逻辑学笔记

　　1 绪论
　　1.1 词项、命题和推论
　　1.1.1 词项
　　逻辑是一门以推论为主要研究对象的学科
　　推论是由命题组成的
　　而命题又是由词项组成的
　　现代逻辑所说的＂词项＂、＂命题＂和＂推论＂
　　分别对应于传统逻辑所说的＂概念＂、＂判断＂和＂推理＂
　　词项就是具有意义的语词
　　例如：
　　这几个有意义的是词项：＂电车＂、＂飞＂、＂红＂
　　这几个 没意义的不是词项：＂啊＂、＂吗＂、＂的＂
　　前一组的三个语词都是有意义的，因而它们都是词项。
　　后一组的三个语词虽然具有某种语言的功能
　　但它们本身都不具有意义，因而它们都不是词项。
　　词项的意义可被区分为两个不同的方面：
　　（1）外延
　　（2）内涵
　　一个同项的外延就是该词项所指称的一类对象
　　例如：
　　＂电车＂的外延就是各个具体的电车
　　包括电动摩托车、电动汽车、电动三轮车、电动滑板车等等
　　其实就是各个具体的电车实例
　　＂飞＂的外延就是各种具体的飞行
　　包括飞机的飞行、鸟的飞行等等
　　其实就是各种具体的飞行运动实例
　　一个词项的内涵就是该词项所指谓的一种属性
　　并且这种属性能够把一类对象与他类对象区别开来
　　＂电车＂的内涵是＂利用电力行驶的车辆＂
　　其实就是＂电车＂的定义
　　＂飞＂的内涵是＂一种在空中进行的来往运动＂
　　其实就是＂飞＂的定义
　　并非任何词项都同时具有外延和内涵这两个方面
　　有些词项虽然指谓某种属性，
　　但与该属性相对应的事物并不存在
　　例如：
　　＂光速火车＂、＂方的圆＂、＂神仙＂等
　　这几个词只有内涵没有外延
　　有＂光速火车＂的定义
　　世界上却没有真实的光速火车实例
　　从外延方面
　　词项可以分为：
　　单独词项（或专有名词）
　　普遍词项（或普通名词）
　　单独词项就是其外延只有一个成员的词项
　　例如：
　　＂鲁迅＂、＂太阳＂、＂中国的首都＂等
　　世界上只有一个鲁迅和一个太阳
　　遍词项就是其外延不只有一个成员的词项
　　例如＂人＂、＂行星＂、＂中国的城市＂等
　　世界上有许多人和行星
　　从作用方面
　　词项可分为：
　　个体词项
　　属性词项（即谓词）
　　逻辑词项
　　个体词项的例子有：
　　＂这张桌子＂、＂那张椅子＂、＂天安门＂等
　　属性词项的例子有：
　　＂红的＂、＂人＂、＂大于＂等
　　逻辑词项的例子有：
　　＂并非＂、＂或者＂、＂并且＂、＂如果···那么···＂、＂所有＂、＂有些＂等
　　词项的意义也叫做＂概念＂
　　词项意义的两个方面即内涵和外延也是概念的两个方面
　　因此，词项也就是表达概念的语词
　　1.1.2 定义
　　定义的作用在于规定或说明一个词项的意义
　　词项的定义有两种
　　内涵定义
　　外延定义
　　通常所用的定义大都是内涵定义
　　内涵定义的作用在于规定或说明一个词项的内涵
　　例如：
　　下面两个定义都是内涵定义：
　　（1）行星就是沿椭圆轨道环绕太阳运行并且本身不发光的天体
　　（2）矩形就是直角的平行四边形
　　（1）和（2）中的定义项分别表达了＂行星＂和＂矩形＂的内涵
　　最常用的一种定义方法是属加种差的方法
　　种和属是相对于两类事物之间的关系而言的：
　　当一类事物包含于另一类事物时
　　那个大的类叫＂属＂
　　那个小的类叫＂种＂
　　种差就是同一个属之内的两个种之间的差别
　　定义中的属和种分别指表达这两类事物的词项
　　例如：
　　对行星的定义
　　首先找到行星的属是＂天体＂
　　然后找到行星和其它天体的不同点
　　也就是是行星与其他天体之间的种差：
　　＂沿椭圆轨道环绕太阳运行并且本身不发光＂
　　再例如：
　　对矩形的定义
　　首先找到矩形的属是＂平行四边形＂
　　然后找到矩形和其它平行四边形的不同点：
　　＂是直角＂
　　外延定义的作用在于规定或说明一个词项的外延
　　下面两个定义都是外延定义：
　　（1）行星包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星
　　（2）矩形包括长方形和正方形
　　（1）中例举了＂行星＂的外延的所有成员
　　这种列举一个词项的外延的所有成员的定义叫做＂枚举定义＂
　　枚举定义不适用于其外延包括无穷或大量成员的词项
　　对于＂矩形＂我们就不可能给出它的枚举定义
　　我们却可以将属于＂矩形＂的外延的那类事物分为几个小类
　　然后把这几个小类列举出来
　　这种外延定义叫做＂划分定义＂
　　（2）就是关于＂矩形＂的划分定义
　　还有一种特殊的外延定义即实指定义
　　实指定义就是通过直接显示一个词项的外延的一个
　　或一些成员来说明该词项的意义
　　例如：
　　当一个人指着一片颜色对他的孩子说：
　　＂这是红色＂
　　他正在给出关于＂红色＂的实指定义
　　实指定义是一种非语言的定义
　　1.1.3 命题
　　命题就是具有真假性质的语句
　　命题的三个特点：
　　（1）命题都是陈述句
　　（2）命题是可以被肯定或否定
　　（3）命题是或真或假的东西
　　例如：
　　小明是人类
　　北京在中国
　　你吃过饭了吗？
　　分析：
　　在上面的三个例子中
　　因为
　　（1）前两个例子都是陈述句
　　符合条件
　　＂你吃过饭了吗？＂不是陈述句
　　不符合条件
　　所以它不是命题
　　（2）前两个例子都可以被肯定或否定
　　如：小明不是人类
　　北京不在中国
　　符合条件
　　（3）前两个例子可以是真的或者假的
　　如：小明是人类就是真的
　　小明不是人类就是假的
　　所以＂ 小明是人类 ＂和 ＂北京在中国＂ 都是命题
　　1.1.4 推论
　　一个推论是一个至少由两个命题组成的序列
　　其中一个命题是根据其他命题推出的
　　例如：
　　①如果小张考上大学，那么，小张离开他的家乡
　　②小张考上大学
　　③因此，小张离开他的家乡
　　分析：
　　这个例子就是一个推论
　　这个例子包含了4个命题
　　命题③是根据命题①和②得出的
　　我们把命题①和②叫做前提
　　把推出的命题③叫做结论
　　推论由前提和结论组成
　　而结论是从前提＂推出＂的
　　出现在推论中命题的次序
　　不能作为辨识其结论或前提的依据
　　那么用什么来辨识呢？
　　有一些被叫做＂结论指示词＂的词或短语有助于这样的辨识
　　因为它们典型地适合引导出一个论证的结论
　　一些词或短语典型地适合作为论证结论的标志
　　因而被叫做结论指示词
　　通常，跟在任一结论指示词之后的命题就是某个论证的结论
　　下面所列的就是部分结论指示词：
　　所以
　　基于这些理由
　　因此
　　可推得
　　因而
　　我们可推出
　　故而
　　另一些词或短语典型地适合作为论证前提的标志
　　因而被叫做前提指示词
　　通常，跟在任一前提指示词之后的命题就是某个论证的前提
　　下面所列的是部分前提指示谓：
　　因为
　　正如······所示
　　由于
　　理由是
　　因
　　理由在于
　　根据
　　1.1.5 演绎推论与归纳推论
　　一个结论是从一些前提推出的
　　就是说，当所有这些前提真时
　　这个结论必然是真的
　　换句话说，当所有这些前提真时
　　这个结论不可能是假的
　　在前提和结论之间
　　具有这种推出关系的推论就是演绎推论
　　例如：
　　所有猫都会死
　　喵喵老花猫是猫
　　所以，喵喵老花猫会死
　　分析：
　　前提是
　　所有猫都会死
　　喵喵老花猫是猫
　　当这两个前提为真时
　　这个结论
　　喵喵老花猫会死
　　绝对不可能是假的
　　所以
　　这个推论是演绎推论
　　例如：
　　S中学前年的升学率高
　　S中学去年的升学率高
　　S中学今年的升学率高
　　S中学明年的升学率也高
　　分析：
　　前提是
　　＂S中学前年的升学率高＂
　　＂S中学去年的升学率高＂
　　＂S中学今年的升学率高＂
　　当我们知道这三个前提都为真时
　　我们自然会估计到结论
　　即＂S中学明年的升学率也高＂
　　但是，我们不能由此肯定这个结论是真的
　　因为我们不能排除S中学的升学率明年降低的可能性
　　所以
　　这个推论不是演绎推论
　　这个推论是归纳推论
　　总之，演绎推论与归纳推论的区别在于：
　　演绎推论的结论是从前提中必然地推出的
　　而归纳推论的结论并非从前提中必然地推出
　　而只是或然地推出的
　　1.2 推论的有效性和可靠性
　　1.2.1 推论形式、变项和常项
　　任何具体推论都有内容和形式两个方面
　　推论的内容就是推论所涉及的具体对象
　　推论所具有的共同结构就是推论的形式
　　例如：
　　如果天上下雨，那么地上潮湿
　　天上下雨
　　所以，地上潮湿
　　分析：
　　这个推论的内容是：
　　＂天上下雨＂和＂地上潮湿＂
　　我们用＂p＂代表命题＂天上下雨＂
