为什么我们非得去找代数方程的整数解？返朴

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　　导读
　　2019年，被科幻迷奉为经典的宇宙终极答案＂42＂，终于迎来了它的立方和方程解，即方程 x3+y3+z3=42  的解。当时数学家利用了全世界50万台计算机并行运算了几个月终于找到了答案，后来他们投入到了3的第三组解上。如今，新的答案也已出现。但这就是数学游戏吗？近2000年前古希腊数学家提出的问题，今天我们的数学家在为之努力什么呢？
　　撰文 | 张和持
　　离 告破仅一年多，数学家们又在前些日子找到了 新的一组整数解。后者的前两个解颇为简单：
　　但数十年来，第三组解迟迟没有被找到。其实我们并不是那么关心这个解究竟是多少。如果单单看这个等式，我们除了感受它的壮丽以外，并不能比没有计算机的古希腊人理解得更多 （公式左滑显示） ：
　　我可以断言，这个式子目前对数论学家而言几乎没有意义。我们能得出结果，只是因为算法效率变高了，计算机性能比50年前更强了，甚至对于解的估计也取得了进展。但这仍然是一个孤立问题，就算求出了一个解，也不会为下一个解提供任何线索，更难以帮助我们站在更高的角度理解这个问题。不光是 ，数论学家们研究的大多数方程看起来都没有意义。这不禁让我们产生疑问，这样的代数方程看起来没有任何特殊之处，为什么我们偏要去求它们的整数解呢？
　　关于算法的技术细节想必没多少人会关心。我只想通过这篇文章给各位读者一个初步的印象——数论不是复杂技巧，也不是冗长计算；我们在数论中寻找的是最深刻的数学关系。
　　亚历山大港的温暖夏夜
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　　从古希腊时代人们就开始研究方程。比如最为有名的直角三角形：
　　小学生也能找到几组整数解：(3, 4, 5), (5, 12, 13)。这样由整系数多项式组成的方程，从那时候起就是代数研究的中心。它们有的来源于几何，也有不少纯粹是出于人类的好奇心。其中做出奠基性贡献的，当属罗马时代生活在亚历山大港的希腊数学家，丢番图（Diophantus of Alexandria）。为了纪念他，我们称这些方程为丢番图方程。关于丢番图，或许读者们还记得他的墓志铭曾出现在小学数学题中： 坟中安葬着丢番图。
　　多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
　　上帝给予的童年占六分之一，
　　又过十二分之一，两颊长胡，
　　再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
　　五年之后天赐贵子，
　　可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
　　悲伤只有用数论（即算数，这两者在古代是同一个词）的研究去弥补，
　　又过四年，他也走完了人生的旅途。
　　不过除此之外，我们对他的生平知之甚少，其流传下来的作品只有一套《算数》（Arithmetica，大部分已遗失）。在这本书中，丢番图将他的重点放在了寻找方程的整数解和有理解。这对于今天有许多强力工具的我们并不是什么大问题——方程的解就是一个图形上所有的点。比如 就是一条直线， 就是一条抛物线。但古人的数学世界并不是 ，而是 。
　　毕达哥拉斯学派认为＂万物皆数＂，但这些数可不是实数，而是有理数。也就是说，他们认为世间万物都是由整数和它们的商表示的。据说希帕索斯（Hippasus）因为发现 而被老师毕达哥拉斯下令处决。不过如果我们站在古希腊人的视角，他们到底是怎么想的呢？
　　丢番图
　　我们可以合理地猜测，当古希腊人发现，直角边为 的等腰三角形，其斜边不能用有理数表示时，他们首先并不是想：＂啊，这不是有理数。＂而是，＂啊，这不是数！＂相似的类比是 。要是没有完备的复数理论，人们当然只能认为复数是＂幽灵＂；同样，没有极限以及实数理论，古人也无法想象无穷不循环小数是什么。自然，毕达哥拉斯会觉得＂万物皆数＂出现了漏洞。
　　这样就不难理解为什么古人对整数和有理数如此痴迷。他们没有笛卡尔坐标系，也就没有解析几何（当然，我不是指 上的几何）。欧几里得辉煌的学问无法与代数方程建立联系，只能借助巧妙的方法艰难前进。
　　比如要解 ，我们能想到去找 是 的倍数的情况，古人当然也能想到。而剩下的工作就是挨着去检验模 剩余类下的 种可能性（ 各有 种可能性），最后发现整数解是不存在的。但是只要把问题稍微变一下，比如说解 ，上面的方法就无能为力了；非但如此，今天的算术几何学家们也对这个方程毫无头绪。古人就更迷惑了——即使解出再多方程，也仍然不能保证下一个方程还会解。
　　但同时，方程也像是永远无法穷竭的宝库摆在面前，令人神往。
　　还得靠业余数学家
