小乐数学科普数学家探讨未解决的希尔伯特第十三问题

　　作者：斯蒂芬·奥恩斯，Stephen Ornes，量子杂志Quanta Magazine撰稿人 2021-1-14
　　译者：zzllrr小乐公众号，数学公益科普 2021-1-18
　　原文版权归量子杂志所有，如需转载，请保留此完整信息。
　　成功在数学上是罕见的。不妨问问本森·法布（Benson Farb）。
　　＂数学的难点在于，你有90％的时间是失败的，而你得是那种能在90％的时间失败的人，＂法布在一次晚宴上说。当另一位也是数学家的嘉宾对他10％的时间的成功感到惊讶时，他很快承认：＂不，不，不，我在夸大我的成功率。非常夸大。＂
　　法布（Farb）是芝加哥大学的拓扑学家，他对自己最近的失败感到高兴，尽管说实话，并不是他一个人。这围绕着一个问题，奇怪的是，这个问题既被解决了又未被解决，既封闭又开放。
　　问题是二十世纪初德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）预测的23个尚未解决的数学问题中的第13个，塑造了该领域的未来。该问题提出了有关求解七次多项式方程的问题。术语＂多项式＂是指一连串的数学术语-每个均由数字系数和变量的幂组成，通过加减法连接。＂七次＂表示字符串中的最大指数为7。
　　数学家们已经有了有效而灵巧的方法来求解二次，三次和某种程度的四次方程。这些公式（类似于二次求根公式）涉及代数运算，仅涉及算术运算和根式运算（例如，平方根）。但是指数越高，方程变得越棘手，解决该问题将变得不可能。希尔伯特（Hilbert）的第13个问题询问是否可以使用加，减，乘，除，以及最多两个变量的代数函数的组合来求解7次方程。
　　1900年，戴维·希尔伯特（David Hilbert）提出了23个重要的未解决问题的清单。从某种意义上说，第十三条既解决又未解决。
　　哥廷根大学
　　答案可能是否定的。但是对于Farb而言，问题不仅仅在于求解复杂类型的代数方程。他说，希尔伯特的第13个问题是数学中最基本的公开问题之一，因为它引发了深层次的问题：多项式有多复杂，我们该如何衡量？Farb说：＂一大堆现代数学被发明，以了解多项式的根。＂
　　这个问题使他和加州大学欧文分校的数学家杰西·沃尔夫森（Jesse Wolfson）陷入了数学兔子洞，他们仍在探索它们的隧道。他们还抽调了哈佛大学数论学家，法布的老朋友马克·基辛（Mark Kisin）来帮助他们发掘。
　　法布承认，他们还没有解决希尔伯特的第13个问题，甚至可能还没有解决。但是他们发现了实际上已经消失的数学策略，并且他们探索了问题与各种领域之间的联系，其中包括复分析，拓扑，数论，表示论和代数几何。通过这样做，他们取得了自己的成就，尤其是在将多项式与几何联系起来并缩小希尔伯特问题的可能答案范围之时。他们的工作还提出了一种使用复杂度指标对多项式进行分类的方法，类似于与未解决的P与NP问题相关的复杂度类。
　　佐治亚大学的数学家丹尼尔·利特（Daniel Litt）说：＂他们确实从问题中提取了比以前研究的更有趣的版本。＂ ＂他们使数学界意识到许多自然而有趣的问题。＂打开并关闭，然后再次打开
　　许多数学家已经认为问题已经解决。那是因为一位名叫弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）的苏联奇才和他的导师安德烈·尼科利耶维奇·科尔莫戈洛夫（Andrey Nikolyevich Kolmogorov）在1950年代后期发表了证明。对于大多数数学家而言，Arnold-Kolmogorov的著作将这个问题关闭了。甚至维基百科（不是确定的来源，而是公共知识的合理代替物）直到最近宣布此案结案。
　　弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）和他的导师安德烈·尼科利耶维奇·科尔莫格洛夫（Andrey Nikolyevich Kolmogorov）在1950年代证明了希尔伯特的第13个问题的版本，但希尔伯特可能并不感兴趣。
　　斯维特拉娜（Svetlana Tretyakova）
　　但是五年前，法布（Farb）在阿诺德（Arnold）的一篇文章中遇到了一些诱人的线索，其中著名的数学家反思了他的工作和职业生涯。Farb惊讶地发现Arnold将希尔伯特的第13个问题描述为公开的，实际上花了整整40年的时间来解决他原本应该征服的问题。