　　用＂q＂代表命题＂地上潮湿＂
　　这个推论的结构就是：
　　如果p，那么q
　　p
　　所以，q
　　我们可以用任何一个具体命题代换p和q
　　我们把p和q叫做变项
　　变项的变化范围叫做＂变域＂
　　因为p和q分别代表的是两个命题
　　所以p和q属于命题变项
　　如果p和q代表的是词项的集合
　　p和q就是词项变项
　　如果p和q代表的是个体的集合
　　p和q就是个体变项
　　＂如果···那么·..＂这个联结词有着确定的含义
　　因此，我们不能用其他语词来替换它
　　我们把具有确定意义的词项或符号叫做＂常项＂
　　＂如果……那么……＂就是一个常项
　　具体地说，是一个联结词常项
　　1.2.2 推论的有效性
　　有效性是演绎推论的性质
　　当一个演绎推论的所有前提为真时
　　其结论必然为真
　　如果任何一个推论具有这种性质
　　那么，这个推论就是有效的
　　例如：
　　所有鸟是有羽毛的
　　所有麻雀是鸟
　　所以，所有麻雀是有羽毛的
　　分析：
　　这是一个有效推论
　　它的前提的真实性能够保证它的结论的真实性
　　而这一保证取决于推论形式：
　　所有M是P
　　所有S是M
　　所以，所有S是P
　　推论形式中的S、M和P都是词项变项
　　因而我们可以用任何词项来替换它们
　　例如：
　　我们还可以用＂整数＂、＂正数＂和＂大于零的＂
　　分别替换S、M和P
　　于是，我们就得到另一个推论：
　　所有正数是大于零的
　　所有整数是正数
　　所以，所有整数是大于零的
　　虽然这个推论的第二个前提和结论都是假的
　　但它仍然是一个有效推论
　　这是因为它所具有的推论形式保证了：
　　如果这个推论的所有前提都是真的
　　那么，它的结论不可能是假的
　　由此可见，一个推论的有效性取决于它的推论形式
　　而不取决于它的具体内容
　　我们把通过对一个推论形式中的变项作替换
　　而得到的一个具体推论
　　叫做该推论形式的一个替换例子
　　推论形式有效性的定义：
　　一个推论形式是有效的
　　当且仅当
　　该推论形式的所有替换例子
　　并非所有前提真而结论假
　　定义推论的有效性：
　　一个推论是有效的
　　当且仅当
　　它是一个有效推论形式的替换例子
　　1.2.3 反例
　　要确定某一推论形式是无效的
　　这只需要我们找出该推论形式的一个替换例子
　　该替换例子的所有前提是真的而结论是假的
　　这种所有前提真而结论假的替换例子叫做该推论形式的＂反例＂
　　根据推论形式的有效性定义
　　任何有效的推论形式都不会有反例
　　因此，我们一旦找出某一推论形式的一个反例
　　便能证明该推论形式是无效的
　　这种用反例来确定某推论形式无效的方法叫做构造反例的方法
　　例如：
　　如果p，那么q
　　q
　　所以，p
　　分析：
　　我们用＂汉城在日本＂和＂汉城在亚洲＂
　　分别替换推论形式3中的变项p和q
　　便得到这个推论形式的一个替换例子：
　　例如：
　　如果汉城在日本，那么汉城在亚洲
　　汉城在亚洲
　　所以，汉城在日本
　　分析：
　　推论的两个前提都是真的
　　而其结论却是假的
　　总之
　　一个推论的有效性取决于它的形式
　　而不取决于它的内容
　　1.2.4 推论的可靠性
　　就推论的前提和结论的真假组合而言
　　不外乎以下四种方式：
　　（1）所有前提真并且结论真
　　（2）所有前提真并且结论假
　　（3）至少有一前提假并且结论真
　　（4）至少有一前提假并且结论假
　　【定义】：
　　一个推论是可靠的
　　当且仅当
　　该推论是有效的并且它的所有前提都是真的
　　1.3 论证
　　1.3.1 证明与反驳
　　论证是推论的实际应用
　　论证包括两种：
　　证明
　　反驳
　　证明就是确定一个命题的真实性的推论
　　例如：
　　为了确定＂月球上没有生命＂这个命题的真实性
　　可以进行如下推论：
　　①如果月球上没有水，那么月球上没有生命
　　②月球上没有水
　　③所以，月球上没有生命
　　分析：
　　这个推论就是一个证明
　　一个证明包括三个因素：
　　论题、论据和论证方式
　　论题就是其真实性需要加以确认的那个命题
　　在例子中＂月球上没有生命＂就是论题
　　论题既是证明的开端，也是证明的终结
　　论据就是确认论题的真实性所依据的命题
　　例子中的前两个命题①和②就是论据
　　论证方式就是由论据到论题的推论形式
　　这个例子的推论形式为：
　　如果p，那么q
　　p
　　所以，q
　　反驳是确定对方的证明不成立的推论
　　要确定一个证明是不成立的
　　也可以从这三个方面着手：
　　驳对方的论题
　　反驳对方的论据
　　反驳对方的论证方式
　　反驳对方的论证方式就是指明对方的推论形式是不正确的
　　对于演绎证明来说
　　就是要指出该证明的推论形式是无效的
　　例如：
　　如果月球上没有生命，那么月球上没有水
　　月球上没有水
　　所以，月球上没有生命
　　分析：
　　这个论题的论证形式为：
　　如果p，那么q
　　q
　　所以，p
　　为了反驳这个证明的论证方式
　　你可以指出这个推论形式是无效的
　　如果必要
　　你可以构造该推论形式的一个反例
　　例如：
　　如果小明在跑步，那么小明在移动
　　小明在移动
　　所以，小明在跑步
　　分析：
　　小明在移动
　　不代表小明一定在跑步
　　小明有可能在坐车
　　说明这个推论形式是无效的
　　反驳对方的论题或论据
　　就是要确定对方的论题或论据的虚假性
　　最常用的方法是归谬法
　　例如：
　　目的：反驳命题A
　　假设：A真
　　证明：
　　如果A真则B真
　　但推倒出的B不为真
　　所以，A并非真
　　归谬法的基本思想是：
　　以被反驳的命题作为前提
　　推出荒谬的结论
　　这荒谬的结论
　　或者与已知为真的知识相违
　　或者自相矛盾
　　所以该结论都是假的
　　1.3.2 论证的基本规则
　　论证的基本规则：
　　矛盾律
　　排中律
　　同一律
　　充足理由律
　　论证是用于辩论的推论
　　而辩论的出发点是分歧
　　最基本的分歧是由一对相互矛盾的命题构成的
　　我们把一对矛盾命题记为：
　　A和非A
　　1．矛盾律
　　矛盾律可以表示为
　　A和非A必有一假
　　例如：
　　命题＂月球上没有生命＂
　　和命题＂月球上有生命＂必有一假
　　如果你证明了＂月球上没有生命＂
　　就是在间接反驳它的矛盾命题＂月球上有生命＂
　　2．排中律
　　排中律可以表示为：
　　A和非A必有一真
　　排中律要求辩论双方
　　对于作为分歧点的A和非A
　　必须肯定其中一个
　　根据排中律
　　任何一个对A的直接反驳
　　都是对非A的间接证明
　　任何一个对非A的直接反驳
　　都是对A的间接证明
　　3．同一律
　　同一律可以表示为：
　　A等于A
　　也可以表示为：
　　A和A同真或者同假
　　同一律要求辩论双方在整个辩论过程中
　　对A的态度要始终如一
　　如果一处肯定A
　　那么应当处处肯定A
　　如果一处否定A
　　那么应当处处否定A
　　4．充足理由律
　　充足理由律可以表示为：
　　A真是因为B真
　　并且由B可以推出A
　　充足理由律包括两个方面：
　　一是论据要真
　　二是论证方式是有效的
　　在论据上违反充足理由律的错误有三种：
　　虚假论据
　　预期理由
　　循环论证
　　所谓虚假论据
　　就是以已知为假的命题作为论据
　　所谓预期理由
　　就是以真假尚未确定的命题作为论据
　　所谓循环论证
　　就是论据的真实性依赖于论题的真实性
　　1.3.3 二难推论
　　二难推论是指：
　　辩论的一方常常提出一个断定两种可能性的前提
　　再由这两种可能性分别引伸出对方难以接受的结论
　　从而使对方处于进退两难的境地
　　例如：
　　我国古代流传着这样一个故事：
　　有个卖矛和盾的人声称他的矛能戳穿任何一个盾
　　他的盾能挡住任何一个矛
　　当一个顾客提议用他的矛去戳他的盾时
　　他立刻目瞪口呆了
　　分析：
　　这是因为他面临一个二难推论：
　　①如果你的矛能戳穿你的盾
　　那么你的盾没有你夸得那么好
　　②如果你的矛不能戳穿你的盾
　　那么你的矛没有你夸得那么好
　　③你的矛能戳穿你的盾或者你的矛不能戳穿你的盾
　　④所以，你的盾没有你夸得那么好
　　或者你的矛没有你夸得那么好
　　上面这个二难推论形式是：
　　如果p，那么q
　　如果r，那么s
　　p或者r
　　所以，q或者s
　　再例如：
　　中世纪的神学家们宜称＂上帝是全能的＂
　　有一个人向神学家提出挑战
　　他问道：上帝能不能创造一块连他自己也举不起来的石头？
　　神学家们立刻无言以对了
　　分析：
　　神学家们面临这样一个二难推论：
　　①如果上帝能够创造一块连他自己也举不起来的石头