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　　古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落而逐渐被人遗忘，丢番图的作品要沉寂到千年以后，才能等到被另一位对数论情有独钟的数学家发扬光大。16世纪开始，《算数》才被逐渐翻译为拉丁文。其中最有名的一个版本，是1621年由巴切特翻译出版的：这本书曾经被皮埃尔·费马摆在案头。
　　被称为＂业余数学家之王＂的费马可能比大多＂专业数学家＂都要强，其对概率论、微积分、解析几何等分支都做出过开拓性贡献。不过他心中的最爱还是被称为数学的王冠——数论。在费马生活的年代，数学并没有什么实际用途，而他纯粹把这当玩具：或许就如同今天我们玩数独一样。每当有所发现，他就会写在《算数》的页边上。费马的很多注释后来都演变成了重要的研究方向，其中最富盛名的当属所谓的费马大定理：
　　当整数 时，关于 的不定方程 没有正整数解。
　　他继续写道：关于这个问题，我确信我发现了一种绝妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下了。今天只流传下来费马对于 情况的证明，不过现代观点普遍认为他当时不可能证明得了这个定理：300年后由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）找到的证明所用到的方法远非费马时代可以想象。
　　费马的工作正式宣布，近代意义上的数论研究开始了。不过这些与现实没有任何关系的数学并没有发展动力——数学最忌讳的就是孤立的问题。无穷小分析可以凭借直观的函数图像与物理直觉；代数的抽象结构来自于数与多项式的自然结构。可是早期的数论却不能找到更深刻的关系。难怪高斯会这样评论费马的问题：
　　我承认我对费马的定理没什么兴趣，这是个孤立的命题，像这样没人能证明也不能证伪的命题我随手就能写下一大串。
　　站在高斯的角度，他说的确实没什么毛病。费马大定理或者别的任何丢番图方程可解，或者不可解，对其他的数学分支貌似产生不了什么影响。不过从高斯至今，我们对于数论的认识已经发生了翻天覆地的变化。数论的影响已经超出了＂算数游戏＂的范畴哦，成为了现代数学赖以生存的源泉。
　　下金蛋的鸡
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　　据说曾有人问希尔伯特，为什么不去证明费马大定理。这位大数学家回答道：我可不想杀了这只生金蛋的母鸡。这句话足以证明费马的无用之学对于数学有多么巨大的影响。读者肯定会有疑问，明明这篇文章是想解释整数解的意义，为什么要谈那么多费马大定理？我们可以用希尔伯特的话来回答：
　　数学的艺术在于找到一个特例，其中隐含了所有推广的胚芽。
　　在挑战费马大定理（或者费马猜想）的过程中，人们发现了理想之于环论的中心地位，注意到亏格与有理点数量之间的神奇关系，还建立了模形式与椭圆曲线之间美妙联系。其任何一项成果，都比代数方程有没有解这个问题本身重要的多。算术几何整个学科都得感谢费马在几百年前兴趣使然开始的研究。这样我们就很难不去怀疑：这才仅仅是一个方程，如果我们能破解所有方程中隐藏的秘密，那岂不是能让整个代数的冰山浮出水面？（费马大定理只研究正解，所以严格来说不算丢番图方程；后来也发现其存在诸多特殊之处，而大量丢番图方程的重要性至今仍然未知）
　　梦 碎
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　　希尔伯特是一位伟大的梦想家，他乐观期待着数学的发展。在1900年的巴黎会议上，他提出了那著名的23个问题，其中第十个，便是关于丢番图方程的：
　　任给一个丢番图方程，是否存在一个通用的算法可以判断其是否有整数解？
　　希尔伯特内心深处一定坚信这样的算法是存在的。1930年，他作为当时最伟大的数学家，在故乡柯尼斯堡接受了采访。访谈的最后，他铿锵有力地道出了最理想主义的口号：
　　我们必须知道，我们必将知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）
　　他不仅认为丢番图方程全都能解，他还进一步猜想任何数学命题都是能被人类证明的。如同他的传记中写的那样，希尔伯特就像是数学界的亚历山大大帝，满怀着梦想，要征服到世界的尽头。可才过了一年，这个预言就被天才数学家哥德尔（Kurt Gödel）证明是错的：公理体系的完备性是未知的，相容性也是未知的。不是数学方法不够巧妙 ，也不是数学家不够努力，而是数学本身的鸿沟隔绝了逻辑。人们逐渐开始怀疑，丢番图方程也没有万能的解法，从而开始寻找算法不存在的证据。
　　希尔伯特到了晚年，也不忍离开纳粹统治下的祖国。法西斯主义者清除了大学中的犹太人及其亲属。无数学者不堪忍受疯狂的民族主义而选择背井离乡，其中就包括了与希尔伯特亦师亦友的外尔、柯朗等人。哥廷根不再是那个全世界学者憧憬的圣地，＂哥廷根之外无生活＂的豪言也仿佛隔世。希尔伯特在孤独中离开了人世，在他去世后的几年里，数学家们开始转向研究丢番图方程的不可解性。不过这项工作极其复杂，直到几十年后的1970年，希尔伯特第十问才得以宣告不可解。此时希尔伯特的故乡柯尼斯堡已经从地图上消失，原本的城市成为了苏联领土加里宁格勒；与地图的变化同时到来的，还有新的时代，新的技术，以及新的数学。
