MATLAB实例讲解求二元函数的极值

　　实例
　　程序 clc; clear all; close all; %计算二元函数的极值点 并进行判断 syms x y  %定义二元变量 x y z = (6*x-x^2)*(4*y-y^2);%定义二元变量函数 f1 = simplify(diff(z,x));%求z对x的一阶偏导 f2 = simplify(diff(z,y));%求z对y的一阶偏导 %求f1 = 0 f2 = 0 % [x1,y1] = solve(y*(2*x - 6)*(y - 4)==0,x*(2*y - 4)*(x - 6)==0,x,y); %求二元函数的驻点（x1,y1) [x1,y1] = solve(f1==0,f2==0,x,y); %求二元函数的驻点（x1,y1) x1 = double(x1); %将sym个数转化为double数值格式 y1 = double(y1);%将sym个数转化为double数值格式 n = length(x1);%求长度 %输出驻点个数 fprintf(＂二元函数z=f(x,y)的驻点个数为n =%dr ＂,n); %输出驻点坐标 for i = 1:n     fprintf(＂二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点为（x,y)=(%f,%f)r ＂,i,x1(i),y1(i)); end %幅值A,B,C为空矩阵 A = []; B = []; C = []; for i = 1:n     %sub函数用来替换求解函数的具体某点的值和double函数将sym个数转化为double数值格式     temp = double(subs(diff(z,x,2),[x y],[x1(i) y1(i)])); %计算A     temp1 = double(subs(diff(f1,y,1),[x y],[x1(i) y1(i)]));%计算B     temp2 = double(subs(diff(z,y,2),[x y],[x1(i) y1(i)]));%计算C     A = [A;temp];%存储A的计算结果     B = [B;temp1];%存储B的计算结果     C = [C;temp2];%存储C的计算结果 end %根据AC-B^2结果判断 若（x,y)计算值大于0，则存在极值点，反之不存在若A>0，则为极小值点，A<0,则为极大值点 R = A.*C-B.^2; %判断 for i = 1:n     if R(i)>0         if A(i)>0             %用subs函数计算极值点处的函数值，然后用double函数将sym格式化成数值格式             ymax = double(subs(z,[x y],[x1(i) y1(i)]));             fprintf(＂二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)为极小值点，极小值为：%fr ＂,i,x1(i),y1(i),ymax);         else             ymin = double(subs(z,[x y],[x1(i) y1(i)]));             fprintf(＂二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)为极大值点，极大值为：%fr ＂,i,x1(i),y1(i),ymin);         end     else         fprintf(＂二元函数z=f(x,y)的第%d个驻点（x,y)=(%f,%f)不是极值点r ＂,i,x1(i),y1(i));     end end
　　结果 二元函数z=f(x,y)的驻点个数为n =5 二元函数z=f(x,y)的第1个驻点为（x,y)=(0.000000,0.000000) 二元函数z=f(x,y)的第2个驻点为（x,y)=(0.000000,4.000000) 二元函数z=f(x,y)的第3个驻点为（x,y)=(6.000000,0.000000) 二元函数z=f(x,y)的第4个驻点为（x,y)=(3.000000,2.000000) 二元函数z=f(x,y)的第5个驻点为（x,y)=(6.000000,4.000000) 二元函数z=f(x,y)的第1个驻点（x,y)=(0.000000,0.000000)不是极值点 二元函数z=f(x,y)的第2个驻点（x,y)=(0.000000,4.000000)不是极值点 二元函数z=f(x,y)的第3个驻点（x,y)=(6.000000,0.000000)不是极值点 二元函数z=f(x,y)的第4个驻点（x,y)=(3.000000,2.000000)为极大值点，极大值为：36.000000 二元函数z=f(x,y)的第5个驻点（x,y)=(6.000000,4.000000)不是极值点
　　1、diff函数
　　差分和近似导数语法 Y = diff(X) Y = diff(X,n) Y = diff(X,n,dim) 说明 示例 Y = diff(X) 计算沿大小不等于 1 的第一个数组维度的 X 相邻元素之间的差分： 如果 X 是长度为 m 的向量，则 Y = diff(X) 返回长度为 m-1 的向量。Y 的元素是 X 相邻元素之间的差分。 Y = [X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(m)-X(m-1)] 如果 X 是不为空的非向量 p×m 矩阵，则 Y = diff(X) 返回大小为 (p-1)×m 的矩阵，其元素是 X 的行之间的差分。 Y = [X(2,:)-X(1,:); X(3,:)-X(2,:); ... X(p,:)-X(p-1,:)]
　　如果 X 是 0×0 的空矩阵，则 Y = diff(X) 返回 0×0 的空矩阵。X = [1 1 2 3 5 8 13 21]; Y = diff(X)Y = 1×7       0     1     1     2     3     5     8
　　请注意，Y 的元素比 X 少一个。
　　使用 diff 函数和语法 Y = diff(f)/h 求偏导数近似值，其中 f 是函数值在某些域 X 上计算的向量，h是一个相应的步长大小。