　　＂所有这些论文在字面上都会重复它已经解决的问题。他们显然不了解实际问题，＂法布说。他已经与当时的博士后研究员Wolfson进行拓扑项目合作，当他分享自己在Arnold论文中发现的内容时，Wolfson参与了。2017年，在庆祝Farb诞辰50周年的研讨会上，Kisin听了Wolfson的演讲并惊讶地意识到，他们关于多项式的思想与他自己的数论著作中的问题有关。他加入了合作。
　　对此问题感到困惑的原因很快就清楚了：Kolmogorov和Arnold仅解决了该问题的一个变体。他们的解决方案涉及数学家所谓的连续函数，即没有突然间断或尖峰的函数。它们包括诸如正弦，余弦和指数函数之类的熟悉运算，以及更奇特的运算。
　　但是研究人员对于希尔伯特是否对这种方法感兴趣没有意见。不列颠哥伦比亚大学的数学家Zinovy Reichstein说：＂许多数学家相信希尔伯特实际上关心的是代数函数，而不是连续函数。＂ Farb和Wolfson自从有发现以来就一直在研究他们认为希尔伯特所意图的问题。
　　法布说，希尔伯特第13个问题是万花筒。他说：＂打开这个东西，投入得越多，就会得到更多的新方向和想法。＂ ＂它打开了通往整个阵列的大门，这整个美丽的数学网络。＂物质的根源
　　只要数学一直存在，数学家就一直在研究多项式。3,000多年前雕刻的石碑表明，古代巴比伦的数学家使用一种公式来求解二阶多项式-楔形文字的祖先，具有与当今代数学生所学的相同二次公式。那个公式
　　告诉你如何找到二次多项式的根，或者说使下列表达式等于零的x的值
　　随着时间的流逝，数学家自然而然地想知道，对于高次多项式，是否存在这样的简洁公式。沃尔夫森说：＂这个问题的几千年历史是回到一种有力，简单和有效的方面。＂
　　多项式的次数越高，它们变得越难控制。意大利博学数学家Gerolamo Cardano在其1545年的著作《Ars Magna》中发表了一些公式，用于查找三次和四次多项式的根。
　　三次多项式的根
　　可以使用以下公式找到：
　　四次公式甚至更糟。
　　＂随着次数的提高，他们的复杂性也随之增加；它们构成了复杂的塔。＂哈佛大学的库特·麦克穆伦（Curt McMullen）说。＂我们如何掌握那座复杂的塔？＂
　　意大利数学家保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini）在1799年提出，不能使用算术和根式来求解5次或更高次的多项式。挪威的尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）于1824年证明了这一点。换句话说，不可能有类似的＂五次公式＂。幸运的是，出现了其他想法，提出了进一步发展高次多项式的方法，这些方法可以通过替换来简化。例如，1786年，一位名叫Erland Bring的瑞典律师表明，该形式的任何五次多项式方程
　　可以重组为
　　（其中p和q是由a，b，c，d，e和f确定的复数）。这指出了解决多项式内在但隐藏的规则的新方法。
　　在19世纪，威廉·罗恩·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）捡起布莱恩（Bring）和其他人所丢弃的。他展示了除其他情况外，找出任何六次多项式方程的根，你只需要常用的算术运算，一些平方根和立方根，以及仅依赖两个参数的代数公式即可。
　　1975年，哈佛大学的美国代数学家Richard Brauer提出了＂可分解度＂的概念，该概念描述了表示某种次数的多项式所需的最少项。（不到一年后，Arnold和日本数字理论家Shiro Goro在另一篇论文中介绍了几乎相同的定义。）
　　在Brauer的框架中，这是首次尝试编纂此类替换规则的框架，希尔伯特的第13个问题问我们七次多项式的可分解度是否小于3；后来，他对六次和八次多项式做出了类似的猜想。
　　但是，这些问题也引出了一个更广泛的问题：找出任何多项式的根所需的参数最少个数是多少？你能少到什么程度？可视化思考
　　解决此问题的一种自然方法是考虑多项式的外观。多项式可以写成一个函数，例如
　　该函数可以绘制成图形。然后找到根就成为一个问题，要认识到函数的值为0时，曲线与x轴相交。
　　高次多项式产生更复杂的图像。例如，具有三个变量的三次多项式函数会生成嵌入三个维度的光滑但扭曲的曲面。同样，通过知道在哪里可以看到这些图形，数学家可以进一步了解其基础多项式结构。