　　那么上帝不是全能的（因为有一块石头他举不起来）
　　②如果上帝不能创造一块连他自己也举不起来的石头
　　那么上帝也不是全能的（因为有一块石头他不能创造）
　　③上帝能够创造这样一块石头或者上帝不能创造这样一块石头
　　所以，上帝不是全能的
　　上面这个二难推论的形式是：
　　如果p，那么q
　　如果r，那么q
　　p或者r
　　所以，q
　　1.3.4几种不正当的辩论手法
　　（1）人身攻击
　　在反驳对方观点的时候
　　不去揭露对方论或论据的虚假性
　　也不去指出对方论证方式上的错误
　　而是对对方的人格进行污辱
　　（2）滥用权威
　　不适当地引用权威人士的话
　　并作为不可置疑的论据来支持自己的观点
　　（3）强词夺理
　　明知无理
　　硬拿一些与论题无关的事实作为论据
　　来为自己的观点进行强辩
　　（4）复杂问语
　　复杂问语是这样一种问语
　　对它无论是肯定的回答
　　还是否定的回答
　　都意味着承认问话中预设的某个命题
　　2 命题达辑：符号化和真值表
　　2.1 一些基本槪念
　　2.1.1真值函项复合命题和真值函项琴结词
　　命题逻辑是以命题为最小单位的
　　简单命题就是不包含其他命题的命题
　　复合命题就是包含其他命题的命题
　　例如：
　　＂罗索是一位哲学家＂
　　这个命理不包含其他命题
　　因此它是一个简单命题
　　＂罗素是一个哲学家并且罗素是一个数学家＂
　　就是一个复合命题
　　因为它是以＂罗素是一个哲学家＂和＂罗索是一个数学家＂
　　这两个简单命题为其组成部分的
　　一个复合命题所包含的其他命题叫做＂复合命题的支命题＂
　　上面那两个简单命题就是那个复合命题的支命题
　　在一个复合命题中
　　把各个支命題联结起来的那个词项叫做＂联结词＂
　　上面那个复合命题中的＂并且＂就是一个联结词
　　常用的 联结词还有＂或者＂、＂如果…那么…＂、＂当且仅当＂等
　　一个联结词被真值函项地使用，
　　当且仅当，
　　由该联结词构成的复合命题的真值完全地决定于它的支命题的真值
　　例如：
　　（1）明天刮风并且明天下雨
　　（2）明天刮风在明天下雨之前
　　分析：
　　（1）是由＂明天刮风＂和＂明天下雨＂
　　通过联结词＂并且＂而构成的一个复合命题
　　如果这两个支命题都是真的
　　（1）命题就是真的
　　这表明
　　（1）的真值完全决定于它的两个支命题的真值
　　因而
　　(1)中的联结词＂并且＂是被真值函项地使用的
　　(2)的两个支命题也是＂明天刮风＂和＂明天下雨＂
　　它的联结词是＂…在…之 前＂
　　(2)的真值不完全决定于它的支命题的真值
　　(2)中的联结词＂…在…之前＂不是被真值函项地使用的
　　再例如：
　　＂张三相信明天下雨＂的联结词是＂…相信…＂
　　这句话的真或假并不由其支命题＂明天下雨＂的真或假来决定
　　所以＂…相信…＂不是一个真值 函项联结词
　　被真值函项地使用的联结词叫做＂真值函项联结词＂
　　由真值函项联结词构成的复合命题叫做＂值函项复合命题＂
　　(1)中的＂并且＂是一个真值函项联结词
　　因而 (1)是一个真值函项复合命题
　　(2)中的＂.在…之前＂不是一个真值函项联结词
　　因 而(2)不是一个真值函项复合命题
　　2.1.2 合取词和合取命题
　　例如：
　　罗素是一个 哲学家并且罗素是一个数学家
　　分析：
　　在这个命题是一个合取命题
　　联结词＂并且＂是被真值函项地使用的
　　由于这个复合命题的两个支命题
　　即＂罗素是一个哲学家＂和＂罗素是个数学 家＂都是真的
　　这就决定了这个复合命题是真的
　　我们用符号＂∧＂作为一个真值函项联结词
　　它的作用相当于被真值函项地使用的联结词＂并且＂
　　再用命题变项＂P＂和＂Q＂分别表示任何两个命题
　　该复合命题可以符号化为:
　　P ∧ Q
　　＂∧＂叫做＂合取词＂
　　＂P∧Q＂叫做＂合取式＂,
　　由＂P∧Q＂表达的命题叫做＂合取命题＂
　　在传统逻辑中又叫做＂联言命题＂
　　合取命题的支命题叫做＂合取支＂
　　一个合取命题为真
　　当且仅当
　　它的合取支都为真
　　合取命题的真值与它的合取支的
　　真值之间的这种函项关系
　　可以由真值表完全地反映出来:
　　这个表叫做＂∧＂的＂特征真值表＂
　　它精确地定义了＂∧＂的用法
　　这里＂T＂和 ＂F＂分别表示＂真＂和＂假＂
　　表的左边列出了P和Q的全部可能的真值组合
　　即 TT、TF、FT和FF
　　表的右边列出了P∧Q
　　在其合取支的每一真值情况下的相应的真值
　　我们从此表中看到
　　仅当P和Q均为真时P∧Q为真
　　在其他三种情况下 P∧Q为假
　　2.1.3 析取词和析取命题
　　下面这个复合命题是一个析取命题
　　例如：
　　深圳位于广东省或者深圳在广州与香港之间
　　分析：
　　这个复合命题的支命题是两个简单命题
　　即＂深圳位于广东省＂和＂深圳在广州与香港之间＂
　　它的真值完全决定于它的这两个 支命题的真值
　　只要它的两个支命题中至少有一个是真的
　　它就是真的
　　如果它的两个 支命题都是假的
　　那么它就是假的
　　既然＂深圳在广州与香港之间＂是真的
　　我们可以肯定这个复合命题是真的
　　而无论＂深圳位于广东省＂是真的还是假的
　　这里的联结词＂或者＂是被真值函项地使用的
　　我们用符号＂Ⅴ＂作为一个真值函项联结词
　　它的作用相当于被真值函项地使用 的＂或者＂
　　再用命题变项＂P＂和＂Q＂分别表示任何两个命题
　　上面的命题可以符号化为:
　　P V Q
　　＂V＂叫做＂析取词＂,
　　＂P V Q＂叫做＂析取式＂,
　　由＂P V Q＂表达的命题叫做 ＂析取命题＂
　　在传统逻辑中又叫做＂选言命题
　　析取命题的支命题叫做＂析取支＂
　　一个析取命题为假
　　当且仅当
　　它的析取支都为假
　　析取命题的真值
　　与它的析取支的真值之间的这种函项关系
　　可以由真值表来刻画：
　　2.1.4 否定词和否定命题
　　在一个命题之前加上＂并非＂
　　就构成了那个命题的否定命题
　　例如：
　　在＂所有人都 是哲学家＂之前加上＂并非＂
　　就构成了这个命题的否定命题
　　即＂并非所有人都是哲学家＂
　　当前一个命题为真时
　　它的否定命题是假的
　　当前一个命题为假时
　　它的否定命题就是真的
　　我们引人一个真值函项联结词＂¬＂
　　即＂否定词＂
　　用以表达被真值函项地使用 的＂并非＂
　　＂¬P＂叫做＂否定式＂
　　由＂¬P＂表达的命题叫＂否定命题＂
　　＂¬＂的 特征真值表是:
　　2.1.5 蕴涵词和蕴涵命题
　　＂如果……那么……＂构成的复合命题叫蕴涵命题
　　例如：
　　如果夏季到来,那么天气变热
　　分析：
　　现在我们引入符号＂→＂作为一个真值函项联结词
　　它的作用相当于被真值函项地使用的＂如果…那么…＂
　　上面命题形式的任何命题可以符号化为:
　　P → Q
　　＂→＂叫做＂蕴涵词＂,
　　＂P→Q＂叫做＂蕴涵式＂
　　由＂P→Q＂表达的命题叫做 ＂蕴涵命题＂
　　在＂P→Q＂中,
　　＂P＂所表达的支命题叫做＂前件＂
　　＂Q＂所表达的支命题叫做＂后件＂
　　＂→＂的特征真值表是:
　　由此表我们看到
　　仅当P真面Q假时
　　P→Q是假的
　　在其他三种情况下P-Q 都是真的
　　这也就是说,P-Q是真的
　　当且仅当
　　并非P真而Q假
　　具有＂P→Q＂形式的命题和具有＂¬P V Q＂形式的命题是完全相等的
　　为证明这一点,我们只需比较这两个公式的真值表：
　　2.1.6 等值词和等值命题
　　例如:
　　一个数是偶数,当且仅当，它能被2整除
　　分析：
　　这个命题是等值命题
　　我们再引人一个真值函项联结词＂ ↔ ＂
　　其作用相当于被真值函项地使用的 ＂..当且仅当…＂
　　于是具有上面命题形式的任何命题可以符号化为:
　　P ↔ Q
　　＂↔＂叫做＂等值词＂
　　＂P↔Q＂叫做＂等值式＂
　　由＂P↔Q＂表达的命题叫做 ＂等值命题＂
　　在＂P↔Q＂中
　　＂P＂和＂Q＂所表达的命题分别叫做等值命题的＂左支＂和＂右支＂
　　＂↔＂的特征真值表是:
　　如同其他联结词
　　＂当且仅当＂在日常语言中也往往不被真值函项地使用
　　例如:
　　（A）孔子死了，当且仅当，北京是中国首都
　　在通常情况下
　　(A)这个命题被看作是假的
　　甚至是无意义的
　　因为它的左支和右 支之间没有任何意义上的联系
　　但是当我们把(A)中的＂当且仅当＂看作一个等值词
　　从而把(A)看作一个等值命题
　　即：
　　(B) (孔子死了)→(北京是中国首都)
　　根据真值表
　　我们可以确定(B)是真的
　　既然它的左支＂孔子死了＂和右支＂北京是中国首都＂都是真的
