从毕达哥拉斯到欧几里得数学体系的完善

　　毕达哥拉斯学派只是数学研究的开始，如果古希腊只有毕达哥拉斯，那在数学方面的建树就非常有限了，只有到欧几里得的《几何原本》横空出世，古希腊在数学方面的贡献才达到一个高峰。
　　当然毕达哥拉斯学派也不仅仅是把数抽象分类那么简单。毕达哥拉斯在当时被当作神一样的人物，他的思想肯定有惊人之处。首先，毕达哥拉斯学派是一个神秘学派，他对他们团队的管理是非常严格的。有故事说，毕达哥拉斯的一个门徒泄露了无理数（当时发现的是根号2）的存在和证明，结果被毕达哥拉斯处死，可见门规相当严格。什么信息能够向外说，什么要严格保密，估计都有条文规定。神秘的结果也使得外界不是太了解毕达哥拉斯学派在数学方面的研究过程和成果，只是知道毕达哥拉斯学派的世界是一个和谐的数世界。
　　其次，毕达哥拉斯学派只研究整数，同时从几何上讲他们只认可可度量的量。简单讲，他们的信条就是宇宙中的一切现象都可以归结于整数或整数之比。他们还特别研究了音乐中的旋律，发现成比例的跳跃才是优美的音乐，否则就是难听的杂音。这又一次证明美好世界是和谐的。
　　毕达哥拉斯学派肯定还有很多对世界万物归结于数的描述，这一些很少有文献记载了。文献记录的接下来就是毕达哥拉斯学派戏剧化的消亡。这个自然是因为无理数的发现。
　　也许是在对数的分类过程中，毕达哥拉斯学派发现了根号2的存在，又通过直角三角形的毕达哥拉斯定理，发现其它很多无理数。毕达哥拉斯或者他的门徒应该是严格证明了根号2无法用整数的比例表示，这使得他们陷入极度的恐慌，因为他们的和谐社会理论由于有无理数的存在而面临崩溃。他们开始肯定是想掩盖住无理数的存在。然而，古希腊还有其它的数学高手，据传说记载有一个人叫希帕苏斯的人发现了不可度量的量(也就是根号2之类)，结果毕达哥拉斯的人把希帕苏斯投进海里，由此可见当时环境的残酷。
　　科学的进步没有被暴力手段所打断，这应该要归功于古希腊当时的社会。虽然毕达哥拉斯学派在当时被神化，但是面对无理数这么大的事件，还是没有办法阻止数学的发展，这样只会有一个结果，那就是毕达哥拉斯学派的分崩离析，逐渐消亡。
　　读到这里，有些朋友可能会有些疑问，毕达哥拉斯学派干脆承认无理数的存在不就行了？为什么宁愿被死亡也不认可无理数呢？
　　这个问题要从两方面说。一方面，无理数的性质在当时很难搞清楚。我们前面讲过，无理数不单单是不能整除那么简单，它蕴藏着深刻的数学逻辑。就是简单地证明某个数是不是无理数都非常困难。事实上，数学家直到19世纪，才理顺了无理数的各种性质，算是给无理数，也就是实数（有理数加无理数）理论画上了一个完美的句号。
　　实数有一个非常奇怪也难以理解的性质叫稠密性，它牵涉到数轴上数的分布问题，这个难题要古希腊学者去研究实在是太难了。还有无理数比有理数多的问题；还有超越数，代数数等一系列问题。甚至伽罗华的五次及以上方程没有根式解的群论，也跟数的性质有关。要毕达哥拉斯及其同时代人，弄明白那么多复杂的理论，确实不现实，数学发展不可能一步登天，它需要长时间的累积，所以毕达哥拉斯学派拒绝承认无理数应该是必然的。由于无理数肯定存在，而当时的数学研究者（当然以毕达哥拉斯学派为代表）又拒绝承认，这不可避免的要发生一场冲突，这就是数学史上所说的第一次数学危机。
　　没想到数学刚开始诞生就发生了危机，可见科学发展的艰难。对待数学危机，科学家一般采用先搁置的方式，不做深入的辩论，先发展其它数学分支，等到时机成熟了，再解决危机。所以古希腊没有直接发展数论，而是先从几何入手，把数学发展推向了一个高潮。
