7和1/7（两者相乘等于1）。但是单位猜想涉及的不是＂普通代数＂而是＂群代数＂中元素的乘法逆，＂代数＂是将数字系统（如实数或某些时钟类型的算术）与群（一个广泛的类别，包括矩阵，对称变换和许多其他对象的集合）结合而成的结构。
　　在这样的结构中，数学家们在八十多年前就猜想过，只有最简单的元素才能具有乘法逆。 20世纪中叶的研究人员使用大量的纸-笔计算来梳理这些群代数，以寻找具有乘法逆的更复杂元素，但他们既无法证明这一猜想，也无法提出反例。
　　牛津大学的Dawid Kielak说，在过去的几十年中，单位猜想和两个关联猜想被＂视为无望的东西＂。他说，即使许多数学家放弃证明这三个猜想，它们仍然＂始终以某种方式处于代数研究的背景中＂，这在很大程度上要归因于其与K理论的深厚渊源。
　　现在，德国明斯特大学的Gardam通过在由特定三维晶体形状的对称性建立的群代数内找到不寻常的＂单位＂（具有乘法逆的元素）来反驳单位猜想。南安普敦大学的Peter Kropholler说：＂这是一项了不起的工作。＂
　　在Gardam工作之前，在没有反例或完全证明的情况下，数学家在特殊情况下插手建立这三个猜想（或它们的某些下游结果）。通常，这涉及利用K理论，这一强大而费力的机器。Kropholler说，Gardam发现的关于单位猜想的反例令人惊讶地给人宽慰，因为这表明此项艰苦的工作确实必要。
　　＂从根本上来说，总有一个令人困扰的问题：如果你有一个关于单位猜想的证明，就会使很多事情变得容易，不是吗？＂他说。意识到猜想并不总是正确的，意味着＂我们为避免必须找到单位猜想的一个证明，而做的所有复杂的事情仍然非常值得做。＂
　　现在，研究人员的任务是了解Gardam复杂单位背后的原理。 ＂这非常令人兴奋，＂Kielak说。 ＂目前我们正处在闸门打开的状态，现在一切都再次成为可能。＂
　　Giles Gardam 2019年在德国明斯特大学无法预测的抵消
　　单位猜想利用了庞大的群论知识，群论研究的是一些集合，其中两个元素如何＂相乘＂得到一个新的元素。一个集合有资格成为群，其乘法运算的表现需要相当＂好＂，需有两个附加要求：该集合必须包含一个特殊元素（通常标记为＂ 1＂），当与其他元素相乘时，该元素保持不变，并且每个元素g必须具有一个乘法逆（写为g⁻¹），使得g乘以g⁻¹等于1。（直到我们进入一个将群与系数数系结合在一起的群代数的领域时，那些缺少乘法逆的元素就出现了，单位猜想就发挥了作用。）
　　群的世界是巨大的：有矩阵群（数字数组）和对称变换群（跟踪形状中的孔数或一副纸牌的不同排列），以及在物理和密码学以及许多其他领域中出现的群。
　　在许多群中，只有一种算术运算有意义。但是矩阵是不同的：除了可以将它们相乘，还可以将它们相加，或者将一个矩阵乘以一个数字系数。矩阵是理解线性对象和变换的关键，并且由于这种能力，数学家和物理学家经常通过寻找将群元素表示为矩阵的方法来深入了解其他群。
　　大约一个世纪前，群论学家发问：如果我们要以矩阵形式表示群的元素，为何不将矩阵的某些特殊属性封装在原始群的结构中呢？特别是，为什么不谈论将群元素加在一起或将它们与某个数系相乘呢？毕竟，如果a和b是群的两个元素，则至少可以写下类似的和：½a+7b 或4a³-2ab²。
　　对于原始群而言，这些和通常没有任何意义，谈论一副纸牌的一种排列的一半再加上另一种排列的七倍是没有意义的。但是，你仍然可以对这些形式的和进行代数运算。数学家称这些形式和的集合为＂群代数＂，而这种将群和系数数系编织在一起的结构＂将群和群如何表示的信息打包在一起＂，Gardam在一封电子邮件中写道。
　　在许多方面，群代数中的元素类似于高中代数中熟悉的多项式：x² - 4x + 5或3x³y⁵ + 2之类的表达式。但是有一个关键的区别。如果将两个多项式相乘，则某些项可能会抵消，但指数最高的项将始终在抵消过程中幸免。例如，（x - 1）（x + 1）= x² + x - x - 1，并且x和-x项相互抵消时，x²项仍然存在（与−1一样），从而产生x² -1。但是在群代数中，群元素之间的关系会导致其他难以预测的抵消。
　　例如，假设我们研究的群是字母＂ A＂的对称变换的集合。该群只有两个元素：一种是保持它的每个点的位置的变换（在我们的群中为＂ 1＂），另一种变换是在中心垂直轴上的反射（我们称为反射r）。两次反射将每个点还原到其原始位置，因此，在我们的群乘法的语言中，r乘以r等于1。这种关系会导致群代数出现各种意外结果。例如，如果将r + 2与-r / 3 + 2/3相乘，几乎所有内容都被抵消，剩下的只有1：
　　( r  + 2)(− r /3 + 2/3) = − r ²/3 + 2 r /3 − 2 r /3 + 4/3
　　= − r ²/3 + 4/3
　　= 1 (因为  r ² = 1)
　　换句话说，r + 2 和 2/3 − r/3 是一对乘法逆。
