中考数学压轴题分析动点产生的重叠面积

　　【中考真题】
　　（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．
　　（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
　　（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=91/36？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
　　（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
　　【分析】
　　题（1）求H落在AC边上时t的值，可以画出此时的图形，然后利用已知条件寻找解题策略。
　　从上图中可以看到一个明显的A字型相似。利用比例关系求出CE的长度即可。
　　题（2）问的是正方形与△ABC的重叠面积。由于开始正方形的面积始终为1，所以不可能出现91/36。那什么时候有可能呢？
　　因为点F运动到点O的时候，停止了。但是点E仍然会继续运动到OB的中点。此时边长会达到最大值2，那么面积就是4＞91/36，所以有可能。那么我们可以画出这段过程的图形。
　　先是点H在AB上，再到点E为OB的中点。
　　题（3）点M是往返运动，所以有可能会在正方形EFGH的内部。
　　①开始的时候它与正方形是相向而行，可以先确定点M在EH所在直线上时的t的值，然后再判断点M下一步是否会在正方形的内部。是与直线EH的相遇问题。
　　②当点M与GF所在的直线重合时，即将离开正方形的区域。此时与GF也是相遇问题。
　　然后就是点M往回运动时，追及GF与EH了。
　　分别把每个时间点都算出来，再进行判断即可。
　　【答案】 解：（1）如图1﹣1中，
　　由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，
　　当点H落在AC上时，∵EH∥OA，
　　∴CE/CO=EH/OA，
　　∴CE/4=1/2，
　　∴CE＝2，
　　∴点E的运动路程为1，
　　∴t＝1时，点H落在AC上．
　　（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，
　　∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S=91/36，
　　∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．
　　由题意：（t﹣3）2-1/2•(3t-13)/2•（3t﹣13）=91/36，
　　整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t=14/3或92/15（舍弃），∴满足条件的t的值为14/3．
　　（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t=3/5
　　当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t=4/5，
　　∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=4/5-3/5=1/5（s），
　　当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t=4/3，
　　当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t=5/3，
　　点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=5/3-4/3=1/3，
　　∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长=1/5+1/3=8/15（s）．