　　古希腊最成功的就是几何理论的建立。达到顶峰的自然是欧几里得的《几何原本》的出世。不过从毕达哥拉斯到欧几里得，也经历了200多年（毕达哥拉斯盛年活动主要在公元前532年左右，而欧几里得应该是活跃于公元前300年左右），在这两百多年中，古希腊的数学研究又发生了什么呢？换句话说，从毕达哥拉斯到欧几里得，又有什么人对数学研究做出了巨大贡献？
　　在毕达哥拉斯和欧几里得之间，有柏拉图和亚里斯多德两个大师。严格意义讲，这两个伟人都不能算是数学家，不过数学史谈到数学的发展都不得不提这两个名人，这又是为什么呢？
　　柏拉图最出名的自然是他的理想国理论，非常奇怪地是，柏拉图的理想社会必须有数学基础。他认为理想世界的战士必须学数的技巧，否则他没办法打仗。理想社会的人都必须学习算术，否则思维就得不到训练。我们现代人读书，学数学占很大一部分学习内容，应该是受柏拉图的影响和启发。古希腊人是不是受到柏拉图的号召，人人或者至少上层人士都要学习数学就不得而知。不过由于柏拉图的一再强调，古希腊人学数学的热情会高涨很多，这肯定是正确的。数学教育的全面普及化，是产生《几何原本》这样集大成作品的前提。没有很多人参与和努力研究，像《几何原本》这样内容丰富的数学作品肯定不会在远古时代就写出来了。
　　亚里斯多德对数学的进步的贡献可能要比柏拉图要大一些。这主要是因为亚里斯多德有著名的三段论。也就是说，亚里斯多德创立了逻辑学，这个可以说是数学发展非常重要的工具，《几何原本》自然有很多论述都是跟逻辑学有关。著名的三段论的应用更是非常广泛。
　　从另一方面讲，亚里斯多德还非常关注自然界的研究，可以说在希腊哲学家里面，对科学最关注，发表最多见解的就是亚里斯多德。虽然亚里斯多德在科学方面的见解绝大多数都是错误的，不过由于名人效应，亚里斯多德是一个很好的带头人，他的思想促使了古希腊探索自然界的热情。按照罗素的幽默说法，推翻亚里斯多德在科学上的理论，是后来科学发展的一大动力。如果说毕达哥拉斯是数学史上的第一个数学家，亚里斯多德可以说是历史上第一个研究物理，自然界最深刻的大师。由于他的结论绝大多数都是错误的，所以我们不能把亚里斯多德当作物理学家或科学家，不过亚里斯多德开辟了科学思考的新境界，至少不迷信不愚昧，用逻辑思维和科学理性的态度对待自然界的现象。由于历史局限性，没有得到正确答案（比如牛顿第一定律），确实有点遗憾。
　　除了柏拉图和亚里斯多德，另外一个学派也应该提一下，那就是以芝诺为代表的爱利亚学派。芝诺最著名的就是他的芝诺悖论，揭示了数的离散跟描述物理世界连续性的矛盾。举个简单的例子，一个人起跑，速度从零到10米每秒，很显然这个人的速度包括1到10所有可能的数值，中间没有任何断点。这样的情况，你用数来表示就非常困难了。具体的数，1，2，3等等，就算加上小数，任何两个数之间总是有空挡，也就是说任何两个数之间都存在另一个数，如何用离散的数描述连续的物理量，芝诺应该是有历史记载第一个想到这个问题的人，后续极限的概念以及微积分的发明都可以说是从芝诺开始的。芝诺的故事我们有机会以后再多聊聊。
　　今天最后再聊聊古希腊人在研究数学时遇到的难题，这就得提一下古希腊的诡辩学派。
　　既然叫诡辩派，肯定是遇到似是而非的问题。最著名的就是直尺圆规作图三等分角，倍立方体以及化圆为方问题。古希腊人一定没有想到，这三个问题实际上是一个问题，也是一个无解的问题。最终的完美解决还要等到2000年后现代数学理论的诞生，特别是群论的出现。诡辩学派聪明的学者，耗尽了脑力，也没有解决这三大难题，不过在解决这三个题目过程中，得出了很多有用的数学结论，为《几何原本》的出现提供了一些素材。
　　好了，今天就聊到这里，谢谢大家的支持和鼓励！