　　新的时代
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　　非专业人士可能会问，为什么数学家们总是固执于黎曼猜想或者是哥德巴赫猜想？它们完全有可能是错的，那到时候所有的努力不就白费了吗？当然，除了＂下金蛋＂这样的理由之外，数学家们还有别的理由选择相信一条猜想为真，那就是实验。你可以这样认为：数学的实验就是计算；而理论则是证明。黎曼本人就曾提出过非常巧妙的方法来计算 函数的零点。
　　自计算机问世以来，通过计算来验证猜想的尝试就一直没有停止过。一方面，如果能找到任何一个反例，就能终结漫长的证明之路；另一方面，在没有任何证明思路的情况下，验证有限个数的情形似乎是数学家仅有的选择。近几十年来，验证黎曼猜想的算法已经相当先进，例如 ZetaGrid 计划，其使用分布式算法，一天可以检验十亿个零点。直到2005年计划终止，他们都没有找到任何一个反例。
　　同黎曼猜想一样， 是否一定有整数解这个问题，数学家们目前仍毫无头绪。用庞大的计算机群去搜寻某个特定 对应的解也实属无奈之举，但这在希尔伯特的年代是无法想象的。就连欧拉这种不嫌麻烦能口算五十位小数的人，都曾提出过不成立的猜想。例如他曾猜测费马大定理的推广： 在 时没有正整数解。直到1986年，人们才找到了这么一个式子：
　　计算机的存在显然能大大减少数学家的无用功。
　　此次找到 的新解，显然大大增强了数学家们的信心。这个问题如此困难，即便使用最为先进的算法，也得将计算任务分配给超过 万台电脑，其中每台需要运行 小时！不过相比穷举法以及早先的计算方法而言，新算法还是快了不少。根据数学家 Roger Heath-Brown 早先的工作，我们其实可以简化原方程，减少独立变量（还进一步猜想，若 ，那三立方问题就有解）；两位数学家Andrew R. Booker 和Andrew V. Sutherland 在此基础上使用筛法，让算法集中搜索那些最有可能是解的数字。即便对解一无所知，也能通过强大的解析数论工具计算解的密度，这样就能预测：我们大概还得算多久才能算出正确答案。不过此番求解之快大大出乎了他们二人的预料，在求出 的解之后还没两年， 的新解又找到了。据此，他们估计， 要是还有下一组解的话，花费的计算力将是这次的一千万倍，以目前的算法和计算机性能还遥不可及。三立方问题是否就此告一段落？ 的未解情况是否仍有希望？目前我们还暂未可知；不过只有一点是可以确定的：数学家的脚步不会停下。
　　如今正是数论及其相关学科发展迅猛的年代。数学家们对代数几何充满信心：近半个世纪的发现远超过以往任何时代之和，而且发展势头也不像是要停下来的样子。但即便如此，我们对于素数，丢番图方程以及它们背后蕴含的深刻数学的了解仍仅是冰山一角。
　　或许可以打一个不恰当的比方。在物理学中，带有＂论＂（Theory）的都是那些尚不完善的框架：广义相对论不能重整化；量子场论没有严格的数学基础；弦论得不到实证，甚至某些推论与实验还不相符；而＂M理论＂本身就是一个猜想。人类对宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理论物理学家才会痴迷于其中的奥秘。对于整数论（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待着人们探索，它的美等待着人们发现。或许人类永远都无法对整数有足够多的了解，整数论也永远不可能改名叫整数力学（Number Mechanics），不过我相信任何有志于数学的人，都能像费马和丢番图一样，在数学中找到真正的快乐，以及自己人生的意义。
　　参考文献
　　[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html
　　[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf
　　[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/
　　[4] 康斯坦丝·瑞德, 希尔伯特数学世界的亚历山大.
　　[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat.
　　[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.
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　　背景简介：  本文2021年4月20日发表于微信公众号   返朴  （为什么我们非得去找代数方程的整数解？），风云之声获授权转载。