自相似混沌中的秩序

　　自相似性在日常生活中随处可见。虽然身处其中就某一事件孤立来看，总是没有规律可循的、纷乱的、理不出头绪的，但是我们缩小一个比例或者放大一个比例进行观察，立即就会发现宇宙中普遍的自相似性。海洋、大气层、空间等离子体都具有相似的流体结构，宇宙大尺度结构与人类神经系统具有相似的网状结构，太阳系与原子具有相似的轨道结构，不同尺度的云朵、海岸线、山川、河流、植物、生物组织也都具有自相似结构。一个非常明显但大多数人都不会在意的事实是：我们周围的所有事物的结构几乎都是一个尺度相对较大的事物周围环绕着一些小的事物，且大事物与小事物之间具有自相似性。比如大的星系周围总有几个小星系，恒星周围总有几颗行星，原子周围总有一些电子，大的泡沫周围总有一些小泡沫，城市周围总有一些小城镇，商业中心周围总有一些小店铺，大公司周围总有一些小的卫星公司提供服务，管理者周围总有员工在忙碌，长辈周围总有小孩子的身影。我们可以看到这是一个普遍现象，不管我们考察的对象是宇宙、星球、国家、社会、公司、家庭都具有类似的结构。这看起来如此明显，以至于我们不会想到它们与宇宙深层法则之间的深刻联系，而这些现象背后正体现了宇宙的一项重要法则---自相似结构。
　　自相似性其实是分形结构的内在规律，分形是自然界的普遍现象，大到山脉、云层、海岸线，小到生命体内部的组织、血管、神经，无不充满了重重叠叠、无穷无尽的分形结构。分形学是由著名的数学家曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的。
　　所谓分形，就是几何形状可以分成多个部分，每一部分都是整体缩小尺寸的形状近似。 科赫曲线（下图）就是一个典型的例子，它是这样构造的，第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸，对新产生的4条线段执行同样的变换，每一次变换都将使总长度变为乘以4/3，如此无限循环下去，曲线本身将变成无限长。
　　科赫曲线
　　由科赫曲线围成的封闭图像称为科赫雪花（下图），科赫雪花是一个封闭图形，它的周长无限长，但所围的面积是有限的。
　　科赫雪花
　　科赫雪花的三维版本是谢尔宾斯基海绵（下图），把正方体的每一个面分成9个正方形，这将把正方体分成27个小正方体，把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体，再把每一个留下的小正方体都重复同样的操作，如此循环无穷多次，我们就得到了一块谢尔宾斯基海绵。
　　谢尔宾斯基海绵
　　分形结构之所以能形成自相似性，是因为整个结构是＂统一的规律性＂在不同的空间尺度上进行连续刻画的结果，这种构建模式自发的产生自相似性 。我们可以尝试从纯数学上理解这个问题，当我们考察自然数列时，我们就会发现1~10、1~100、1~1000之间具有同样的相似结构，只不过包含的数越来越多。这种自相似性是由＂逢十倍进一＂的规律决定的，使用这种循环递进方式描述数系，就形成了一种分形，我们描述无限时经常借助这种方式。如果把自然数列的每个数字都连接起来形成一条链，如[123456789101112131415161718192021222324…]，且每个数字被赋予：＂单位向量长度＂下相对于上一数字的旋转角度，如1表示旋转π/10，2表示旋转2π/10，3表示旋转3π/10…依次类推，我们将整个链展现在二维平面上，就会看到一个清晰的分形结构，不断的放大下去，永远呈现出相似又有变化的结构，在细微的层面中逐渐变得果实累累，如下图(每一张图为上一张图中红色框局部的放大)：
　　最著名的分形结构是曼德尔布罗特集。它是这样形成的，考虑下面这个迭代式子：Zn=(Zn-1) 2 +C，其中Zn和C都是复数，我们让Z0=0，则不同的常数C就给定了不同的迭代。如果当n->∞的时候|Zn|->∞，那么就说这个C产生的迭代系统是无界的，否则当n->∞的时候|Zn|是一个有限的数，则称这个C产生的迭代系统是有界的。 曼德尔布罗特集就是符合下面定义的集合：M={C|其中C∈复数集合，并且C产生的迭代系统是有界的}。如果把集合内的元素画在平面上，并且用黑色的点标记，则会产生各式各样的复杂图形。如果按照n->∞时|Zn|大小不同而对应点不同就取不同灰度值则会产生彩色图形。该集合局部的放大在统计角度上具有自相似性，但它无限的卷旋的模式却以不可预见的方式在不断的改变，这就产生了越来越错综复杂的结构，如下图(每一张图为上一张图中白色框局部的放大)：
　　曼德尔布罗特集
　　现实世界中，对应于分形结构的是混沌系统。1961年，美国气象学家洛伦茨（E‧Lorenz）在电脑上进行关于天气预报的计算时，无意间省略了初始值小数点后六位的零头，输入的细微差异经过运算后却产生了巨大的偏移。这种动力学系统中初始条件下微小的变化带动整个系统长期的巨大的连锁反应被称为蝴蝶效应，对于这个效应最经典的阐述是：＂一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风＂。其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流又会引起周围空气或其它系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其它系统的极大变化。蝴蝶效应是一种典型的混沌现象，所有混沌现象的本质都是系统的长期行为对初始条件的敏感性。