　　1940年，一位名叫Graham Higman的代数学家在他的博士论文中提出了一个大胆的猜想：他提出，这种抵消怪异的最坏情况只有在用于构造群代数的群包含某些幂等于1的元素时才会发生。与上面示例中的r一样。他提出，在所有其他群代数中，只含一项的元素（例如7a或8b）可以（并且确实）具有乘法逆，而具有多个项的和（如r + 2或3r - 5s）永远不能具有乘法逆。由于具有乘法逆的元素称为单位（units ），因此Higman的猜想被称为单位猜想（unit conjecture）。
　　在随后的几十年中，20世纪最主要的数学家之一Irving Kaplansky将该猜想与另外两个称为零因子和幂等猜想的群代数猜想一起进行了推广。这三个被称为Kaplansky猜想。总的来说，这三个猜想认为群代数与我们习惯于将数或多项式相乘的代数没有太大的不同。Kielak说，尽管Kaplansky呼吁人们注意这些猜想，但没有特别的理由认为他相信了这些猜想。
　　当时，几乎没有证据证明或证否。 如果有的话，有一个哲学上的理由不相信这个猜想：据说数学家Mikhael Gromov观察到，群是如此多样，以至于关于群的任何笼统的普遍陈述几乎总是错误的，除非有明显的原因认为应该是真的。
　　因此，对于Kaplansky来说，推动单位猜想＂非常大胆＂，Kielak说。 他说：＂这是要挑衅其他人提出聪明的例子。＂
　　但是数学家不能提出反例，也不想尝试。 在没有反例的情况下，Kielak说：＂你开始认为还有更深层次的事情发生了，那就是我们遗漏了一些基本原则。＂
　　分崩离析的和
　　在20世纪下半叶，似乎出现了＂更深层次的东西＂的候选人：代数K-理论，这是一个庞大的建筑，它使用难以计算的群不变量将代数与广泛的数学学科联合起来，比如拓扑学和数论。 例如，使用K-理论，研究人员能够将单位猜想与仅使用规定的动作在何种情况下可以将拓扑形状转换为另一种形状的问题联系起来。
　　研究人员能够证明，某些有力但未经证实的K理论猜想将暗示零因子和幂等猜想，从而有可能为它们成立的可能性提供深层原因。但是他们不能对单位猜想做同样的事情，这是三个猜想中最强的。波恩大学的Wolfgang Lück竭力证明单位猜想来自于称为Farrell-Jones猜想的K理论猜想。他说：＂我从来没有做过这个证明。＂ ＂我在想我是否很愚蠢。＂
　　尽管如此，数学家仍然能够通过证明这些群具有类似于多项式中最高指数的概念的性质来证明许多特定类型群的单位猜想。但是研究人员也知道一些违反这一性质的群，包括一个简单的称为Hantzsche-Wendt的群。这个群刻画了被物理学家认为是宇宙形状的可能模型的形状对称性，它是通过将三维晶体的侧面粘合在一起而建立的。康奈尔大学的Timothy Riley说，与许多其他群相比，这个群＂非常具备异国情调＂。
　　Hantzsche-Wendt群似乎是寻找单位猜想反例的一个富有成果的地方。但是，这样做并不是一件容易的事：Hantzsche-Wendt群是无限的，因此，即使在群代数中求简短的和，也存在无限多种可能性。而在2010年，一对数学家证明，如果这个群中有一个反例，那么在这些简单的和中你也找不到。
　　现在，Gardam在由Hantzsche-Wendt群建立的群代数中，找到了一对分别具有21项的乘法逆。找到这对乘法逆，需要进行复杂的计算机搜索，但要验证它们是否确实是逆，完全通过人工计算即可驾驭。这只是将它们相乘并检查乘积中的441项是否可以化简为1的问题。＂一切都分崩离析了，＂ Kropholler说。 ＂那真是太神奇了。＂
　　Lück现在知道为什么他永远无法证明Farrell-Jones猜想暗含单位猜想：Farrell-Jones猜想对于Hantzsche-Wendt群是正确的，但是单位猜想是错误的。他说：＂现在我知道我并不傻。＂
　　一旦Gardam发布了他的算法的细节，那将是其他数学家探索Hantzsche-Wendt群以及潜在的其他群的公开季节。Kielak 说：＂希望我们将学到新的东西-一种新技巧，使我们能够建立新例子。＂
　　知道猜想是错误的，已经改变了许多数学家的思维方式。 ＂从心理上讲，这是一个很大的差异，＂Kielak 说。 ＂可能在一年的时间内，我们将有无限多个反例＂。
　　Gardam的反例使用最简单的数字系统之一作为系数，这是只有两个＂小时＂的时钟算法。因此，一个紧迫的问题是使用其他数系（例如实数或复数）是否可以找到反例。还有一个问题，是否存在某些违反Kaplansky其他两个猜想的群。这样的发现会使K理论界感到震惊，因为这将与该学科的某些中心猜想相违背。
　　对于Gardam来说，他的发现是花了多年时间寻找有趣的代数反例达到的巅峰。他在一封电子邮件中解释说，他的驱动力并不是赏金猎人般的心意-而是追逐好奇的反例可能带来的喜悦。
　　他写道：＂强大的理论有其自身的美丽和优雅，但是，如果一切都是僵化，严格控制和表现良好的，那么这个学科就会变得非常枯燥。＂ ＂令人惊讶的例子是使数学变得有趣并保持其奇异和美妙的重要成分之一。＂
　　本译文2021-4-13在zzllrr小乐微信公众号、小乐数学百家号、小乐数学头条号、B站同步发布。