张益唐证明了什么？广义黎曼猜想朗道西格尔零点与张益唐的工作

　　加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校教授张益唐。 （视觉中国/图）
　　2022年11月5日，加利福尼亚大学圣塔芭芭拉分校教授、华人数学家张益唐在预印本网站（arXiv）上发布了一篇题为《离散平均估计与朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的，共计110页的论文。这篇论文正是上个月张益唐在一次在线座谈活动中提到的，证明了朗道-西格尔零点猜想的工作。
　　如果这篇论文最终被验证是正确的，那么这将是近年来关于黎曼猜想相关问题的最大突破。虽然验证这项工作的正确性还需要比较长的一段时间，但是在这里，我们可以先简单地介绍一下朗道-西格尔零点猜想和黎曼猜想这一希尔伯特二十三问题和千禧年大奖难题双料难题的关系，同时也简单介绍一下张益唐所做的工作。
　　黎曼猜想与广义黎曼猜想
　　自人类文明诞生之初起，出于统计物品数量和丈量土地的需要，对数字和图形的计算便从未停止过。早期的数学就发端于这些日常活动。而对数字和图形的研究，则逐渐发展成为了数论和几何，这两个最为古老，也最为重要的数学分支。以至于在一百多年前，恩格斯都会在《自然辩证法》中写道：＂数学是研究数量关系和空间形式的学科。＂时至今日，即使数学相较于恩格斯写下那段话的时候，已经有了长足的发展，也出现了许多全新的数学分支。但是数论，这一专门研究整数的数学分支，仍然是最为纯粹，也最为重要的数学分支之一。＂数学王子＂高斯就曾经说过：＂数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。＂
　　而在数论的研究对象，整数，或者说自然数当中，有一类极为特殊的数，素数。也即像2、3、5、7、11……这样，仅能被1和它自身整除的数。因为素数本身的独特性，很多数论当中极为困难的猜想都和素数有关。例如哥德巴赫猜想，孪生素数猜想等等等等。
　　黎曼猜想，就是一个关于素数整体规律的猜想。同时，它也是数论当中最为困难，也最为重要的未解难题之一。
　　这一猜想由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年提出。那一年黎曼当选了柏林科学院通讯院士。作为对这一荣誉的回应，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文，日后被称为黎曼猜想的问题，就出自这篇论文。
　　在这篇论文中，黎曼定义了一个日后被称作＂黎曼ζ（读作泽塔）函数＂ 的复值函数， 并用这个函数去研究素数的规律：
　　而在那篇论文中，黎曼还提到了一个他不知道怎么解决的问题：他猜测，黎曼ζ函数的所有非平凡零点，都在实部为1/2的这条直线上。并且这些非平凡的零点和素数分布的详细规律密切相关。这里之所以要强调非平凡零点，是因为诸如-2，-4，-6等等等等，所有的负偶数，都是黎曼ζ函数的零点，而这些零点是显而易见的，因此被称作平凡零点。除此之外的零点才是有研究意义的，它们则被称作是非平凡零点。
　　这就是此后困扰数学家们一百六十多年的黎曼猜想。
　　很容易就会发现，虽然都是数论中与素数有关的猜想，但是黎曼猜想在表述上和哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等有着很大的不同。相较于＂任意大于2的偶数都可以写作两个素数的和＂＂有无穷多对相邻的素数对＂这样简单直白的问题描述，黎曼猜想在表述上显得复杂得多。先是定义了一个很复杂的函数，然后对这个函数的零点提出了一个不那么容易理解的结论。而且不仅是表述上的复杂，就连想要找到一个符合条件的零点都不是一件容易的事情。
　　造成这种区别的原因在于，不同于哥德巴赫猜想或者孪生素数猜想这样，＂自然而然＂地来自素数本身的猜想，黎曼猜想要复杂得多。它提问的对象不是对素数本身，而是研究素数的＂高级工具＂：黎曼ζ函数。这种差别，不仅导致了黎曼猜想本身表述上的复杂，还使得黎曼猜想相较于其他的很多数论中的猜想，显得更为重要。