　　1970年法国物理学家D·吕埃尔和F·泰肯发现，所有的运动系统，不管是混沌的还是非混沌的，都以吸引子为基础，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某一个终态或终态的某种模式而得名。吸引子可以区分为平庸吸引子和奇异吸引子两类。平庸吸引子具有＂不动点＂、＂极限环＂和＂整数维的环面＂三种模式，分别对应于非混沌系统中的＂平衡＂、＂周期运动＂和＂概周期运动＂三种有序稳态运动形态。例如，一个孤立的单摆运动，将因摩擦而不断损失能量，最后停止在一个点上，可以认为这个系统受一个＂不动点吸引子＂的控制。一切不属于平庸的吸引子都称为奇异吸引子，对应于混沌系统中非周期的、貌似无规律的无序稳态运动形态。例如，气候就是天气系统的奇异吸引子，由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。
　　奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含着的某种不稳定性有着密切的关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向被吸引到吸引子内，属于＂稳定＂的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于＂不稳定＂方向。奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子（下图），
　　洛伦茨吸引子
　　它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。洛伦茨吸引子由＂浑然一体＂的左右两簇构成，各自围绕一个不动点。当运动轨道在一个簇中由外向内绕到中心附近后，就随机地跳到另一个簇的外缘继续向内绕，然后在达到中心附近后再突然跳回到原来的那一个簇的外缘，如此构成随机性的来回盘旋。奇异吸引子具有两个主要的特点：①奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。②奇异吸引子往往具有非整数维，常需要通过计算才能加以确定。1976年，美国物理学家M·J·费根鲍姆发现，奇异吸引子具有标度无关性。当把标尺作适当的放大后，吸引子的细节部分具有与整体相同的结构，同一种形态在越来越小的尺度上重复，而这个特征正是分形的性质。 分形及混沌本质上其实是一种现象，＂混沌是时间上的分形，分形是空间上的混沌＂，这句话很好地说明了两者的关系。混沌和分形，在相空间上是等价的，宇宙的永恒运动只不过是展现在整个相空间中的分形结构，我们观测到的运动只是这些分形结构在相空间中不同维度中的投射 。
　　混沌学研究表明在受严格确定性规律支配的动力学系统，也可以出现随机的统计规律性，也就是说存在一种＂决定论性混沌＂，它是由决定性规律产生的随机行为，可以用不包括任何随机项的微分方程或简单映射来描述。这种不可预测的混沌现象产生不是因为受到环境干扰，也不是因为系统具有无穷多自由度，更不是因为系统内部的量子不确定性，而是由系统动力学规则的非线性导致，非线性的内在对称性又反过来决定了混沌行为的结构和秩序。
　　混沌学有关随机网的研究更加深了我们对世界不确定性的认识， 随机网（下图）由扎斯拉夫斯基及其同事在20世纪80年代初发现，在这类系统中，有序和混沌相互关联，处于某种确定和不确定的临界状态，可以构造出具有准对称性的弥漫于整个三维相空间的弱混沌网络结构。随机网结构的准规则性表明，混沌的出现是几种不同的对称性（比如转动对称性和平移对称性）之间的相互竞争而具有的普适性质，而我们正生活在这样一个既是决定论又具有随机性的世界中。
　　随机网
　　通过混沌系统我们看到，确定的自然规律并不一定只能带来决定论的宿命世界，永恒不变的物理法则同样也可以带来极大的不确定性。我们观察到这个世界总是既体现＂确定的规律性＂又展现出＂不确定性的随机结果＂，这使我们的世界既相对稳定又丰富多彩。更深层的规律是＂在纯粹的抽象世界中任何两种相对的性质都是等价且拉锯式竞争的＂。我们观察到的世界的不确定性既产生自永恒的确定性中，也受这种确定性的限制。现代物理学的研究发现，一个定律的背后总是关联着一定的对称性，宇宙正是＂随机＂和＂对称＂相互竞争而形成的＂自相似＂系统。
　　也许我们把宇宙整体的图像展开，首先看到的是一个个孤岛，每一个孤岛都由一组特定的自洽的规律产生，且具有分形的结构，呈现出向外有界、向内无限的结构，相似性布满内部直至无限细微之处，非常类似曼德尔布罗特集。我们的宇宙是这些孤岛中的一个，至于地球在整个精致结构中处于哪个层次无从知晓，我们只能做出推断：地球上滋生的众多生命果实都跟整体的宇宙孤岛具有某种相似的结构。
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