　　由此可见（A）和（B）是有所不同的
　　在逻辑学中把由＂↔＂表达的等值关系叫做＂实质等值＂
　　用以区别＂当且仅 当＂在通常情况下所表达的那种更强的等值关系
　　2.2 命题的符号化
　　2.2.1 什么是命题的符号化
　　用人为规定的符号来表达一个命题
　　就是对一个命题的符号化
　　例如：
　　如果天上下雨,那么地上潮湿
　　分析：
　　T→D
　　就是对这个命题的符号化
　　在T→D中
　　T代表＂天上下雨＂
　　D代 表＂地上潮湿＂
　　T和D属于命题常项
　　＂→＂代表＂如果…那么…＂
　　属于逻辑常项
　　命题变项与命题常项的区别是：
　　命题常项代表某个具体命题
　　而命题变项代表任何一个命题
　　但从现在起
　　我们对符号化的讨论要更深一步
　　涉及三层语言：
　　自然语言命题
　　符号语言命题
　　表达符号语言命题的符号
　　我们要区分两种语言符号：
　　对象语言符号
　　元语言符号
　　在现代逻辑中
　　对象语言不是自然语言而是表达自然语言的符号语言
　　元语言则是表达这种对象语言的语言
　　2.2.2 一些常见的复合命题的符号化
　　出现在日常语言中的联结词
　　其用法是多种多样的
　　有些联结词甚至不能被真值函项地使用
　　如＂…在… 之前＂、＂…相信…＂等
　　我们只有对它们作出真值函项的释义之后
　　才能用真值函项联结词加以表达
　　对一个复合命题进行符号化
　　例如：
　　虽然老王有病，但是他坚持工作。
　　这个复合命题的联结词是＂虽然…但是…＂
　　它的支命题是＂老王有病＂和＂老王 坚持工作＂
　　为了对它进行真值函项的释义
　　不难看出
　　＂虽然…但是…＂与＂并且＂是完全相同的
　　因此可以被真值函项地释义为：
　　老王有病并且老王坚持工作
　　我们用命题常项B和G分别表示
　　＂老王有病＂和＂老王坚持工作＂
　　于是，这个命题可被符号化为：
　　B∧G
　　2.2.3 包含多个联结词的复合命题的符号化
　　当一个公式所含的真值函项联结词不止一个时
　　就需要对其中的符号进行分组
　　否则,它的含义往往是不确定的
　　例如:
　　如果明天放假并且天好那么小王划船或者游泳
　　分析：
　　这个复合命题含有三个联结词：
　　＂如果…那么…＂、＂并且＂、＂或者＂
　　根据这些联结词
　　我们很自然地将命题的支命题这样归组
　　用四个命题常项分别替换四个简单命题：
　　F：＂明天放假＂
　　T：＂明天天好＂
　　H：＂小王划船＂
　　Y：＂小王游泳＂
　　这个复合命题可被符号化为:
　　(F∧T) → (HVY)
　　当一个复合命题含有不止一个联结词时
　　其中必有一个联结词决定该复合命题的主要逻辑性质
　　这个联结词叫做复合命题的主联结词
　　在对这样的命题进行符号化时
　　主联结词处于括号的外边
　　例如：
　　上面的复合命题的主联结词是＂如果…那么…＂
　　因而在符号化中＂→＂处于括号的外边
　　我们把由主联结词联结的支命题
　　叫做＂复合命题的直接支命题＂
　　如：上面公式中的＂F∧T＂和＂HVY＂是它的直接支命题,
　　命题常项是复合命题的最小元素
　　因而可以叫做复合命题的＂基本支命题＂或＂原子支命题＂
　　2.3 命题的真值表及其逻辑性质
　　2.3.1 真值表的构造
　　一个符号化了的真值函项复合命题无论多么复杂
　　不外乎是由五个真值函项联结词和命题常项组合而成的
　　一个真值函项复合命题的真值
　　取决于它所含的命题常项的真值
　　命题常项的真值一旦确定
　　真值函项复合命题的真值也就相应地确定了
　　对于任何一个命题常项
　　我们可以进行两种真值赋值
　　即：真和假
　　对于两个命题常项
　　我们可以进行四种真值赋值：
　　真真、真假、假真、假假
　　总之，个复合命题所含的命题常项越多
　　对其命题常项可能进行的真值赋值的数目就越大
　　我们把对一个复合命题的所有命题常项的真值赋值
　　称为对该命题的＂真值指派＂
　　用＂K＂表示真值指派的数目
　　用＂n＂表示一个复合命题所含命题常项的数目
　　二者之间的关系为：
　　K=2^n
　　据此,一个含有一个命题常项的复合命题的
　　真值指派的数目为2¹，即2
　　含有两个 命题常项的复合命题的
　　真值指派的数目为2²，即4
　　含有三个命题常项的复合命题的
　　真值指派的数目为2³,即8 ……
　　下面我们以含有三个命题常项的复合命题
　　＂F→GVH＂ 为例
　　来说明如何列举一个复合命题的全部真值指派
　　这个真值表显示了＂F→GVH＂
　　在其任何真值指派下的相应的真值
　　例如：
　　当真值指派为:
　　F=T, G=F, H= T时,
　　我们通过查看上表＂→＂之下第三行的真值,
　　便可知道＂F→GVH＂是真的
　　在上面构造真值表的过程中
　　我们根据特征真值表
　　首先确定那些以命题常项
　　为直接支命题的复合命题
　　在每一行的真值
　　然后确定那些以这些复合命题
　　为其直接支命题的复合命题的真值
　　以此类推
　　直到确定所讨论的那个复合命题在每一行的真值
　　可见，构造真值表的过程是一个能行的过程
　　即我们可以用机械的方法
　　在有穷的步骤内构造出
　　任何一个复合命题的真值表
　　而无论这个复合命题多么复杂
　　2.3.2 重言式、矛盾式和偶然式
　　根据真值函项关系的不同
　　我们可以把命题分为三类：
　　重言式
　　矛盾式
　　偶然式
　　请比较以下三个命题及其真值表
　　一个命题是重言式
　　当且仅当
　　该命题在所有的真值指派下都是真的
　　重言式又叫做＂真值函项的真命题＂,
　　(1)总是真的
　　一个命题是矛盾式
　　当且仅当
　　该命题在所有的真值指派下都是假的
　　矛盾式又叫做＂真值函项的 假命题＂
　　(2)总是假的
　　一个命题是偶然式
　　当且仅当
　　该命题在有些真值指派下是真的
　　在另一些真值指 派下是假的
　　偶然式又叫做＂真值函项的不定命题＂
　　(3)有真有假
　　2.3.3 重言等值和重言蕴涵
　　我们说任何两个命题P和Q是重言等值的
　　就是说P和Q在所有的真值指派下都是真值相同的
　　为确定两个命题是否重言等值
　　我们只需构造和比较两个命题的真值表
　　为确定命题＂¬(E∧N) ＂和＂¬E V ¬N＂
　　是否重言等值的
　　我们构造如下的真值表:
　　在上表中
　　这两个命题的主联结词下方的真值完全相同
　　这表明，这两个命题是重言等值的
　　命题P和Q是重言等值的
　　当且仅当
　　P↔Q是一个重言式
　　命题P 重言蕴涵命题Q
　　就是说，在所有的真值指派下
　　都不会出现P真而Q假的情形
　　为了确定P是否重言蕴涵Q
　　我们可以通过真值表来实现
　　在每一种真值指派下
　　都未出现L∧D真而LⅤD假的情形
　　因而，L∧ D重言蕴涵LVD
　　在此表的第二行和第三行中
　　出现LⅤD真而L∧D假的情形
　　这表明,并非LⅤD重言蕴涵L∧D
　　由此可见,重言蕴涵是不对称的
　　如果用＂→＂将重言蕴涵的两个命题P和Q联结起来
　　那么,由此构成的命题就 是一个重言式
　　用＂→＂ 联结LAD和LVD而形成的命题
　　L∧D → LVD就是一个重言式
　　其真值表如下:
　　现在,我们给出＂重言蕴涵＂的另一个定义:
　　P重言蕴涵Q
　　当且仅当，P→Q是一个重言式
　　重言等值和重言蕴涵是两个命题之间
　　基于真值函项的逻辑关系
　　因此，重言等值和重言蕴涵又分别叫做
　　＂真值函项地等值＂
　　＂真值函项地蕴涵＂
　　2.4 用真值表检验推论的有效性
　　2.4.1 真值表方法
　　在命题逻辑中
　　一个推论是有效的
　　当且仅当，在任何真值指派下
　　它都不会出现所有前提真而结论假的情形
　　在命题的逻辑中
　　一个推论是有效的
　　当且仅当
　　它的所有前提的合取式重言蕴涵它的结论
　　【模式1】
　　P1
　　P2
　　……
　　∴ C
　　【模式2】
　　P1∧ P2∧…… → C
　　在命题逻辑中
　　一个模式1的推论是有效的
　　当且仅当
　　相应的模式2的蕴涵式是一个重言式
　　一个蕴涵式是否是一个重言式
　　可以通过真值表来判定
　　例如：
　　【例1】
　　P→Q
　　Q
　　∴P
　　例1是一个无效的推论形式
　　现在按照模式2将此推论形式
　　重写为：
　　(1) (P→Q) ∧ Q→P
　　相应的真值表是：
　　在此真值表中
　　主联结词＂→＂下面的第三行为F
　　可见（1）不是一个重言式
　　由此可以判定
　　例（1）是无效的
　　例如：
　　如果他获得冠军，那么他得到奖金
　　如果他得到奖金，那么他资助业余体校
　　所以，如果他获得冠军，那么他资助业余体校
　　令：
　　G：他获得冠军