　　例如，sin(x) 相对于 x 的第一个导数为 cos(x)，相对于 x 的第二个导数值为 -sin(x)。可以使用 diff 求这些导数的近似值。  h = 0.001;       % step size X = -pi:h:pi;    % domain f = sin(X);      % range Y = diff(f)/h;   % first derivative Z = diff(Y)/h;   % second derivative plot(X(:,1:length(Y)),Y,＂r＂,X,f,＂b＂, X(:,1:length(Z)),Z,＂k＂)
　　在此绘图中，蓝色线条对应原始函数 sin。红色线条对应计算出的第一个导数 cos，黑色线条对应计算出的第二个导数 -sin。  syms x;  diff(sin(x^2)) ans = 2*x*cos(x^2)syms x t;  diff(sin(x*t^2), t) ans = 2*t*x*cos(t^2*x)
　　给定函数f(x)=cosx/(x 3+7x+2)的一阶导数，并将每个点上的值与原函数的值通过matlab函数绘制出来.  一阶导数 syms x;  f=cos(x)/(x^3+7*x+2);  f1d=diff(f,x)  pretty(f1d)
　　2、solve函数 简单来说，solve函数可以进行以下情况的求解： （1）等式：单/多变量+线性/非线性 ；（2）不等式 语法 S = solve(eqn,var)example S = solve(eqn,var,Name,Value)example Y = solve(eqns,vars) Y = solve(eqns,vars,Name,Value)example [y1,...,yN] = solve(eqns,vars)example [y1,...,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value) [y1,...,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,＂ReturnConditions＂,true)example Description 一些函数 vpa 设置数值的精度（有效数字位数、保留的小数点位数） subs 符号替换（用数字来替换符号变量） ezplot 简单地画出函数的图形/曲线（显函数fun(x)、隐函数fun2(x,y)=0） isAlways 一个判断函数（返回logical 1，表示true） pretty 漂亮地打印符号表达式（看起来是有分子分母的格式） 举例 1.%% 求解单变量方程 %-----例子1------ syms x eqn=sin(x)==1; solve(eqn,x) %-----例子2------ syms x eqn=sin(x)==1; [solx,params,conds]=solve(eqn,x,＂ReturnConditions＂,true) %-----例子3--------------- %如果返回empty，则表明解不存在。如果返回empty+warning，则解可能存在，但是solve找不到 syms x solve(3*x+2,3*x+1,x)2.%% 求解多变量方程 %---例1----------------- %为了避免求解方程时对符号参数产生混乱，需要指明一个等式中需要求解的变量。 %如果不指明的话，solve函数就会通过symvar选择一个变量（认为该变量是要求解的变量）clc,clear syms a b c x sola=solve(a*x^2+b*x+c==0,a) %待求解的变量是a sol=solve(a*x^2+b*x+c==0) %待求解的变量是x
　　3、subs函数  matlab中subs()是符号计算函数，表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量，常用调用方式为： subs(S,OLD,NEW) 表示将符号表达式S中的符号变量OLD替换为新的值NEW。 下面具体演示4种不同形式的OLD和NEW的调用效果： 首先在matlab命令窗口输入如下代码，定义三个符号变量和一个符号表达式S 1、将变量x替换为数值1：subs(S,x,1) 2、将变量x替换为变量z：subs(S,x,z) 3、同时将变量x和y分别替换为1和z：subs(S,{x,y},{1,z}) 4、将单变量替换为数组：subs(S,x,[1 2;3 4]) 首先是调用格式： R = subs(S) R = subs(S, new) R = subs(S, old, new) 其中S为符号表达式，默认的是变量x！
　　下面看几个例子，相信大家就是使用了！
　　例1： >> syms x; >> f=x^2; >> subs(f,2)ans =  4
　　例2：将表达式x^2+y^2中x取值为2 >> syms x y; >> f=x^2+y^2; >> subs(f,x,2)ans =  y^2 + 4
　　例3： >> syms x y; >> f=x^2+y^2; >> subs(f,findsym(f),2)ans =  y^2 + 4
　　其中findsym(f)为查找f中所有的符号变量
　　例4：同时对两个或多个变量取值求解 >> syms a b; subs(cos(a) + sin(b), {a, b}, {sym(＂alpha＂), 2})ans = sin(2) + cos(alpha)
　　例5：带入数据的值也可以是数组形式 >> syms t a; >> subs(exp(a*t), ＂a＂, -magic(2))ans =  [ 1/exp(t), 1/exp(3*t)] [ 1/exp(4*t), 1/exp(2*t)]
　　4、符号表达式化简函数  语法：命令（符号表达式） 1. pretty(f)将符号表达式f化简成语高等代数课本上显示符号表示类似； 2. collect(f)合并符号表达式的同类项; 3. hornet(f)将一般的符号表达式转换成嵌套形式的符号表达式; 4. factor(f)对符号表达式进行因式分解; 5. expand(f)对表达式进行展开; 6. simplify(f)对符号表达式进行化简，利用各种类型的恒等式，包括求和，求积分，三角函数以及Bessel函数等简化符号表达式. 7. simple(f)对符号表达式尝试各种不同的算法进行化简，以显示长度最短的符号表达式简化形式; 8. [r,how]=simple(f)返回的r为符号表达式进行化简后的形式，how为采用的简化方法
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　　作 者 | 郭志龙
　　编 辑 | 郭志龙
　　校 对 | 郭志龙