小乐数学科普往返旅程的弯曲几何译自量子杂志

　　作者：帕特里克·洪纳（Patrick Honner） 2021-1-14
　　来自美国纽约布鲁克林的国家级中学老师，量子杂志专栏作家，介绍了最新数学研究的基本概念。
　　译者：zzllrr小乐 2021-1-14
　　你是否曾经想过，如果地球不像球形那样，生活会怎样？我们认为由于行星旋转对称性，太阳系的平稳运行和无缝的日落是理所当然的。圆形的地球还使你很容易找出从A点到达B点的最快方法：只需沿着穿过这两个点的圆行进，然后将球体切成两半即可。我们使用这些最短的路径（称为测地线）来规划飞机路线和卫星轨道。
　　但是如果我们生活在一个立方体上怎么办？我们的世界将摇摆不定，我们的视野将被扭曲，最短的道路将更难找到。您可能不会花很多时间在立方体上想象生活，但是数学家会做：他们研究各种形状的物体的行程。最近在十二面体上环行的发现已经改变了我们几千年看待物体的方式。
　　在给定的形状上找到最短的往返行程似乎就像选择方向并沿直线行走一样简单。最终，你将回到起点。好吧，这取决于你所走的形状。如果是球形，是的。（诚然我们忽略了地球不是一个完美的球体并且其表面并不完全光滑的事实。）在球体上，直线路径遵循＂大圆＂，这是大地测量学，如赤道。如果绕着赤道走一圈，走完约25,000英里，你将绕一圈，然后正好回到起点。
　　在立方体世界中，测地线不太明显。由于每个面都是平坦的，因此在单面上找到直线路径很容易。但是，如果您在一个立方世界中行走，那么到达边缘时如何继续＂直行＂？
　　有一个有趣的旧数学问题说明了我们问题的答案。想象一下，一只蚂蚁在立方体的一个角上想要到达另一个角。从A到B的立方体表面最短的路径是什么？
　　您可以想象蚂蚁可以采取许多不同的途径。
　　塞缪尔·维拉斯科/ 量子杂志
　　但是哪个最短？有一种巧妙的技术可以解决问题。我们弄平了立方体！
　　如果立方体是用纸制成的，则可以沿边缘切开并将其弄平，以获得像这样的＂网＂。
　　在这个平坦的世界中，从A到B的最短路径很容易找到：只需在它们之间画一条直线。
　　要查看我们的立方体世界大地线，只需将立方体放回一起即可。这是我们最短的路径。
　　展平立方体之所以起作用，是因为立方体的每个面本身都是平坦的，因此当我们沿边缘展开时，不会扭曲任何东西。（类似的尝试＂展开＂这样的球体是行不通的，因为我们不能在不扭曲球体的情况下使其变平。）
　　既然我们已经知道了一个立方体上的笔直路径是什么样子，那么让我们重新审视一下我们是否可以沿着任何笔直路径行走并最终回到起点。与球体不同，并不是每条直线路径都能在立方体上往返。
　　但是往返确实存在，但有一个陷阱。请注意，蚂蚁可能会沿着我们上面绘制的路径继续前进，并最终回到起点。在一个立方体上，完整的圆圈将产生一条看起来更像菱形的路径。
　　在遵循此往返路径时，蚂蚁必须经过另一个顶点（点B）才能返回其起点。这很重要：在同一顶点处开始和结束的所有直线路径都必须经过立方体的另一个顶点。
　　事实证明，对于五种柏拉图立体中的四种而言，这是正确的。在立方体，四面体，八面体和二十面体上，在同一顶点上开始和结束的任何直线路径都必须沿途经过其他某个顶点。数学家五年前就证明了这一点，但十二面体不在他们的名单上。稍后我们将回过头来讲。
　　为了了解为什么在五个柏拉图立体中的四个上都存在关于测地线的事实，我们将对这些路径采用＂翻滚＂方法，然后切换到四面体世界，翻滚路径会更容易学习。
　　想象一下，从四面体的顶点开始，沿着面的直线路径前进。让我们调整四面体的方向，使我们的路径从底面开始。