　　一方面，证明了黎曼猜想，就意味着数学家们对素数的分布规律有了更为深刻的认识。另外一方面，黎曼ζ函数本身就是一个极为强大的数学工具。证明了黎曼猜想，则意味着对于这一强有力的工具更好地理解，因此也就能够利用它去解决更多的数学问题。实际上，据不完全统计，现在已经有上千条数学命题是以黎曼猜想及其推广形式的正确性为前提得出的。也就是说，如果证明了黎曼猜想及其推广形式，也就同时证明了上千条数学定理。
　　正因为黎曼猜想如此的重要，一百六十余年来，有许许多多的数学家一直在尝试着去证明黎曼猜想。相比起其他的数学猜想（conjecture），黎曼猜想甚至有一个专属的称谓，叫做＂黎曼假设＂（Riemann hypothesis）。
　　但是遗憾的是，过去了一百六十余年，虽然数学家们在黎曼猜想上取得了一系列的＂阶段性成果＂。比如证明了所有黎曼ζ函数的非平凡零点都＂紧贴＂在x=1/2这条直线不远的地方；而且证明了超过40%的非平凡零点就在这条直线上。借助计算机，数学家们更是验证了黎曼ζ函数的超过十万亿个非平凡零点，它们全都像黎曼猜想所预测的那样，无一例外地落在x=1/2这条直线上。但是这些＂阶段性成果＂，距离真正的证明黎曼猜想，还是遥遥无期。甚至在现在的数学界，都没有数学家能够提出一个让人认可的，可以对证明黎曼猜想行之有效的思路或者是策略。
　　而这种思路或者策略的提出，对于大的数学猜想的证明，在很多时候是至关重要的。比如费马大定理的证明，最早就是在1980年代，由德国数学家格哈德·弗雷提出的证明思路。他指出，如果费马大定理不成立，那么借由椭圆曲线和模形式的相关理论，就会得到谷山-志村猜想的一个反例。也就是说，如果能够证明谷山-志村猜想，也就证明了费马大定理。最终，在格哈德·弗雷提出这一思路的十几年之后，安德鲁·怀尔斯在1995年证明了谷山-志村猜想的一种特殊情况，并由此证明了费马大定理。
　　对于一个没有明确思路和方法的数学问题，除了直面问题之外，数学家们在更多的时候会采取各种方法，去尝试＂迂回＂地解决问题。具体到黎曼猜想上，有的数学家会尝试先去解决一些和原始的黎曼猜想具有相似性的＂山寨版＂的黎曼猜想。希望能够借助这种＂他山之石可以攻玉＂的做法，从这些＂山寨版＂的猜想中获得解决黎曼猜想的方法和思路。这些尝试本身，也产生了许多非常重要的工作。例如比利时数学家皮埃尔·德利涅在1978年获得菲尔兹奖的原因，很大一部分就是因为他对有限域上的黎曼猜想所做的突破性的工作。
　　除了这种先解决＂山寨版＂的做法之外，还有的数学家会尝试放宽黎曼猜想的条件，在更加一般的情况下考虑问题。这看起来或许有些难以理解，本身黎曼猜想就已经如此困难了，再放宽条件的话，岂不是更加地难上加难？
　　实际上，这种处理问题的方式，在数学研究中并不少见。这是因为有的时候，要解决的问题太过于特殊，以至于掩盖了一些本质的属性。在这种时候，退后一步，从更一般的情况来看问题，反而有可能更加容易地发现问题的实质。华罗庚就曾经说过：＂善于‘退’，足够的‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。＂
　　广义黎曼猜想，就是在这种思路下提出的一个更加一般化的黎曼猜想。在这里，我们考虑的不再是黎曼ζ函数的非平凡零点，而是取这样的一个L-函数的非平凡零点：
　　和＂正版＂的黎曼猜想一样，广义黎曼猜想同样猜测，L-函数的所有非平凡零点，都在实部为1/2的这条直线上。
　　这里，χ(读作开)，是一个关于整数的函数。可以发现，当所有的χ都等于1的时候，L函数就变成了最开始的黎曼ζ函数。因此，广义黎曼猜想自然地就包含了＂正版＂的黎曼猜想。也就是说，只要证明了广义黎曼猜想，也就证明了黎曼猜想。
　　不仅如此，当χ这个函数选取为一些特殊的形式时，L-函数可以用来研究一些黎曼ζ函数无法研究的问题。也就是说，作为数学工具，L-函数比黎曼ζ函数要更加地＂有用＂。从这个角度来说，广义黎曼猜想本身也有着很大的研究价值。
　　广义黎曼猜想与朗道-西格尔零点猜想
