古希腊数学的最高峰几何原本

　　数学最古老的内容就算几何了。非常奇怪的是，毕达哥拉斯把数抽象出来后，研究数学并没有从研究数去展开，而是开始从自然界的图形入手，建立了一个数学史上第一个严密的体系，也就是几何体系。
　　从后来的数学发展来看，数的研究非常深奥，也有很多工作去做，比如历史上最伟大的数学家高斯，最主要的成就就是研究素数（一类不可被其他整数整除的整数）。高斯得到的结果和研究的手法及内容如此的深奥，直到今天，也只有少数人能真正理解高斯的思想。一个不是数学本科以上的毕业生，基本都无法搞懂高斯的工作，可见其研究的深入和高难度。既然有那么多内容可以研究，为什么古希腊人没有花很多功夫去探索呢？或者说，古希腊学者在数的研究上为什么突破不多？
　　原因是多方面的，最大的原因应该是，研究数的性质脱离了当时人们的认知。也就是说，数刚刚被毕达哥拉斯抽象出来，怎么记录怎么演算还需要不断挖掘。面对一堆整数，古希腊学者应该是满头雾水，不知道研究数的哪方面性质，更没有好的研究工具。到了高斯那个年代就不同，前面有费马的铺垫工作，探索数的同余性可以得出非常深刻的数学知识，比如，数的对称性，数的模式等，这一些也只有高斯这样的天才才想得到。
　　研究数特别是研究整数的可除性（也就是数论），是数学非常大的一个分支。数论被高斯称为数学的皇冠，内容之丰富超过所有人的想象。很多现代数学家都是靠研究数论出名，这里面包括北大毕业的张益唐。有点不可思议的是，数论的研究非常深奥。素数的性质隐藏得如此之深，数学家花了很多脑力，用了很多外行人想象不到而且可能看都看不懂的工具和方法，才得到他们想得到的结果。比如张益唐试图解决困扰数学家几百年的孪生素数问题，就用到包括微积分，群论等一系列高深的数学工具。
　　所以说要求古希腊人去研究数确实不太可能了，数被抽象出来，但是研究它们的性质又太难，那怎么办？科学的进步是循序渐进的，数学当然不会例外，古希腊人找到一片可以突破的蓝海，那就是几何。
　　几何从开始的时候来说，是研究图形的性质。数学是怎么在图形性质的研究上得到突破性发展呢？最最关键的也许是数学逻辑链条的建立。
　　任何逻辑链条都有一个起点，数学的起点就是建立一系列的公理。数的公理还比较难建立，不过几何的公理被古希腊人建立起来了。展现在我们现代人面前的就是这部影响人类几千年，有统计说印刷量最大（甚至超过了圣经，也有的统计说圣经印刷量最大，几何原本第二）的数学巨作：《几何原本》。
　　《几何原本》的作者是欧几里得。很可惜，我们对欧几里得的生平几乎一无所知。他应该是柏拉图的学生，或者至少在柏拉图开办的学院中学习过。他活跃的年代应该是亚历山大时代，公元前300左右，也就距离现在有2000多年。原版的《几何原本》全部都不存在了，现在流传的版本都是通过后来的手抄本才得以存在。有一点口口相传的味道。
　　《几何原本》开篇是五大公理和五大公设。从这一点 起，古希腊人真正开始搭建完美的数学大厦。五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。
　　公理不需要证明，甚至无法证明，里面蕴含的数学内容也非常深刻。不过要认识到这一点，要到后来1900年左右的希尔伯特深邃的思维。数学从哪里出发，这样的出发点有没有问题只是到了近代，数学家才认识到其重要性。如果再深入思考一点，公理对任何科学都是必须的吗？不要以为这是个脑残的问题，这个问题其实是一个非常大的挑战。它甚至关系到科学发展的命运。特别是后来出现了很多悖论（比如集合论中的罗素悖论）。这些悖论的造成是公理的错，还是我们逻辑思维和方法的错？至今也没有很好的答案。
　　《几何原本》中的五大公设又是一个大坑。最出名的自然是第五大公设：平行公设。前面四大公设没什么特别，都是关于点，圆，线的作图：1.两点可以做一条直线，2.直线可以延长，3.任意点加一个长度可以画个圆，4.所有直角都是相等的。这四大公设一看也是显然成立的。
　　理论上，公设就是公理，都是开始数学研究所必须遵循的约定。那为什么欧几里得要把公设和公理分开呢？有各种解释，大家认可的解释是欧几里得想专门针对几何给出几条公理，这些就是公设了。这也不能完美解释公设与公理的区别，因为既然《几何原本》开始是研究几何的，你可以全部把公设说成公理啊（我们后人基本也是这样做的，所以后来的数学体系中公设就没有了），没必要区分。伟岗认为关键问题出在第五公设上，由于有第五公设的存在，欧几里得才把公设和公理分开，这样大家可以有机会质疑公设的合法性，但是公理就是肯定成立了。
　　平行公设说的是过直线外一点能够存在多少条直线的平行线问题。在《几何原本》中，欧几里得说存在且只存在一条平行线。
　　这个公设似乎不是一看就是成立的，后来的很多数学家耗尽了一生的心血，企图证明这个公设。全部被打脸。可以说，这条公设是古希腊人给后续数学家提供的一个灯塔，很多人为此走了非常大的弯路，白白浪费了一生的精力。
　　最终否定这个公设成了正确的选择。这个决定做出得非常艰难。罗巴切夫斯基算是一个比较成功的挑战者，不过他的理论在他生前也没有得到数学家的认可。真正理解这个公设含义的是伟大的数学家高斯，不过高斯生前并没有发表他这方面的想法。刺破这个大难题的应该是黎曼，他的微分几何真正意义上决定了第五公设的彻底破产。同时黎曼的伟大还在于，他开拓了一个崭新研究几何的领域。黎曼思维下的几何，作图已经不重要。那些相似，全等等等的几何特性，在黎曼几何下已经不再研究，黎曼更多地是用微积分的手段探索世界的几何性质，这一点古希腊学者是不可能想到的。今天就聊到这里，下一篇再来详细聊聊《几何原本》