小乐数学科普数学家找到希尔伯特第12问题特殊多项式的构建基块

　　作者：Kelsey Houston Edwards 量子杂志 2021-5-25 译者：zzllrr小乐 2021-5-26
　　数学中的问题通常具有简单的＂是/否＂结构：这种说法是对还是错？然而最持久和最有趣的问题代代相传，成为数代人的工作成果，就像花了几个世纪才建成的中世纪大教堂一样。这些问题的答案打开了新的大门，并提供了可以继续构建的新颖结构。
　　1900年，数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）宣布了23个未解决的重大问题的清单，他希望这些问题能够持续存在并得到启发。一个多世纪之后，他的许多问题都继续推向数学研究的前沿，因为它们是有意含糊的。
　　麦吉尔大学的亨利·达蒙（Henri Darmon）说：＂希尔伯特在提出问题时有一种天才，那就是这些问题有些开放性。＂ ＂这些非常困难的开放式问题对数学非常有用，因为它们可以指引我们。＂
　　在希尔伯特宣布问题清单之前不久，数学家发现了与有理数相关联的特定数字集合的基础，这些数字可以表示为整数的比率。此发现是列表中第12个问题的基础，该问题要求与有理数以外的数字系统关联的构造块。
　　经过50多年的共同努力，最近的预印版终于描述了希尔伯特想要的广泛的数字系统家族。然而答案却基于一些非常现代的想法。
　　加利福尼亚大学，圣地亚哥大学和哈佛大学的名誉教授本尼迪克特·格罗斯（Benedict Gross）说：＂这是我们长期以来一直在寻找的东西，他们确实取得了重大突破。＂。 ＂这与希尔伯特的想法完全不同。但这就是数学的方式。你永远无法预测说出一个问题如何解决的。＂
　　寻找根
　　希尔伯特第12个问题的大厦是建立在数论的基础上的。数论是研究数字的基本算术性质（包括多项式表达式的求解）的数学分支。这些是一串带有附加到不同幂的变量的系数的项，例如x³ + 2x-3。特别是，数学家经常研究这些表达式的根，即可使多项式等于零的x的值。
　　数论学家经常根据多项式所具有的系数类型对其进行分类。以有理数作为系数的那些是比较常见的研究目标，因为它们相对简单。
　　杜克大学的数学家，近期著作的作者之一萨米特·达斯古普塔（Samit Dasgupta）和印度科学院的Mahesh Kakde一起说：＂我们从有理数开始。＂ ＂这是数论中的基本系统。＂
　　有时具有有理系数的多项式的根本身就是有理数，但并非总是如此。这意味着想要查找所有具有有理系数的多项式的根的数学家需要研究一个扩展的数字系统：复数，其中包括所有有理数和实数，以及虚数i，即-1的平方根。
　　当我们在复数平面上绘制多项式的根时，实数沿x轴，而纯虚数沿y轴，则可能会出现某些对称性。这些对称性可以应用于重新排列点，置换其位置。如果你可以按任意顺序应用对称性并获得相同的结果，则我们说多项式是阿贝尔的（可交换）。但是，如果你在应用对称性的顺序改变了结果，则多项式是非阿贝尔的。同样，数论学家对阿贝尔多项式最感兴趣，再次是因为它们简单，但它们可能难以区分。例如，x²-2是阿贝尔的，但x³-2不是。
　　俄勒冈大学的艾伦·埃申（Ellen Eischen）说：＂要想了解非阿贝尔的东西，你不必走得太远。＂
　　除了那些对称性以外，阿贝尔多项式还具有另一个与众不同的特征，即涉及尝试以简单而精确的术语来描述多项式的根。例如，很容易准确地描述多项式x²-3的根：它们只是3的正平方根和负平方根。但是，很难说明具有较大指数的更复杂多项式的根。
　　当然，有解决方法。 ＂你可以通过数值求解来近似[多项式的根]，＂ Eischen说。 ＂但是，如果你想以一种明确的方式写下来-这就是很多人会觉得更令人满意的方式-我们只能以有限的方式做到这一点。＂
　　但是，具有有理系数的阿贝尔多项式是特殊的：始终可以从固定的构造块集合中精确计算其根。这项发现如此强大，激发了希尔伯特提出他的第12个问题，这全都归功于一系列被称为单位根的数字。
　　单位根