　　D：他获得奖金
　　Z：他资助业余体校
　　以上推论被符号化为：
　　G→D
　　D→Z
　　∴G→Z
　　相应的蕴涵式是：
　　(G→D)∧(D→Z) → (G→Z)
　　其真值表是：
　　在这个真值表中
　　主联结词下方的每一行都是T
　　因此，这是一个有效的推论
　　一个具体推论是否有效
　　不取决于它的内容
　　而取决于它的推论形式是否有效
　　用来检验具体推论的有效性的真值表
　　只与该推论的符号结构有关
　　而与符号所表示的内容无关
　　我们把那些仅仅依据命题间的真值函项关系
　　仅仅依据真值函项联结词所进行的推论叫做＂命题推论＂
　　用真值表方法只能检验命题推论的有效性
　　2.4.2 短真值表方法
　　如果找到使蕴涵命题为假的真值指派
　　那么，所讨论的推论就是无效的
　　如果不可能找到这样一种真值指派
　　那么所讨论的推论就是有效的
　　这就是短真值表方法的基本思想
　　实现这一思想的手段是间接证明和归谬法
　　例如
　　P→Q
　　P
　　∴Q
　　与此推论形式相应的蕴涵式是：
　　检查（v）中各个命题变项下边的赋值
　　发现P既是F又是T
　　这就是说，当我们假定（P→Q）APQ为假时
　　便导致P既真又假的逻辑矛盾
　　根据归谬法可以得出结论：
　　我们关于该蕴涵式为假的假定不能成立
　　也就是说，该蕴涵式不可能为假
　　这样就间接证明了该蕴涵式是一个重言式
　　短真值表方法的一般程序可以归结如下：
　　步骤1：
　　写出与所讨论的推论相应的蕴涵式
　　步骤2：
　　假定蕴涵式是假的
　　即假定它的前件为真而后件为假
　　步骤3：
　　在这种假定下
　　根据真值函项联结词的特征真值
　　表推导出命题常项（或命题变项）的真值
　　步骤4：
　　检查每一个命题常项（或命题变项）的真值
　　如果所有相同的命题常项（或命题变项）
　　都被赋予相同的真值
　　那么所讨论的推论是无效的
　　如果至少有一个命题常项（或命题变项）既真又假
　　那么所讨论的推论是有效的
　　当对一个蕴涵式应用短真值表方法的赋值多于一种可能时
　　只要在其中一种可能的赋值下没有导致矛盾
　　就表明这个蕴涵式不是重言式
　　从而可以断定相应的推论是无效的
　　但是，在其中一种可能的赋值下导致矛盾
　　并不能由此断定这个蕴涵式是重言式
　　因而也不断定相应的推论是有效的
　　要断定所讨论的推论是有效的
　　必须在所有可能的赋值下都导致矛盾
　　3 命题逻辑：推演
　　真值表方法是一种判定命题推论的有效性的方法
　　推演也可以判定命题推论的有效性的方法
　　这种方法的实质是将一个复杂推论分解为若干简单推论
　　由于这些简单推论的有效性是明显的
　　所以，那个复杂推论的有效性也就被确立起来
　　如果我们把某些简单推论作为推演规则
　　那么，我们就可以根据这些规则
　　从给定的前提一步一步地推出所要的结论
　　这种方法被称为＂自然演绎＂或＂自然推论＂
　　＂自然演绎系统＂是以一组推演规则为基础的
　　对于任何一个推论
　　如果我们能够依据这组推演规则
　　从它的前提推出它的结论
　　那么这个推论就是有效的
　　3.1 八条整推规则
　　3.1.1 八条整推规则的表述
　　一些简单的有效推论形式
　　就是我们制定自然演绎的推演规则的依据
　　1．肯定前件
　　在前一章中我们已用真值表方法证明推论形式
　　P→Q
　　P
　　∴Q
　　是有效的
　　由此我们得到相应的推论规则：
　　从P-Q和P可以推得Q
　　P和Q作为命题变项可以代表简单命题
　　也可以代表复合命题
　　例如：
　　P和Q分别代表（A∧B）和（B→C）
　　根据肯定前件规则
　　我们可以进行如下推论：
　　A∧B→(B→C)
　　A∧B
　　B→C
　　2．否定后件
　　根据真值表方法可知
　　P→Q
　　¬Q
　　∴¬P
　　是有效的
　　我们由此得到相应的推论规则：
　　从P→Q和¬Q可以推得¬P
　　3．否定析取支
　　根据真值表方法可知，推论形式
　　PVQ
　　¬P
　　∴Q
　　是有效的
　　据此我们有规则：
　　从PVQ和¬P可以推得Q
　　4．化简
　　根据真值表方法
　　P∧Q
　　∴P
　　和
　　P∧Q
　　∴Q
　　都是有效的
　　于是我们有规则：
　　从P∧Q可以推得P
　　从P∧Q可以推得Q
　　5．合取
　　根据真值表方法
　　P
　　Q
　　∴P∧Q
　　是有效的
　　相应的规则是：
　　从P和Q可以推得P∧Q
　　6．假言三段论
　　由真值表方法可以判定
　　P→Q
　　Q→R
　　∴P→R
　　是有效的
　　相应的规则是：
　　从P→Q和Q→R可以推得P→R
　　7．二难推论
　　由真值表方法可以判定
　　P→Q
　　R→S
　　PVR
　　∴QVS
　　是有效的
　　于是我们得到如下规则：
　　从P→Q、R→S和PVR可以推得QVS
　　8．附加
　　由真值表方法可以判定
　　P
　　∴PVQ
　　和
　　Q
　　∴PVQ
　　是有效的
　　于是我们有规则：
　　从P可以推得PVQ
　　从Q可以推得PVQ
　　这八条规则必须应用于整个命题
　　而不能应用于命题的某一个部分
　　或者说，这八条规则必须应用于主联结词
　　而不能应用于非主联结词
　　这八条规则被称之为＂整推规则＂
　　3.1.2 八条整推规则的应用
　　依据八条整推规则
　　我们可以证明许多推论的有效性
　　例如：
　　如果小王研究科学方法论，那么小王学习科学史和逻辑学
　　小王研究科学方法论
　　所以，小王学习逻辑学
　　对该推论进行符号化：
　　L：小王研究科学方法论
　　S：小王学习科学史
　　X：小王学习逻辑学
　　推论可被符号化为；
　　L→S∧X
　　L
　　∴X
　　揭示推论的结论是怎样从前提
　　一步一步地得出来的
　　证明如下：
　　(1)L→S∧X 前提
　　(2)L 前提
　　(3)S∧X （1）（2），肯定前件
　　(4)X （3），化简
　　以上就是对推论1的证明
　　现在我们给出＂证明＂的定义：
　　一个证明是这样一个命题序列
　　在其中，每一个命题或者是前提
　　或者是根据推演规则从序列中在前的命题推得的
　　序列的最后一个命题是结论
　　证明的一般模式是：
　　3.2.1 什么是置换规则
　　在命题逻辑中
　　置换规则的一般表述如下：
　　对于任何命题P
　　无论它是以整个命题出现
　　还是作为一个命题的一部分出现
　　都可用与它重言等值的命题Q来替换
　　例如：
　　由前提K∧K→O
　　不能通过化简规则推出K→O
　　但却可以通过置换规则推出这个结论
　　如果我们知道K∧K和K是重言等值的
　　由于任何一个重言等值式的左右两支是重言等值的
　　根据置换规则
　　任何重言等值式的左右两支都是可以互相置换的
　　十条比较常用的置换规
　　下面就逐一介绍这十条规则
　　3.2.2 交换
　　根据重言式
　　PVQ↔QVP
　　和
　　P∧Q↔Q∧P
　　我们有规则：
　　PVQ和QVP可以相互置换
　　P∧Q和Q∧P可以相互置换
　　这条规则包括两个部分
　　前一部分叫做＂析取交换＂
　　后一部分叫做＂合取交换＂
　　例如：
　　【推论1】
　　AV(B→C)
　　(B→C)VA
　　【推论2】
　　(K→L) ∧ (M∧L)
　　(K→L) ∧ (L∧M)
　　3.2.3 双重否定
　　根据重言式：
　　P → ¬¬P
　　我们有如下置换规则：
　　P和¬¬P可以相互置换
　　例如：
　　D V (F∧G)
　　∴¬¬D V (F∧G)
　　3.2.4 德摩根律
　　德摩根重言式
　　¬(PVQ) ↔ ¬P∧¬Q
　　和
　　¬(P∧Q) ↔ ¬P∨¬Q
　　我们有规则：
　　¬(PVQ) ↔ ¬P∧¬Q可以互相置换
　　¬(P∧Q) ↔ ¬P∨¬Q可以互相置换
　　前一部分叫做＂否定析取的德摩根律＂
　　后一部分叫做＂否定合取的德摩根律＂
　　3.2.5 假言易位
　　根据真值表
　　我们有重言式：
　　(P→Q) ↔(¬Q→¬P)
　　我们有置换规则:
　　(P→Q)和(¬Q→¬P) 可以相互置换
　　3.2.6 蕴涵
　　根据真值表，我们有重言式：
　　(P→Q)↔(¬PVQ)
　　于是，我们有置换规则：
　　（P→Q）和（¬PVQ）可以相互置换
　　3.2.7 重言
　　根据真值表，我们有重言式：
　　P↔P∨P
　　和
　　P↔P∧P
　　我们有如下置换规则；
　　P和PVP可以相互置换
　　P和P∧P可以相互置换
　　前一部分叫做＂析取重言＂
　　后一部分叫做＂合取重言＂
　　3.2.8 结合
　　有重言式：
　　PV(QVR)→(PVQ)VR
　　和
　　P∧(Q∧R)→(P∧Q)∧R
　　于是，我们有如下置换规则：