　　当我们遇到一条边时，我们将四面体翻转过来，以便我们的路径在最后到达底部的面上继续：
　　此翻转图为我们提供了一种跟踪路径的方法，就像在多维数据集网络上所做的一样：
　　上面的滚动路径表示四面体表面上的该路径：
　　在这里，四面体的五次翻转对应于路径所经过的五个面。
　　现在，我们可以将四面体表面上的任何路径想象为该翻滚空间中的路径。让我们将其称为起点A，看看经过一些翻滚后该点的终点。
　　当我们的路径从A离开时，四面体在相反的一侧滚动。这将A抬离地面。
　　顶点A暂时悬浮在我们的翻滚空间上方。在创建翻滚空间时，我们通常不会指出A的位置，但是如果我们往下看，它就会出现在这里。
　　随着路径的继续，四面体再次翻滚。它可能有两个方向，但无论哪种方式，A都会回到地面。
　　当我们让四面体朝各个可能的方向滚落时，我们最终得到一个看起来像这样的翻滚空间：
　　由于四面体的等边三角形面相互配合的方式，因此创建了网格系统。
　　这个网格系统告诉我们有关翻转空间的两个有趣的事情。首先，四面体的顶点可以着陆的点都是＂晶格点＂或具有整数坐标的点。这是因为坐标系统中的一个单位是四面体的一个边长。
　　其次，看看A可以在哪里结束。
　　A的坐标始终是偶数。每当A落在地面上时，它将在两滚后再次回到地面上，因此A可能的着陆点在每个翻滚方向上都以两个边缘长度间隔开。
　　现在，让我们看看这对测地线的意义。回想一下，四面体上从A开始和结束的路径将是翻滚空间中从（0,0）处的A到另一个A处的直线段。当路径的起点和终点均为A时，路径的中点会很有意思。
　　即使在弯曲的坐标系中，标准中点公式仍然有效，因此我们可以通过平均端点的坐标来找到中点的坐标。由于起点的坐标均为0，终点的坐标均为偶数，因此我们的中点的坐标均为整数。这使中点成为晶格点，并且如我们上面所观察到的，因此它对应于翻转空间中三角形的顶点。
　　例如，从（0,0）到（4,2）的路径具有中点（2,1），即我们网格中的晶格点。
　　这意味着在四面体的表面上，从A到其自身的路径必须沿路径经过另一个顶点。
　　由于在该系统中A的每个可能着陆点均具有偶数坐标，因此从A处开始和结束的每个测地路径的中点都将对应一个晶格点。这表明四面体表面上从A到A的每个测地线都必须穿过另一个顶点。
　　这是数学家戴安娜·戴维斯（Diana Davis），维克多·多德斯（Victor Dods），辛西娅·特劳布（Cynthia Traub）和杰德·杨（Jed Yang）在2015年提出的严格论证的简单版本。他们使用相似但复杂得多的参数来证明该多维数据集相同。德米特里·福克斯（Dmitry Fuchs）于次年证明了八面体和二十面体的结果。因此，我们知道对于四面体，立方体，八面体和二十面体，没有不会经过另一个顶点而从顶点返回自身的直线路径。
　　但是直到2019年，十二面体表面上是否存在此类路径仍然是一个悬而未决的问题，当时数学家Jayadev Athreya，David Aulicino和Patrick Hooper证明了这实际上是可能的。实际上，他们在十二面体的表面上发现了无数个直线路径，这些直线路径在同一顶点处开始和结束，而没有经过任何其他顶点。
　　这是十二面体网上所显示的，隐藏在清晰的视野中。
　　数千年来，柏拉图立体已经被一起研究，因为它们有很多共同点。但是现在我们知道十二面体有一些新的东西，那就是完全不同的。这个神秘的发现表明，无论我们对数学对象的理解程度如何，总是有很多东西需要学习。它还表明，从问题到解决方案的路径并不总是看起来像一条直线。