反函数的定义是什么

　　学好数学要依靠理解，ldquo；数学理解rdquo；应受到数学教育界的普遍关注。ldquo；反函数rdquo；是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么？以下是品学网小编为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读！反函数的概念
　　所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。函数的定义
　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，yf（x）。则yf（x）的反函数为yf1（x）。
　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）
　　【反函数的性质】
　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称；
　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数（但一种特殊的偶函数存在反函数，例f（x）a（x0）它的反函数是f（x）0（xa）这是一种极特殊的函数），奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
　　（5）一切隐函数具有反函数；
　　（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
　　（8）反函数是相互的
　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）
　　（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）
　　例：y2x1的反函数是y0。5x0。5
　　y2x的反函数是ylog2x
　　例题：求函数3x2的反函数
　　解：y3x2的定义域为R，值域为R。
　　由y3x2解得
　　x13（y2）
　　将x，y互换，则所求y3x2的反函数是
　　y13（x2）反函数的基本性质
　　一般地，设函数yf（x）（xisin；A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x（y）。若对于y在C中的任何一个值，通过x（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x（y）（yisin；C）叫做函数yf（x）（xisin；A）的反函数，记作xf1（y）。反函数yf1（x）的定义域、值域分别是函数yf（x）的值域、定义域。
　　说明：在函数xf1（y）中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数xf1（y）中的字母x，y，把它改写成yf1（x），今后凡无特别说明，函数yf（x）的反函数都采用这种经过改写的形式。
　　反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf（x）来说，不一定有反函数，若函数yf（x）有反函数yf1（x），那么函数yf1（x）的反函数就是yf（x），这就是说，函数yf（x）与yf1（x）互为反函数。
　　从映射的定义可知，函数yf（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数yf1（x）是集合C到集合A的映射，因此，函数yf（x）的定义域正好是它的反函数yf1（x）的值域；函数yf（x）的值域正好是它的反函数yf1（x）的定义域（如下表）：
　　函数yf（x）
　　反函数yf1（x）
　　定义域
　　AC
　　值域
　　CA
　　上述定义用ldquo；逆rdquo；映射概念可叙述为：
　　若确定函数yf（x）的映射f是函数的定义域到值域ldquo；上rdquo；的ldquo；一一映射rdquo；，那么由f的ldquo；逆rdquo；映射f1所确定的函数xf1（x）就叫做函数yf（x）的反函数。反函数xf1（x）的定义域、值域分别是函数yf（x）的值域、定义域。
　　开始的两个例子：svt记为f（t）vt，则它的反函数就可以写为f1（t）tv，同样y2x6记为f（x）2x6，则它的反函数为：f1（x）x23。
　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f（x）X1X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为yaxbcxd（ac不等于bd）ybdxcxa反函数的应用介绍
　　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
　　1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；
　　（我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）
　　2、反解x，也就是用y来表示x；
　　3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x；
　　4、写出原函数及其值域。
　　实例：y2x1（值域：任意实数）x（y1）2y（x1）2（x取任意实数）
　　特别地，形如kxkyb的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
　　反函数求解三步骤：1、换：X、Y换位2、解：解出Y3、标：标出定义域反函数的使用符号
　　符号
　　arc
　　用法
　　例：三角函数中
　　正弦函数和它的反函数：f（x）sinxgt；xarcsinx
　　余弦函数和它的反函数：f（x）cosxgt；xarccosx
　　正切函数和它的反函数：f（x）tanxgt；xarctanx
　　余切函数和它的反函数：f（x）cotxgt；xarccotx
　　注解
　　反正弦的意义，则符合条件sinxa（1le；ale；1）的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即xarcsina。注：1、ldquo；arcsinardquo；表示中的一个角，其中1le；ale；1。2、sin（arcsina）a。（二）、反余弦的意义xisin；〔0，pi；〕，则符合条件cosxa（1le；ale；1）的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即xarccosa。注：1、ldquo；arccosardquo；表示〔0，pi；〕中的一个角，其中1le；ale；1。2、cos（arccosa）a。（三）、反正切的意义，则符合条件tanxa的角x叫做a的反正切，记作arctana，即xarctana。注：1、ldquo；arctanardquo；表示中的一个角。2、tan（arctana）a。（四）、用反三角符号表示〔0，2pi；〕中角的一般规律反函数的相关说明
　　在函数xf（1）（y）中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数xf（1）（y）中的字母x，y，把它改写成yf（1）（x），今后凡无特别说明，函数yf（x）的反函数都采用这种经过改写的形式。
　　反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf（x）来说，不一定有反函数，若函数yf（x）有反函数yf（1）（x），那么函数yfrsquo；（x）的反函数就是yf（1）（x），这就是说，函数yf（x）与yf（1）（x）互为反函数。
　　互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。
　　从映射的定义可知，函数yf（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数yf（1）（x）是集合C到集合A的映射，因此，函数yf（x）的定义域正好是它的反函数yf（1）（x）的值域；函数yf（x）的值域正好是它的反函数yf（1）（x）的定义域（如下表）：
　　函数：yf（x）；
　　反函数：yf（1）（x）；
　　定义域：AC；
　　值域：CA；
　　上述定义用ldquo；逆rdquo；映射概念可叙述为：
　　若确定函数yf（x）的映射f是函数的定义域到值域ldquo；上rdquo；的ldquo；一一映射rdquo；，那么由f的ldquo；逆rdquo；映射f1所确定的函数yf（1）（x）就叫做函数yf（x）的反函数。反函数yflsquo；（x）的定义域、值域分别是函数yf（x）的值域、定义域。开始的两个例子：svt记为f（t）vt，则它的反函数就可以写为f（1）（s）sv，同样y2x6记为f（x）2x6，则它的反函数为：f（1）（x）x23。
　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f（x）x1x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为yaxbcxd（ac不等于bd）ybdxcxa