　　PV（QVR）与（PVQ）VR可以相互置换
　　P∧（Q∧R）与（P∧Q）∧R可以相互置换
　　第一部分叫做＂析取结合＂
　　第二部分叫做＂合取结合＂
　　3.2.9 分配
　　根据真值表
　　PV(Q∧R)↔(PVQ) ∧(PVR)
　　P∧(QVR)↔(P∧Q) V(P∧R)
　　我们有如下置换规则:
　　PV(Q∧R)和(PVQ) ∧(PVR) 可以相 互置换
　　P∧(QVR)和(P∧Q) V(P∧R) 可以相 置换
　　前一部分叫做＂析取对合取 的分配＂
　　后一部分叫做 ＂合取对析取的分 配＂
　　3.2.10 移出
　　根据真值表：
　　(P∧Q→R)↔(P→(Q→R))
　　于是，我们有置换规则：
　　(P∧Q→R)和(P→(Q→R))可以相互置换
　　3.2.11 等值
　　根据真值表，我们有重言式：
　　(P↔Q)↔(P→Q)∧(Q→P)
　　我们有如下置换规则：
　　(P↔Q)和(P→Q)∧(Q→P)可以相互置换。
　　3.3 条件证明规则
　　3.3.1 什么是条件证明规则
　　仅用这十八条规则
　　还不能给出所有有效命题推论的证明
　　例如：
　　¬JVK
　　∴J→J∧K
　　分析：
　　推论是有效的
　　十八条规则不能证明它的有效性
　　为了证明推论的有效性
　　我们可以这样来考虑：
　　推论是有效的
　　当且仅当，它的前提真时
　　结论不可能假
　　它的结论是一个蕴涵式
　　一个蕴涵式不可能假
　　我们把结论中的前件J作为假设给出
　　在原来的前提之下
　　当J真时，J∧K不可能假
　　这也就表明，当原有前提为真时
　　原结论J→JAK不可能是假的
　　根据以上道理
　　我们引入一条新的推演规则
　　条件证明规则：
　　如果从前提Pr或假设P推出Q，
　　那么，仅从前提Pr可以推得P→Q
　　条件证明规则也可表达为如下模式：
　　Pr表示所有前提的合取
　　从假设P开始到Q为止的直线标示出假设的范围
　　即假设域
　　假设域的第一行是假设
　　亦即结论的前件
　　假设域的最后一行是结论的后件
　　假设域中的任何一行
　　或者是假设，或者是由假设或前提推出的
　　作为结论的蕴涵式P→Q在假设域之外
　　这表明，此结论不依赖于假设P
　　而仅仅依赖于前提Pr
　　或者说，对于该结论来说，假设P是被撤除的
　　现在我们就用条件证明规则证明推论的有效性
　　证明：
　　3.3.2 条件证明规则的应用
　　例如：
　　如果一个人自信，那么他有闯劲但不易保持谦虚
　　如果一个人怯懦，那么他容易保持谦虚
　　所以，如果一个人自信，那么他不怯懦
　　将此推论符号化：
　　Z：一人自信
　　C：他有闯劲
　　B：他易保持谦虚
　　Q：他怯懦
　　此推论被符号化为：
　　Z→C∧¬B
　　Q→B
　　∴Z→¬Q
　　证明如下：
　　3.4 间接证明规则
　　3.4.1 什么是间接证明规则
　　间接证明的一般程序是：
　　为要从给定的前提推出结论P
　　我们先假设¬P
　　如果能从前提和¬P推出一对矛盾命题Q和¬Q
　　这便证明了¬P是假的
　　从而证明P是真的
　　间接证明规则：
　　如果从前提Pr和假设～P推出Q∧¬Q
　　那么，仅从前提Pr可以推出P
　　间接证明规则也可表达为如下模式：
　　3.4.2 间接证明规则的应用
　　我们知道条件证明规则较适用于证明其结论为蕴涵式的推论，与此不同，间接证明
　　规则常常用来证明其结论不是蕴涵式的推论。例如：
　　【推论1】
　　FVN
　　N→B∧J
　　BVF→D
　　∴D
　　分析：
　　3.5 重言式的证明
　　3.5.1 重言式的无前提证明
　　我们知道，重言式是常真的
　　重言式的真不依赖于任何前提
　　因此，我们可以构造任何重言式的无前提证明
　　无前提证明是通过使用条件证明规则
　　或间接证明规则来实现的具体地说
　　无前提证明是以假设为出发点
　　并通过撤除所有假设来得出结论的
　　结论就是所要证明的重言式
　　例如：
　　对于P→P这个重言式可以构造如下的无前提证明
　　在命题逻辑中
　　如果我们能够构造出一个公式的无前提证明
　　那么，该公式就被证明是一个重言式
　　请看下面两个推论：
　　【推论1】
　　Q
　　∴P→P
　　【推论2】
　　¬Q
　　∴P→P
　　注意，推论1和推论2的前提正好相互否定
　　而它们的结论却完全相同
　　3.5.2 自然演绎与真值表方法
　　现在，我们已经有两种方法
　　可以检验一个命题推论的有效性
　　真值表方法
　　自然演绎方法
　　4 三段论逻辑
　　三段论逻辑是由古希腊的大哲学家
　　亚里士多德最初建立的
　　三段论逻辑只处理三段论推论
　　4.1 直言命题
　　4.1.1 直言命题的形式
　　出现在一个三段论中的命题
　　都是直言命题
　　直言命题有以下四种形式：
　　所有S是P
　　所有S不是P
　　有S是P
　　有S不是P
　　S和P是词项变项它表示任何一个词项
　　由S表示的词项叫做＂主项＂
　　由P表示的词项叫做＂谓项＂
　　例如：
　　所有哲学家都是善于抽象思维的；
　　有人不是善于抽象思维的；
　　所以，有人不是哲学家。
　　分析：
　　＂哲学家＂是主项
　　＂善于抽象思维的＂是谓项
　　把主项和谓项联结起来的词项叫＂联项＂
　　联项有两种，即＂是＂和＂不是＂
　　＂是＂叫做＂肯定联项＂
　　＂不是＂叫做＂否定联项＂
　　＂S＂前边的＂所有＂或＂有＂叫做＂量项＂
　　量项是用来表示主项在外延方面的数量的
　　＂所有＂叫做＂全称量项＂
　　它表示了主项的全部外延
　　＂有＂叫做＂特称量项＂
　　它没有表示主项的全部外延
　　任何一个直言命题都具有以上四种形式之一
　　任何一个直言命题都是由主项、谓项、联项和量项这四个部分组成的
　　人们把＂所有S是P＂缩写为＂A＂，并称之为＂全称肯定命题＂
　　把＂所有S不是P＂缩写为＂E＂，并称之为＂全称否定命题＂
　　把＂有S是P＂缩写为＂I＂，并称之为＂特称肯定命题＂
　　把＂有S不是P＂缩写为＂O＂，并称之为＂特称否定命题＂
　　4.1.2 直言命题的图释
　　我们把特称量词解释为＂至少有一＂
　　把I命题解释为＂至少有一S是P＂，
　　把O命题解释为＂至少有一S不是P＂
　　I和O用文恩图表达：
　　首先画两个相交的圆
　　它们分别表示S和P的外延
　　亦即它们分别表示S和P所指称的两类事物
　　这两个相交的圆构成三个不同的区域
　　中间相交的区域表示既是S又是P的那类事物
　　最左边区域表示是S而不是P的那类事物
　　最右边的区城表示是P而不是S的那类事物
　　如果已知哪一类事物存在
　　我们就在相应的区域写上＂X＂
　　如果已知哪一类事物不存在
　　我们就在相应的区域画上影线
　　如果一个区域既未写上＂X＂，也未画上影线
　　那就意味着我们对相应的那类事物一无所知
　　也是说
　　我们既不知道那类事物存在
　　也不知道它们不存在
　　I表示＂至少有一S是P＂
　　这就是说＂既是S又是P的那类事物是存在的＂
　　为表示I
　　我们应该在图中间的相交区域写上＂X＂
　　这样，I就被解释为：
　　我们把O解释为＂至少有一S不是P＂
　　这就是说，＂是S而不是P的那类事物是存在的＂
　　为表示O，我们应在图中最左边的区域写上＂X＂
　　这样，O就被解释为：
　　把＂所有S是P＂解释为＂没有S不是P＂
　　或＂是S而不是P的事物是没有的＂
　　为表示A命题，我们应当在图4中最左边的区域画上影线
　　于是，A被解释为：
　　E命题即＂所有S不是P＂的含义是＂没有S是P＂
　　或＂既是S又是P的事物是没有的＂
　　为表示E，我们应当在图中间的相交区域画上影线
　　这样，E就被解释为
　　请注意，在图中有＂X＂的
　　这表明I和O这两个特称命题有主项存在的含义
　　但在图中没有＂X＂的
　　这表明A和E这两个全称命题没有主项存在的含义
　　正因为这样，当主项为一个空词项时
　　特称命题都是假的
　　而全称命题都是真的
　　下图是当主项S为空词项时的图释
　　由于全称命题没有主项存在的含义
　　而特称命题有主项存在含
　　所以，由＂所有S是P＂推不出＂有S是P＂
　　由＂所有S不是P＂推不出＂有S不是P＂
　　4.1.3 直言命题之间的关系
　　A和O之间具有矛盾关系
　　因而，其中之一与另一个的否定命题是等值的
　　即：
　　＂所有S是P＂等值于＂并非有S不是P＂
　　＂有S不是P＂等值于＂并非所有S是P＂
　　E和I之间也具有矛盾关系
　　因而，以下等值关系成立：
　　＂所有S不是P＂等值于＂并非有S是P＂
　　＂有S是P＂等值于＂并非所有S不是P＂
　　根据以上四种等值关系
　　我们可以进行一些置换推演