　　虽然L-函数在形式上比黎曼ζ函数复杂得多，但是在很多地方，L-函数却呈现出了和黎曼ζ函数相似的性质。而且，作为广义黎曼猜想的研究对象，数学家们也希望能够复刻那些在＂正版＂黎曼猜想上已经取得的＂阶段性成果＂。
　　正如前文所说，对于黎曼猜想，一个很早就得到证明的结论是：所有黎曼ζ函数的非平凡零点都＂紧贴＂在x=1/2这条直线不远的地方。因此，数学家们自然希望，能够对L-函数也得到类似的结果。而对于L-函数来说，一个很＂容易＂证明的结论就是，所有的非平凡零点，都在实部大于零小于一的这一个无限长的矩形区域内。但是，当数学家们想要进一步地收窄零点的范围，从而证明L-函数的非平凡零点同样＂紧贴＂在x=1/2这条直线不远的地方的时候，却出现了意想不到的情况。
　　因为L-函数本身的复杂性，就使得收窄黎曼ζ函数零点范围的这个想法，在L-函数这里出现了一个＂意外＂的情况：在距离x=1非常近的地方，可能会有一个L-函数的非平凡零点。
　　这里说可能，是因为并不是说真的发现了这样的一个零点，而是说以现有的研究方法，没有办法证明这样的＂例外＂零点不存在。反过来讲，如果真的找到了这个＂例外＂的零点，那就可以直接宣布广义黎曼猜想不成立了。
　　这个可能存在的＂例外＂零点，就被称为朗道-西格尔零点。而所谓的＂朗道-西格尔零点猜想＂，就是说这个可能存在的＂例外＂零点，不会出现在非常靠近x=1的地方。
　　也就是说，提出朗道-西格尔零点猜想的动机，仍然是想要＂收窄＂非平凡零点的范围。如果朗道-西格尔零点猜想成立的话，那么在x=1的附近就不会存在L-函数的非平凡零点，这也就意味着，L-函数的非平凡零点的范围，从实部大于零小于一的矩形区域，向内缩窄了一些。从而广义黎曼猜想就更有可能是正确的。
　　相反的，如果朗道-西格尔零点猜想被证明不成立，也就是说在x=1的附近确实存着在这样的＂例外＂零点，那么就如前面所说的，可以直接宣布广义黎曼猜想不成立了。
　　而对于＂正版的＂黎曼猜想来说，因为非平凡零点＂紧贴＂在x=1/2附近这一结论很早就已经证明了，所以并不存在＂例外＂零点的情况。也就是说，朗道-西格尔零点猜想是只在广义黎曼猜想里才有意义的问题。
　　同时，正是因为朗道-西格尔零点猜想对广义黎曼猜想具有＂一票否决权＂的强大威力，它也成为了研究广义黎曼猜想的过程中绕不开的一个重要障碍和目标。
　　顺带一提，这个猜想之所以被称为朗道-西格尔零点猜想，是因为埃德蒙德·朗道和卡尔·路德维希·西格尔两位德国数学家在这个具体问题中做了许多重要的工作。而最初的＂收窄＂的＂正版＂黎曼猜想的非平凡零点区域的工作，正是由埃德蒙德·朗道和丹麦数学家哈拉尔德·玻尔共同完成的。另外，哈拉尔德·玻尔的哥哥，则是提出了原子的玻尔模型，并获得了1922年诺贝尔物理奖的丹麦物理学家尼尔斯·玻尔。
　　张益唐的突破
　　张益唐近期发布在arXiv上的那篇110页的论文，就是对朗道-西格尔零点距离x=1的位置的一个全新的估计。
　　在原始的朗道-西格尔零点猜想中，要求可能存在的＂例外＂零点到x=1的距离要大于C1/logD，而张益唐在论文中给出的结果则是，可能存在的＂例外＂零点到x=1的距离大于 C2/(logD)2024。
　　可以看到，张益唐得到的结果，和朗道-西格尔零点猜想说的其实是差不多同一件事。也就是这个可能存在的＂例外＂零点，到x=1的距离不会太近。也就是说，这两者都是在做＂收窄＂L-函数的零点的范围的工作。只不过张益唐给出的结果当中，分母多了一个很大的次数。因为当一个分数的分母越大的时候，分数值是越小的，所以张益唐的结果相较起原始的朗道-西格尔零点猜想所想要的结果，是要相对弱一些的。
　　既然是弱一些的结果，那么为什么张益唐会在介绍这项工作的时候说＂虽然是一个弱一点的形式，但本质上已经是解决了朗道-西格尔零点问题＂呢？