　　单位根是一个看似简单的概念，却有非凡的力量。 从数字上讲，它们是一种多项式方程（变量的幂等于1）的解，例如x⁵= 1或x⁸ =1。这些解是复数，它们与指数中的数字相关。 例如，＂5次单位根＂是x⁵ = 1的五个解。
　　但是，也可以在不使用方程式的情况下以几何方式描述单位根。 如果将它们绘制在复平面上，则所有点都位于半径为1的圆上。如果将该圆视为时钟，则始终在3点钟位置具有一个单位根，其中x = 1， 因为1的任何幂仍然是1。剩余的单位根 在圆上等距分布。
　　在1800年代，早于希尔伯特列出问题之前，数学家发现单位根可以作为他们要研究的特定数字集合的＂构建块＂：具有有理系数的阿贝尔多项式的根。 如果你对单位根进行简单组合-将它们乘以有理数，然后将它们相乘-就可以描述所有这些期望的根。 例如，5的平方根是阿贝尔多项式x²-5的根，并且可以表示为各个5次单位根的和。 类似地，可使用8次单位根形成x²-2的根，即2的平方根。 这类似于质数是整数的基本组成部分的方式。
　　因此，单位根是完美描述具有有理系数的阿贝尔多项式的根所需的确切构建基块。 另一方面，单位根的任何组合都将产生一个数字，该数字是一些有理系数的阿贝尔多项式的根。 两者之间有着千丝万缕的联系。
　　希尔伯特提出第12个问题时想要的是，让数学家找到具有除有理数以外的数系中的系数的阿贝尔多项式根的构造块。 换句话说，其他数字系统的单位根是什么？
　　走得更远
　　这是一个雄心勃勃的问题，但这就是为什么它首先出现在希尔伯特的名单上的原因。他怀疑这是可以回答的，因为在撰写问题时，他对如何描述另一种数字系统（称为虚数二次域）的构造块有所了解。 （大致来讲，该系统仅包含有理数和负数的平方根。）几十年后，他的猜测被证明是正确的。
　　伦敦帝国理工学院的爱丽丝·波兹（Alice Pozzi）说：＂有两种情况（有理数情况和虚二次域的情况）引出了希尔伯特提出的问题。＂
　　希尔伯特希望以与他已经知道的两种情况相似的方式描述其他数字系统的基础。这意味着使用复分析，这是使用复数研究函数的数学分支。
　　但是在1970年代-希尔伯特（Hilbert）为他的第十二个问题奠定了基础之后的几十年-数学家哈罗德·斯塔克（Harold Stark）猜想L函数可以帮助破解它。这些是将无限多个数字加在一起的一种函数。希尔伯特（Hilbert）问题列表上另一个主题是黎曼zeta函数，是一个著名的例子：
　　几个世纪以来，数学家都知道L函数会产生神秘而有趣的结果。它们显示了如何使用无穷的简单分数数列来构建π和其他重要常数相关的数字。
　　在这种直觉的基础上，斯塔克Stark能够为使用L函数的其他数字系统提供单位根的类似物。但是，尽管数学家们相信Stark的猜想是正确的，并且已经使用计算机分析对其进行了广泛的测试，但他们并没有获得任何成功的证明。
　　＂据我们所知，斯塔克的猜想真的很困难，＂达蒙说。 ＂几乎没有任何进展，已经有50年了。＂
　　最终，斯塔克所做的就是提供一个配方，声称可以使用L函数找到具有其他数字系统系数的阿贝尔多项式根的构造块。只是没人知道如何证明这个配方有效。
　　更糟糕的是，Stark的配方只提供给你实际描述构件所需要的一半信息。这相当于仅具有位置的经度-你还需要纬度才能找到特定的地点。
　　在1980年代，格罗斯通过发布Stark配方的修改版本（这次使用的是更新的食材）来继续这项工作。像希尔伯特一样，史塔克也曾考虑过复数，但格罗斯则改用p-adic数（p进数）。这些是使用不同方法确定两个数字何时接近的标准数字的替代数。
　　达斯古普塔（Dasgupta）说：＂你可以从头开始重新建立微积分的整个理论，在这里你可以使用这种新概念来表示事物之间的紧密联系。＂
　　可以使用p-adic数（p进数）重写数学中的许多概念，其中包括L函数。实际上，在现代数论中，p-adic L函数被视为复L函数的自然伴侣。
　　哈佛大学的巴里·马祖尔（Barry Mazur）说：＂它们组成了一个非常团结的家庭。＂ ＂它们一起生效。＂
　　即便如此，起初格罗斯将复数转换为p-adic数似乎并没有使数学家更接近证明斯塔克的猜想。