　　例如：
　　从＂所有蛇是爬行的＂可以推出＂并非有蛇不是爬行的＂
　　从＂并非所有液体比铁轻＂可以推出＂有液体不比铁轻＂，等等
　　一个词项的补指称所有不被该词项指称的对象
　　任何一个词项＂P＂的补记为＂非P＂
　　例如：
　　＂红的＂的补为＂非红的＂
　　＂非红的＂的外延包括一切不为红色的个体
　　其中有黑板、绿草、白雪等等
　　说一个体是P，等于说该个体不是非P
　　说一个个体不是P，等于说该个体是非P
　　根据一个词项和该词项的补之间的这种关系
　　我们得到如下等值关系：
　　＂所有S是P＂等值于＂所有S不是非P＂
　　＂所有S不是P＂等值于＂所有S是非P＂
　　＂有S是P＂等值于＂有S不是非P＂
　　＂有S不是P＂等值于＂有S是非P＂
　　两个具有相同主项的直言命题可以相互置换：
　　它们的联项相反
　　谓项互为补词项
　　这个置换规则通常叫做换质法
　　例如：
　　所有的哺乳动物是热血的；
　　所以，所有的哺乳动物不是非热血的。
　　有些行星是没有卫星的；
　　所以，有些行星不是有卫星的。
　　交换E和I中S和P的位置
　　并不改变命题的含义
　　因此，我们又有如下等值关系：
　　＂所有S不是P＂等值于＂所有P不是S＂
　　＂有S是P＂等值于＂有P是S＂
　　相应地，我们有如下置换规则：
　　主项和谓项交换位置的两个E命题可以相互置换
　　主项和谓项交换位置的两个I命题可以相互置换
　　这个置换规则通常叫做换位法
　　下面两个推论是对换位法的应用：
　　有的钓鱼者是有耐心的；
　　所以，有的有耐心的是钓鱼者。
　　所有的天主教徒不是无神论者；
　　所以，所有的无神论者不是天主教徒。
　　十对相互等值的命题集中列举如下：
　　（1）根据矛盾关系：
　　＂所有S是P＂等值于＂并非有S不是P＂
　　＂有S不是P＂等值于＂并非所有S是P＂
　　＂所有S不是P＂等值于＂并非有S是P＂
　　＂有S是P＂等值于＂并非所有S不是P＂
　　（2）根据调项及其补词项之间的关系（即换质法）；
　　＂所有S是P＂等值于＂所有S不是非P＂
　　＂所有S不是P＂等值于＂所有S是非P＂
　　＂有S是P＂等值于＂有S不是非P＂
　　＂有S不是P＂等值于＂有S是非P＂
　　（3）根据主项和谓项的对称性（即换位法）：
　　＂所有S不是P＂等值于＂所有P不是S＂
　　＂有S是P＂等值于＂有P是S＂
　　4.2 三段论
　　4.2.1 什么是三段论
　　三段论是这样一种推论
　　它由三个直言命题组成
　　其中两个直言命题是前提
　　另一直言命题是结论
　　就主项和谓项而言
　　它包含三个不同的词项
　　每个词项在两个命题中各出现一次
　　例如：
　　所有有机物都是含碳化合物
　　糖是有机物
　　所以，糖是含碳化合物
　　分析：
　　这是一个三段论
　　它由三个直言命题组成
　　就主项和谓项而言
　　它只包含三个不同的词项
　　即＂有机物＂、＂含碳化合物＂和＂糖＂
　　其中每个词项在两个命题中各出现一次
　　三段论所包含的三个不同的词项
　　分别叫做＂大项＂、＂小项＂和＂中项＂
　　大项就是作为结论的谓项的那个词项
　　小项就是作为结论的主项的那个词项
　　中项就是在两个前提中都出现的那个词项
　　在这个例子中
　　大项是＂含碳化合物＂
　　小项是＂糖＂
　　中项是＂有机物＂
　　只要中项的位置确定了
　　大项与小项的位置也就跟着确定了
　　由于中项位置不同而形成的各种三段论形式叫做＂三段论的格＂
　　习惯上用＂P＂、＂M＂和＂S＂分别表示大项、中项和小项
　　现将三段论所有的四个格列举如下：
　　三段论的两个前提和一个结论
　　可以在A、E、I、0这四种不同形式的命题中加以选择
　　由于以不同形式的命题作为前提或结论
　　而形成的各种不同的三段论形式叫做＂三段论的式＂
　　例如上面的推论属于第一格
　　它的式可以表示为：AAA
　　当三段论的格和式都确定以后
　　三段论的形式也就完全确定了
　　例如：
　　如果告诉我们一个三段论的形式是EIO一Ⅲ
　　我们便知道这个三段论具有如下的形式：
　　所有M不是P
　　有M是S
　　所以，有S不是P
　　就三段论的任何一格而言
　　它的两个前提和一个结论各有四种可能的形式
　　即A、E、I或O
　　因此，三段论的任何一格都有4³即64个式
　　四个格一共有256个式
　　然而，并非每一个三段论形式是有效的
　　4.2.2 用文恩图检验三段论的有效性
　　为了用文恩图检验一个三段论的有效性
　　我们首先画三个彼此相交的圆
　　让它们分别代表大项、中项和小项
　　如图所示
　　其次，把作为前提的两个直言命题分别在图中表示出来
　　不妨以AAA-I为例
　　AAA-I的形式是：
　　所有M是P
　　所有S是M
　　所以，所有S是P
　　下图中加以表示的结果
　　最后，根据上图来检验AAA-1是否有效
　　看它是否包含了表示AAA-I的结论文恩图：
　　若包含，AAA-I是有效的
　　若不包含，则表明AAA-I是无效的
　　AAA-I的结论是＂所有S是P＂
　　表示该结论的文恩图是：
　　图中画影线的部分完全包含影线区域
　　由此可见，AAA-I是有效的
　　当一个三段论有一个全称前提和一个特称前提时
　　最好先画出全称前提
　　然后画出特称前提
　　4.2.3 用规则检验三段论的有效性
　　一个命题中的一个词项是周延的
　　当且仅当，这个命题断定了这个词项的全部外延
　　根据这个定义，我们可以确定：
　　（1）全称命题的主项是周延的。
　　全称命题＂所有S是P＂和＂所有S不是P＂
　　中的量词＂所有＂断定了S的全部外延
　　（2）特称命题的主项是不周延的
　　特称命题＂有S是P＂和＂有S不是P＂
　　中的量词＂有＂没有断定S的全部外延
　　（3）肯定命题的谓项是不周延的
　　肯定命题＂所有S是P＂和＂有S是P＂
　　并没有断定S是所有的P
　　故没有断定P的全部外延
　　（4）否定命题的谓项是周延的
　　否定命题＂所有S不是P＂和＂有S不是P＂
　　断定了S不是任何一个P
　　故断定了P的全部外延
　　三段论规则列举如下：
　　规则1：中项至少在一个前提中周延。
　　规则2：如果一个词项在结论中是周延的
　　那么，它必须在前提中周延
　　规则3：至少一个前提是肯定的。
　　规则4：如果有一个前提是否定的
　　那么，结论是否定的
　　如果结论是否定的
　　那么，有一前提是否定的
　　规则5：如果两个前提都是全称的
　　那么，结论不能是特称的
　　一个三段论如果满足以上每一条规则
　　那么它是有效的
　　反之，如果它违反其中任何一条则
　　那么，它是无效的
　　4.3 强化三段论
　　4.3.1 强化直言命题与强化三段论
　　一个三段论如果暗含着一个前提
　　即＂由前提中的主项所表示的事物是存在的＂
　　这样的三段论比起我们在前一节所讨论的三段论
　　可以说是强化了前提的三段论
　　因而，我们把这样的三段论叫做＂强化三段论＂
　　把组成强化三段论的直言命题叫做＂强化直言命题＂
　　相应地，把非强化三段论和非强化直言命题叫做
　　＂基本三段论＂和＂基本直言命题＂
　　强化三段论逻辑中
　　强化直言命题之间的逻辑关系
　　被归结为一个＂逻辑方阵＂
　　4.3.2 对强化三段论的有效性的检验
　　强化三段论的有效性不同于基本三段论的有效性
　　文恩图检验强化三段论的一般程序：
　　步骤1：画出两个前提的文恩图
　　步骤2：在各个前提以及结论的主项的圆内写上＂X＂
　　步骤3：检查图中是否已把结论画出
　　若画出，则该推论有效
　　若未画出，则该推论无效
　　下面我们就用文恩图检验一个强化三段论的有效性。
　　例如：
　　所有M是P
　　所有S是M
　　所以，有S是P
　　首先画出两个前提的文恩图
　　其次，我们在两个前提以及结论的主项S和M的圆内写上＂X＂
　　强化三段论的有效形式多于基本三段论的有效形式
　　强化三段论的有效形式除了这15个以外，还有9个
　　4.3.3 处理三段论的两种方案
　　如何确定一个三段论是强化三段论还是基本三段论？
　　例如：
　　维也纳学派的成员都懂逻辑学
　　维也纳学派的成员都是经验主义者
　　所以，有些经验主义者是懂逻辑学的
　　分析：
　　如果这个推论出于一个哲学工作者之口
　　我们最好把这个推论看作一个强化三段论
　　即假定前提的主项＂维也纳学派的成员＂不是一个空词项
　　因为哲学工作者一般都知道维也纳学派是一个真实存在的哲学派别
　　然而，如果这个推论出于一个小学生或中学生之口
　　我们最好把它看作一个基本三段论
　　即不假定＂维也纳学派的成员＂不是一个空词项
　　因为在中小学生中知道实际存在的
　　作为哲学派别的维也纳学派的人毕竟是不多的