　　这主要是出于两方面的考量。一方面，虽然张益唐这次得到的结果比朗道-西格尔零点猜想所要求的要弱一些，但是这个结果相较于之前的结果，已经是极大的跨越了。而且张益唐的风格一直是那种大开大合，直取敌首的风格。他的工作，更多的是提供一种做法上的可行性，为了尽快地得到结果，在细节的处理上采取了一种粗放的做法，没有做到极致。就像之前关于孪生素数猜想的工作一样，为了处理过程中的方便，张益唐选择了一个比较大的间距：七千万，这也就使得那篇文章的结果被叫做＂七千万定理＂。而当张益唐展示了这种做法的可行性之后，就有很多的数学家开始沿着张益唐的这个做法，寻找可以改进的地方，最终将七千万这样一个巨大的数字，缩小到了246。虽然这个数字距离孪生素数猜想所要求的间距为2仍然相去甚远，但是仍然是巨大的进步。
　　而这次也一样，论文中的2024，以及另外一个指数2022，很明显不是出于数学上的考虑，而是因为今年恰好是2022年才选取的。以至于网上有一个段子说：＂为了改进张益唐的指数，数学家们发明了时间机器。＂也正因为此，有理由相信，如果张益唐这次的论文最终被验证是正确的，这个结果也会像上一次的＂七千万定理＂一样，得到大幅度的改进。而朗道-西格尔零点猜想更多的是一个＂定性＂的猜想。它想要描述的是L-函数的非平凡零点＂紧贴＂在x=1/2这条直线附近的这样一个性质。从这个角度来说，虽然张益唐这次的工作没有完全证明朗道-西格尔零点猜想，但是在描述这种＂紧贴＂的情况上，二者只是程度上的差异，而不是本质上的区别。
　　另外一方面，在本文一开始就提到了，黎曼猜想及其相关内容，除了本身就是极为重要的数学问题之外，更为重要的是，它们还是研究其他数学问题的强有力的工具。在这一点上，朗道-西格尔零点，作为L-函数的一部分，本身也是一个很强的数学工具。有很多数学问题，比如＂方便数猜想＂等，都会因为朗道-西格尔零点猜想的证明而得到证明。
　　从作为数学工具的角度来说，张益唐这次的结果，虽然没有像完整版的朗道-西格尔猜想那么强而有力，但是对很多数学问题已经是足够用的了。打个比方，如果说需要解决的数学问题是一个巨大的土堆，那么完整版的朗道-西格尔零点猜想就好比是一台挖掘机，有了它，只需要很短的时间就可以铲平这座土堆。而张益唐的结果就好比是一把铁锹，用它来铲平整座土堆虽然比较慢，也比较费力，但是在没有找到挖掘机的时候也是勉强够用的。
　　这也就是为什么张益唐会说，在他的突破之后，＂一百个猜想都变成定理＂。
　　说了这么多，那么张益唐这次的这篇论文，如果最终被验证是正确的，它会是什么级别的工作，又有什么样的意义呢？
　　要回答这个问题，我们需要搞清楚，张益唐在这篇论文中究竟做了什么。一般来说，大的数学猜想的突破与解决，基本上都会依赖于新的数学理论的发展，或者新的数学工具的完善。比如怀尔斯证明费马大定理的工作，就依赖于他对椭圆曲线和模形式理论的发展和完善。丘成桐证明卡拉比猜想的工作，则依赖于他将偏微分方程的相关理论用于对流形的研究，从而标志着几何分析这一数学分支的诞生。而佩雷尔曼证明庞加莱猜想的工作，则主要依赖于他对里奇流这一数学工具所做的突破。
　　但是张益唐的做法，却与此不尽相同。
　　世人都说曾国藩书生带兵，行军打仗奉行六字诀——结硬寨、打呆仗。而张益唐在孪生素数猜想和朗道-西格尔零点猜想这两个大猜想中所做的工作，同样可以用这六个字来概括。
　　在张益唐的这两篇加起来快两百页的论文中，几乎找不到任何＂高端＂的数学工具，也没有那种看着像是＂神之一手＂的奇思妙想。这也正是解析数论这一数学分支的特点。它只需要一些很简单的数学工具和知识。甚至大部分的内容都不超过数学专业低年级本科生的知识范围。与之相对的，它要求使用者具有极其扎实的数学基本功与极强的耐心和毅力。只有这样，才能不厌其烦地去进行复杂繁琐的计算，尝试各种可能的函数和数列，直到最终找到那个可以解决问题的钥匙。用张益唐自己的话来说，这个过程＂可以说就像大海捞针，针我没捞到，但是把海底的地貌搞清楚了。发现我不需要这根针也能达到，我感觉没有什么东西是不可能的＂。
　　因此，可以说，张益唐的工作，是坚持与信念的结果。正是这份纯粹的对数学的坚持和热爱，才使得张益唐在这个年纪，做出了如此重要的工作。正如张益唐经常引用的那两句杜甫的诗所说的：＂庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关。＂
　　左力