　　我们还没有解决这个基本问题。这意味着我们尚未进入某些黑暗区域。
　　——哈佛大学的Curt McMullen
　　结果，许多理解多项式的努力都来自代数几何和拓扑，这些数学领域专注于形状和图形在投影，变形，压扁，拉伸或以其他方式变形而不会断裂时发生的情况。法布说：＂亨利·庞加莱（Henri Poincaré）基本上是发明了拓扑学领域，他明确表示要这样做是为了理解代数函数。＂ ＂当时，人们真的在与这些基本联系搏斗。＂
　　希尔伯特本人通过将几何学应用于该问题，发掘了特别出色的联系。到1900年他列举问题时，数学家已经有了许多简化多项式的技巧，但是它们仍然无法取得进展。然而，在1927年，希尔伯特（Hilbert）描述了一个新的技巧。他首先确定了简化九次多项式的所有可能方法，然后在其中发现了一系列特殊的三次曲面。
　　希尔伯特已经知道，每个光滑的三次曲面（由三次多项式定义的扭曲形状）都精确地包含27条直线，无论它看起来有多纠结。（这些直线随多项式系数的变化而变化。）他意识到，如果他知道这些直线之一，则可以简化9次多项式以找到其根。该公式只需要四个参数；用现代的术语来说，这意味着预解式的最高次数是4。
　　＂希尔伯特的惊人见解是，可以利用这个来自完全不同的世界的几何奇迹，将次数降低到4，＂法布说。走向连接网
　　当Kisin帮助Farb和Wolfson相互联系时，他们意识到，普遍认为希尔伯特（Hilbert）的第13个问题得到解决的假设已经基本上消除了人们对采用几何学方法解决预解式次数问题的兴趣。2020年1月，沃尔夫森（Wolfson）发表了一篇论文，通过将希尔伯特（Hilbert）关于9次多项式的几何工作推广到更一般的理论，从而使这一想法得以复兴。
　　希尔伯特（Hilbert）专注于三次曲面，以在一个变量中求解九次多项式。但是高次多项式呢？沃尔夫森认为，以类似的方式解决这些问题，你可以用许多变量的那些较高次多项式形成的某些高维＂超曲面＂代替该三次曲面。对它们的几何形状了解得很少，但是在过去的几十年中，数学家已经能够证明在某些情况下超曲面总是有直线。
　　每个光滑的立方表面，无论其曲折或弯曲如何，都精确地包含27条直线。希尔伯特（Hilbert）利用这个几何事实为九次多项式的根构造了一个公式。杰西·沃尔夫森（Jesse Wolfson）进一步推广了这一想法，在高维＂超曲面＂上使用直线来为更复杂的多项式创建公式。
　　格雷格·伊根
　　希尔伯特使用三次曲面上的直线求解九次多项式的想法可以扩展到这些高维超曲面上的直线。沃尔夫森（Wolfson）使用此方法为特定次数的多项式找到了新的，更简单的公式。这意味着，即使你无法可视化它，也可以通过在多维三次超曲面（在这种情况下为47维）上找到一个平面来＂简单地＂求解一个100次多项式。
　　通过这种新方法，Wolfson确认了九次多项式的希尔伯特预解式次数。对于其他多项式，尤其是9次以上的多项式，他的方法缩小了预解式次数的可能值范围。
　　因此，这不是对希尔伯特第13问题的直接进攻，而是对多项式的直接进攻。麦克默伦说：＂他们找到了一些相近的问题，并在这些问题上取得了进展，其中一些问题由来已久。＂ 他们的工作指出了思考这些数学结构的新方法。
　　这个一般的预解式次数理论还表明，关于六次，七次和八次方程的希尔伯特猜想与其他看似无关的数学领域中的问题等效。Farb说，预解式次数提供了一种通过代数复杂度对这些问题进行分类的方法，就像在复杂度类中对优化问题进行分组一样。
　　尽管该理论始于希尔伯特（Hilbert）的13世纪，但数学家对此表示怀疑，认为它能否解决有关七次多项式的公开问题。它用难以想象的维度说明了高次的，尚未探索的数学前景，但在低次数方程上却碰壁了，而无法确定其预解式次数。
　　对于McMullen来说，缺乏进展本身（尽管有这些进展的迹象）是很有趣的，因为这表明问题存在着现代数学根本无法理解的秘密。＂我们无法解决这个基本问题；这意味着我们还没有进入一些暗区。＂他说。
　　赖希斯坦（Reichstein）说：＂解决这个问题需要全新的思想。＂赖希斯坦提出了自己的新思想，即用他称为基本维的概念简化多项式。＂没有办法知道它们将来自何处。＂
　　但是三人并没有因此而退缩。＂我不会放弃这一点，＂法布说。＂这绝对是一种白鲸。使我前进的是这种连接的网络，以及围绕它的数学。＂