　　避开这个问题的方案主要有二：
　　其一是传统逻辑所采取的方案
　　另一是现代逻辑所采取的方案
　　传统逻辑通常把三段论作为强化的三段论
　　把直言命题作为强化的直言命题
　　在现代逻辑中
　　通常把直言命题作为基本直言命题
　　把三段论作为基本三段论
　　这种作法的优点是
　　能够处理不假定主项存在的三段论和直言命题
　　其缺点是
　　对于那些主项明显存在的三段论和直言命题处理得比较迁回
　　不够直截了当
　　在文中所出现的三段论和直言命题
　　除非特别声明
　　都是作为基本三段论和基本直言命题的
　　5 谓词逻辑：基本概念和符号化
　　5.1 基本概念
　　5.1.1 谓词逻辑和谓词推论
　　本章的目的在于发展这样一个逻辑系统：
　　我们既能处理那些依据真值函项联结词的推论
　　又能处理那些依据量词的推论
　　而且还能处理那些既依据量词
　　又依据真值函项联结词的推论
　　这样的逻辑理论叫做＂谓词逻辑＂
　　谓词逻辑是对命题逻辑的扩展
　　它在命题逻辑的基础上
　　又增添了一些新的推演规则
　　因此
　　所有在命题逻辑中能够被证明为有效的推论
　　在谓词逻辑中都能被证明
　　许多在命题逻辑中不能被证明的有效推论
　　在谓词逻辑中也能够被证明
　　我们把谓词逻辑所处理的推论叫做＂谓词推论＂
　　命题推论是谓词推论的一部分
　　5.1.2 个体词和谓词
　　我们首先考察几个命题：
　　（1）武汉大学是综合性大学。
　　（2）武汉大学依山傍水。
　　（3）泰山是雄伟的。
　　（4）庐山是雄伟的。
　　这四个命题都断定了某个个别事物具有某种属性
　　在谓词逻辑中
　　把表示个别事物的名称或短语叫做＂个体词＂
　　把表示事物的性质或关系的短语叫＂谓词＂
　　上面四个命题中的
　　＂武汉大学＂、＂泰山＂、＂庐山＂是个体词
　　＂···是综合性大学＂、＂···依山傍水＂、＂···是雄伟的＂是谓词
　　现在，我们规定，小写字母a至w为个体常项
　　它们用来表示自然语言中的个体词亦即专名（专有名词）
　　其后紧跟一对括号的大写字母A至Z为谓词常项
　　它们用来表示自然语言中的谓词
　　在将命题符号化时
　　先写谓词常项
　　然后将个体词填写在谓词常项后边的一对括号里
　　据此，我们可以对上面四个命题进行如下的符号化：
　　首先给出谓词常项和个体常项：
　　Z（）：＂·是综合性大学
　　S（）：···依山傍水
　　X（）：···是雄伟的
　　w：武汉大学
　　t：泰山
　　l：庐山
　　然后写出命题的符号表达式：
　　(1＂)Z (w)
　　(2＂)S(w)
　　(3＂)X(t)
　　(4＂)X(l)
　　（1＇）、（2＇）、（3＇）和（4＇）分别是
　　（1）、（2）、（3）和（4）的符号化
　　有些谓词则表示两个或更多个体之间的关系
　　例如：
　　（5）梁山伯爱祝英台。
　　（6）武汉在南京和重庆之间。
　　（7）武汉与南京之间的距离小于重庆与上海之间的距离。
　　分析：
　　（5）的谓词＂……爱……＂表示两个个体之间的关系
　　（6）中的谓词＂···在···和···之间＂表示三个个体之间的关系
　　（7）中的谓词＂···与···之间的距离小于··与··之间的距离＂表示四个个体之间的关系
　　一般地，我们把表示n个个体的属性或关系的调词叫做＂n目谓词＂
　　这里的＂目＂也就是空位的意思
　　命题（1）至（4）中的谓词都是一目谓词
　　命题（5）中的谓词是二目谓词
　　命题（6）中的谓词是三目谓词
　　命题（7）中的谓词是四目谓词
　　为了把谓词的目数表示出来
　　我们进一步规定
　　谓词符号是被一对包含或不包含逗号的括号
　　紧跟其后的大写字母
　　例如：
　　A（）、···M₄（）、····B₂（，）、···、W（，，）、
　　···、Z（，，，）···
　　其中不含逗号的谓词是一目谓词
　　含有一个逗号的谓词是二目谓词
　　总之，含有n个逗号的谓词是n＋1目谓词
　　个体词必须填在谓词的括号中
　　若有逗号
　　必须在逗号两边各填一个个体词
　　为简便起见，在规定谓词常项时
　　我们可以把谓词常项后边的括号省去
　　例如：
　　现对命题（5）、（6）、（7）进行符号化
　　E：···爱···
　　B：·在···和···之间
　　R：···与····之间的距离小于···与···之间的距离
　　b：梁山伯
　　t：祝英台
　　h：武汉
　　j：南京
　　q：重庆
　　s：上海
　　(5＂) E(b, t)
　　(6＂) B(h, j, q)
　　(7＂) R(h, j, g, s)
　　以上所讨论的命题都可以用一个n目谓词常项
　　和填写在其后一对括号中的n个个体常项加以符号化
　　这样的命题及其符号化都是关于某些个别事物的
　　因而叫做＂单称命题＂
　　所有单称命题都属于谓词逻辑的基本命题
　　此外，所有的命题常项也属于谓词逻辑的基本命题
　　习惯上，把基本命题叫做＂原子命题＂
　　所有单称命题和所有命题常项就是谓词逻辑的全部原子命题
　　由原子命题构成的复合命题又叫做＂分子命题＂
　　5.1.3 量词
　　请看下面两个命题。
　　（8）所有事物都是方形的。
　　（9）有的事物是红色的。
　　（8）中所谈的＂事物＂泛指任何对象
　　而不指称某一个别对象
　　因而，对于（8）中的＂事物＂我们不能用个体常项来代表
　　只能用个体变项来代表
　　个体变项是小写字母x、y和z
　　个体变项的变域是宇宙间的任何个体
　　我们还引入一个常项＂∀  ＂
　　∀  叫做＂全称量词＂
　　它的含义相当于日常语言中的：
　　＂每一＂、＂任何＂、＂所有＂、＂一切＂等等
　　现在，我们用个体变项＂x＂表示（8）中的＂事物＂
　　用调词常项＂F＂表示（8）中的谓词＂···是方形的＂
　　（8）可以符号化为：
　　(8＂)∀xF(x)
　　读作：（8＂＂）对每一x而言，x是方形的
　　（8＂＂）和（8）的意思完全一样
　　只是表达方式略有不同
　　（8＂＂）被一个逗号分为两部分
　　前一部分＂对于每一x而言＂是对＂∀x＂的解释
　　后一部分＂x是方形的＂是对＂F（x）＂的解释
　　命题（9）中的＂事物＂也不能用个体常项来表示
　　只能用个体变项来表示
　　＂ヨ＂叫做＂存在量词＂
　　它的含义相当于自然语言中的：
　　＂有＂、＂有的＂、＂至少有一＂等等
　　现在我们用个体变项x表示（9）中的＂事物＂
　　用谓词常项H表示（9）中的谓词＂···是红色的＂
　　（9）可以被符号化为：
　　（9）ヨxH(x)
　　读作：（9＂）至少有一x使得，x是红色的
　　（9＂）和（9）虽然表达方式略为不同
　　但它们的意思是完全一样的
　　（9＂）也被一个逗号分为两部分
　　前一部分＂至少有一x使得＂是对（9＇）中的＂ヨx＂的解释
　　后一部分＂x是红色的＂是对（9＇）中的＂H（x）＂的解释
　　一个量词后边总是紧跟一个个体变项
　　用以表明这个量词是针对什么而言的
　　量词和紧跟其后的一个个体变项一起称作量词
　　例如：
　　＂∀  x＂、＂∀y＂、＂∀z＂等是全称量词
　　＂ヨx＂、＂ヨy＂、＂ヨz＂等是存在量词
　　5.1.4 量词的辖域、普遍命题和复合命题
　　量词的作用范围叫做＂量词的辖城＂
　　对于量词的辖域
　　可以分三种情况加以判别：
　　其一，量词后边紧接一个左括号
　　在这种情况下
　　量词的辖域从量词开始
　　延续到与该左括号配对的右括号
　　其二，量词后边没有紧跟一个左括号
　　也没有紧跟一个量词
　　在这种情况下
　　量词的辖域从量词开始
　　延续到该量词之后的第一个二项真值函项联结词之前
　　其三，量词后边紧接一个量词
　　在这种情况下
　　该量词的辖域就是它本身加上它后边的量词的辖域
　　例如：
　　(10)∀x(F(x)→F(e))
　　(11)∀xF(x)→F(e)
　　(12)∀xヨyR(x, y)
　　分析：
　　在（10）中
　　量词＂∀  x＂之后紧接一个左括号
　　因此，量词的辖域一直延续到与该左括号配对的右括号
　　也就是说，量词的辖城包括整个命题
　　在（11）中
　　量词＂∀x＂之后没有紧接一个左括号
　　也没有紧接一个量词
　　因此，量词的辖域只包括＂→＂之前的部分
　　即＂∀xF（x）＂
　　在（12）中
　　量词＂∀x＂之后紧接量词＂ヨy＂
　　因此，＂∀x＂的辖域包括它本身和＂ヨy＂的辖域
　　就是包括整个公式
　　量词和真值函项联结词统称为＂逻辑词＂
　　如果一个量词的辖域包括整个命题
　　那么我们就称该量词是该命题的＂主逻辑词＂
　　以量词为主逻辑词的命题称作＂普通命题＂
　　普遍命题又可分为全称命题和存在命题
　　全称命题的主逻辑词是全称量词
　　存在命题的主逻辑词是存在量词
　　如果�...