几何原本与圆有关的平面几何（1）

　　前面我用7篇文章介绍了《几何原本》第1卷、第2卷的全部内容，从本篇开始，我将向大家讲解《几何原本》第3卷＂与圆有关的平面几何＂中的内容。
　　第3卷共包含11条定义以及37个命题，这些命题我们在初中数学教材中都学过。唯一的区别在于，初中数学教材中，都是将这些命题作为结论直接使用，但是没有给出证明过程。
　　本篇，我们学习第3卷中的11条定义以及6个命题。一、定义
　　定义1：相等的圆，其直径相等，或圆周到圆心的距离相等（即半径相等）。
　　定义2：一条直线与圆相切，就是它与圆相遇，而这条直线延长后不再与圆相交。
　　定义3：两圆相切，就是彼此相遇，而不相交。
　　定义4：过圆心作圆内弦的垂线，垂线相等，则称这些弦有相等的弦心距。
　　定义5：当垂线较长时，称这弦有较大的弦心距。
　　定义6：弓形是由一条弦和一段弧组成的。
　　定义7：弓形的角是由一条直线和一段圆弧所夹的角。
　　定义8：弓形的角是连接弧上任意一点和这段圆弧的底的两端的两条直线所夹的角。
　　定义9：弓形角也叫作含于这段弧上的弓形角。
　　定义10：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截的一段圆弧共同围成的图形叫作扇形。
　　定义11：相似弓形是那些含相等角的弓形，或者他们上的角是彼此相等的。二、命题1-命题6。命题1：求出已知圆的圆心。
　　已知圆ABC。
　　目标：只能使用直尺和圆规，作出圆ABC的圆心。
　　证明：
　　1、在圆上作任意直线AB。
　　2、作AB的二等分点D。（第1卷 命题9）
　　3、过点D作AB的垂线与圆相交于C、E。
　　4、作CE的二等分点F。（第1卷 命题9）
　　分析：这时点F可能是圆心，如果点F不是圆心，那么圆心肯定不在线段CE上。
　　5、假设点F不是圆心，圆心为点G,点G为线段CE以外任意一点。
　　6、连接GA、GD、GB。
　　7、于是GA=GB，GD=GD，AD=DB，因此角GDA=角GDB。（第1卷 命题8）
　　8、于是角GDB是直角。（第1卷 定义10）
　　9、又角FDB是直角，于是角FDB=角GDB，即较大角等于较小角，这是不可能的。
　　10、于是假设不成立，因此圆心在CE上，又圆心到圆上各点距离相等，因此点F为圆心。
　　证明完毕。
　　说明：这个命题欧几里得再次使用了假设法，当命题不好直接证明时，假设法就是一个很好的证明方式。在《几何原本》中，很多命题的证明都用到了假设法。假设法的思路是，先假设与命题相反的结论，然后推导出矛盾的结论，从而假设不成立，原命题成立。
　　这里再多说一句，引发第一次数学危机的无理数，它的发现过程也是使用了假设法。 命题2：连接圆上任意两点，则连接这两点的直线上的其他点均在圆上。
　　已知圆ABC以及圆上任意两点A、B，连接AB。
　　目标：证明线段AB在圆内。
　　证明：
　　1、假设线段AB在圆外，E为线段AB上一点，如图所示。
　　2、设圆ABC的圆心为D。（第3卷 命题1）
　　3、连接DA、DB、DE，DE与圆ABC相交于点F。
　　4、因为DA=DB，所以角DAE=角DBE。（第1卷 命题5）
　　5、在三角形DAE中，线段AEB是线段AE的延长线，所以角DEB>角DAE。（第1卷 命题16）
　　6、于是角DEB>角DBE，又在三角形DEB中，大角对大边，所以DB>DE。（第1卷 命题19）
　　7、又因为F是圆上一点，所以DF=DB，于是DF>DE，即较小边大于较大边，这是不可能的。
　　8、所以假设不成立，线段AB不落在圆外。
　　9、同理，可证明线段AB也不落在圆周上，因此它落在圆内。
　　证明完毕。
　　说明：本命题使用了假设法进行证明。
　　这里再多说一句，命题1为什么非要找到圆的圆心？我无法准确画出来圆心其实也不妨碍命题2的证明，为什么要多此一举呢？其实这和欧几里得追求严谨有关，欧几里得的原则是，我只有能够画出来这个图形，我才能去证明它，这也是我们在《几何原本》中能够看到较多求证作图的命题的原因。比如第1卷中的命题47证明了勾股定理，证明过程需要用到图形正方形，于是欧几里得在命题46中证明了能够根据已知线段作出一个正方形出来。 命题3：在一个圆中，过圆心的直线二等分一条不过圆心的直线，那么这两条直线互相垂直；如果过圆心的直线垂直于不过圆心的直线，那么前者二等分后者。
　　已知圆ABC，直线CD过圆心且二等分不过圆心的直线AB于点F。
　　目标：证明CD垂直于AB。
　　证明：
　　1、作圆ABC的圆心，设圆心为E。（第3卷 命题1）
　　2、连接EA、EB。
　　3、因为EA=EB，EF=EF，FA=FB，所以角AFE=角BFE。（第1卷 命题8）
　　4、所以角AFE=角BFE=直角。（第1卷 定义10）
　　5、所以CD垂直于AB。
　　接下来假设AB垂直于CD于点F。
　　目标：证明CD二等分AB，即AF=FB。
　　6、因为EA=EB，所以角EAF=角EBF。（第1卷 命题5）
　　7、又直角AFE=直角BFE，EF=EF，所以AF=FB。（第1卷 命题26）
　　证明完毕。 命题4：在一个圆中，如果两条不过圆心的直线相交，则它们不相互平分。
　　已知圆ABCD，其中有两条不过圆心的直线AC和BD相交于点E。
　　目标：AC、BD不互相平分。
　　证明：
　　1、假设AC、BD相互平分，即AE=EC，BE=ED。
　　2、作圆ABCD的圆心F，连接FE。（第3卷 命题1）
　　3、因为过圆心的直线FE二等分另一条没过圆心的直线AC，则它们相互垂直，所以角FEA是直角。（第3卷 命题3）
　　4、同理，角FBE是直角。
　　5、于是角FEA=角FBE，即较小角等于较大角，这是不可能的。
　　6、因此假设不成立，即AC、BD不互相平分。
　　证明完毕。
　　说明：本命题使用了假设法进行证明。 命题5：两圆相交，圆心不同。
　　已知圆ABC和CDG相交，交点是B、C。
　　目标：证明圆ABC、CDG圆心不同。
　　证明：
　　1、假设两圆圆心相同，设点E为公共圆心。
　　2、假设EFG是穿过两圆的任意直线，连接EC。
　　3、于是EC=EF，EC=EG，所以EF=EG，即小的等于大的，这是不可能的。
　　4、所以假设不成立，因此点E不是圆ABC和圆CDG的共同圆心。
　　证明完毕。
　　说明：本命题使用了假设法进行证明。 命题6：两圆相切，圆心不同。
　　已知圆ABC、CDE相切，切点为C。
　　目标：证明圆ABC、CDE圆心不同。
　　证明：
　　1、假设两圆圆心相同，设点F为公共圆心。
　　2、假设FEB是穿过两圆的任意直线，连接FC。
　　3、因为F是公共圆心，于是FC=FE，FC=FB，所以FE=FB，即小的等于大的，这是不可能的。
　　4、因此假设不成立，所以点F不是圆ABC、CDE的圆心。
　　证明完毕。
　　说明：本命题使用了假设法进行证明。
　　好了，这一讲就到这了。
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