　　格罗斯说：＂我完全被它吓倒了，因为我想，‘好吧，这和最初的猜想一样难，但形式不同。＂但是在随后的几十年中，随着数论学家发展了p-adic数论，格罗斯的p-adic猜想开始看起来比复杂的问题更容易解决。
　　达尔蒙说：＂ p-adic分析的整个世界非常丰富，并得出了许多有趣的结果。＂事实证明，使用p-adic数而不是复数更容易解决数学中的许多重要问题-希尔伯特的第12个问题。
　　本尼迪克特·格罗斯（Benedict Gross）是第一个使用p-adic数来查找希尔伯特第12个问题要求的数字构建基块的人。 几十年后，该方法被证明是成功的。（Ken Ribet提供照片 ）
　　小打小闹
　　今年三月，达斯古普塔（Dasgupta）和卡克德（Kakde）发表了一篇论文，该论文使用p-adic L函数首次回答了希尔伯特的问题，该问题涉及大量单独的数字系统。 这些系统被称为完全实数域，是有理数的推广，其中还包含了给定多项式的一个根。 （例如，吸收2的平方根在内，即可将有理数扩展为包括
　　这样的数字。
　　达斯古普塔（Dasgupta）在他2004年的博士论文中首先提出了他们需要的最终公式-对格罗斯猜想的改进。
　　达斯古普塔（Dasgupta）说：＂我半生都在为此工作。＂ ＂因此，最终完成了证明令我非常满意。＂
　　该过程的第一步是在过去十年中进行的，目的是利用p-adic数论的最新发展最终在一系列两篇论文中证明格罗斯的猜想。但这只提供了一半的信息，因为格罗斯（Gross）的猜想-就像史塔克（Stark）一样-仅给出了精确描述构件的两个数字之一。
　　在过去的三年中，达斯古普塔（Dasgupta）和卡克德（Kakde）努力证明了格罗斯猜想的一个版本，可以同时提供这两个数字，即使看起来仍然不可能。
　　卡克德说：＂也许我们俩都非常乐观。＂ ＂有时这些障碍似乎确实很严重，但是幸运的是，进展一直在发生。＂
　　去年，他们取得了突破。他们能够证明存在与完全实数域相关的精确构建基块。换句话说，他们知道所需的东西在那里，而这种洞察力使他们朝着正确的方向前进。它为他们提供了关键方程式，用于证明可以完全描述构建基块的确切公式。
　　杜克大学的萨米特·达斯古普塔（Samit Dasgupta）（左）和印度科学研究所的马赫什·卡克德（Mahesh Kakde）终于找到了大卫·希尔伯特（David Hilbert）大约100年前问过的一些数字构建基石，尽管他们是用意想不到的数学工具完成的。
　　Samit Dasgutpa; Haridasan 提供照片
　　为了确认它是正确的，两名与Dasgupta一起工作的学生编写了一个计算机程序，该程序实际上可以为给定的数字系统生成构建基块-最终烘焙现已完成的配方并证明其有效。除了理论证明之外，计算机程序还有助于证明Dasgupta和Kakde公式的准确性-解决此类抽象问题的一个特别重要的因素，容易产生错误的答案。 （希尔伯特本人曾错误地陈述了他的第十二个问题的部分解决方案。）
　　达斯古普塔（Dasgupta）说：＂我认为这是一种合作。＂的确，最近的工作是三代数学家的成果：他是达蒙（Darmon’s）的学生，而后者又是格罗斯（Gross）的学生。 ＂ [它花了很长时间，并且终于在最近的这些论文中得以实现。＂
　　希尔伯特（Hilbert）的第12个问题要求精确描述阿贝尔多项式根的构建基块，类似于单位根。达斯古普塔（Dasgupta）和卡克德（Kakde）的研究给出了一个数字系统家族的构建基块，尽管具有明显的现代意义，用了p-adic L函数的形式。
　　但最后还有一个波折：由于希尔伯特（Hilbert）明确指出，构建基块应该由复数构成，因此该解决方案偏离希尔伯特（Hilbert）原始指引的方式展示了数学的多样性。 它使用p-adic分析为希尔伯特的问题提供了答案，同时仍保留了使用复分析的原始问题，供后代的数学家探索。 可能有很多方法来描述构建基块，并且某天某人也许能够使用复数来描述它们，从而满足了希尔伯特的最初要求。
　　格罗斯说：＂这就是一场接力赛。＂ ＂当你精疲力尽到达下一代跑步者时，你只是在传递接力棒。＂