中考数学压轴题分析圆中比例问题

　　【中考真题】
　　（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．
　　（1）如图1，若α＝60°，
　　①直接写出DF/DC的值为 　 　 ；
　　②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　  ；
　　（2）如图2，若α＜60°，且DF/DC=2/3，DE＝4，求BE的长．
　　【分析】
　　题（1）中已知60°，得到△ABC为等边三角形。那么所有的角度与编程的比例关系都可以得出。
　　①中易得△ACF为含30°角的直角三角形，连接AD，易得AD=CD，且∠ADF=60°，那么DF与DC的比值就是AD与DF的比值，也就是2:1了。
　　②中是求阴影部分的面积，由于含有圆弧，所以需要适当的割补并利用扇形面积进行转化求解。
　　可以连接AO、AD，先求出弓形AD的面积，再把△ADF的面积减去它即可。
　　题（2）已知比例关系，求线段的长度。如果知道DE与BE的比值，那么就容易知道BE的长度了。
　　遇到比例我们通常可以考虑用相似的方式。
　　过点D作DH∥BC，并交AC于点G。根据弦切角定理得∠FAC=∠ABC（通过连接AO，得∠FAC+1/2∠BAC=∠ABC+1/2∠BAC=90°，）。如果连接AD，那么也可以得到∠FAD=∠ACD，可以得到一对相似三角形。
　　△ADF∽△CAF，根据DF/DC=2/3，可以分别设它们为2x与3x，进而表示出所有的比例关系，可以得到GD=3√10x/5，BC=3√10x/4，则得到GD/BC=DE/BE=4/5，得到BE=5。
　　遇到比例相似问题，常常可以构造A型或8字型相似进行转化。
　　本题的转化有一定难度，需要找出角度的关系，进而得到相似与比例关系。
　　【答案】 解：（1）如图1，连接OA，AD，
　　∵AF是⊙O的切线，
　　∴∠OAF＝90°，
　　∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
　　∴△ABC是等边三角形，
　　∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
　　∵BD平分∠ABC，
　　∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
　　∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
　　∴∠BAD＝90°，
　　∴BD是⊙O的直径，
　　∵OA＝OB＝OD，
　　∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，
　　∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
　　∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，
　　∴OA∥DF，
　　∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，
　　∵∠DAF＝30°，
　　∴AD＝2DF，
　　∵∠ABD＝∠CBD，
　　∴弧AD=弧CD，
　　∴AD＝CD，
　　∴CD＝2DF，
　　∴DF/DC=1/2，
　　故答案为：1/2；
　　②∵⊙O的半径为2，
　　∴AD＝OA＝2，DF＝1，
　　∵∠AOD＝60°，
　　∴阴影部分的面积为：S梯形AODF﹣S扇形OAD=1/2⋅AF⋅(DF+OA)-(60π×2²)/360=1/2×√3(1+2)-(60π×4)/360=(3√3)/2-2/3π；
　　故答案为：(3√3)/2-2/3π；
　　（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，
　　∴∠DAH+∠DHA＝90°，
　　∵AF与⊙O相切，
　　∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，
　　∴∠DAF＝∠DHA，
　　∵BD平分∠ABC，
　　∴∠ABD＝∠CBD，
　　∵弧AD=弧CD，
　　∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，
　　∵AB＝AC，
　　∴∠ABC＝∠ACB，
　　∵四边形ABCD内接于⊙O，
　　∴∠ABC+∠ADC＝180°，
　　∵∠ADF+∠ADC＝180°，
　　∴∠ADF＝∠ABC，
　　∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，
　　∴∠ADF＝∠ADB，
　　在△ADF和△ADE中
　　∵∠DAF=∠DAE，AD=AD，∠ADF=∠ADE，
　　∴△ADF≌△ADE（ASA），
　　∴DF＝DE＝4，
　　∵DF/DC=2/3，
　　∴DC＝6，
　　∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE，
　　∴△CDE∽△BDC，
　　∴CD/DB=DE/CD，即6/BD=4/6，
　　∴BD＝9，
　　∴BE＝DB﹣DE＝9﹣5＝5．