中日高中数学教科书中直线与方程内容的比较

　　直线与方程是数形结合思想的应用，是一种重要的数学思想方法。我国著名的数学家华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合思想正好可以降低思维难度，提供简捷的解题途径。因此，就教科书编写而言，如何将几何与代数很好地融合在一起，如何处理数形结合的系统性与学生的认知水平之间的关系，是普遍受关注的话题。对此，本文就日本东京书籍株式会社2009年出版的日本教科书《新数学》〔1〕（以下简称《新数学》）中的第二章中的第二节为直线与方程和我国人民教育出版社2009年出版的《普通高中课程标准实验教科书数学》〔2〕（以下简称《数学》）中的一些内容进行比较，希望对我国高中数学教科书直线与方程部分的编写与学习提供借鉴。
　　【关键词】数学；直线；方程
　　一、内容结构上，教科书应更注重基础
　　《数学》在初中的平面直角坐标系和方程的相关知识的基础上，直接引入直线与方程和圆的方程的知识。分节讨论直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离和圆的方程。教科书中本部分主要内容是如何用代数方法研究直线。本部分内容首先探求确定直线位置的几何要素，然后给出不同确定直线方程和圆的方程的方法。再是用代数方法研究有关的几何问题：判定两直线的位置关系、圆与直线的位置关系、两点间的距离等。在《新数学》中，关于坐标与直线的方程式，以及与圆的方程的关系的介绍设置在一章中，首先引入直线和平面上的点的坐标、点间的距离、线段的内分、内分点的坐标四个方面的相关内容，然后再深入由斜率和直线上的点的坐标求直线方程式，学习直线之间的位置关系，最后再进一步引入圆的表达式及求解方法，研究圆与直线之间的位置关系。在内容布置上，这一章从一维直线入手，再深入到二维平面，引入一系列相关的概念，一步步地深入，使得引出直线与方程和圆的方程的知识相对而言更容易被学生接受，使学生能进一步理解直线与方程之间本质的联系。
　　相比之下，《新数学》中的直线与方程内容基于初中所学的直线的一般式对不同类型的直线的方程的题目进行求解，并没有给出《数学》中涉及的点斜式、斜截式、两点式的一般形式。这样的安排更加注重基础知识的掌握，更容易被学生所理解。这在一定程度上降低了教科书的难度。
　　二、内容结构上，教科书应更注重基础
　　通过前面知识结构比较，我们发现两本书在知识点的涉及上没有较大的区别，但在知识点的引入先后顺序上有一定的差异，并且在知识点的介绍方式上也各有特点。
　　我们通过对其中两条直线交点的求法来展现两本书的异同点。《数学》：在第三节中由思考题引出如何求两条直线的交点这个问题。通过建立几何与代数之间的联系，用代数方法求出两条直线的交点，写出两条直线的方程A1xB1yC10和A2xB2yC20，联立求解，若方程有唯一解，则两直线相交，此解就是交点；若方程无解，则两直线无公共点，此时两条直线平行。《新数学》：给出命题平面上两直线不平行即相交，联立方程求解，此解即为两直线的交点，随后通过一个具体例题进行演示。
　　《数学》中将直线与方程式的相关内容分阶段提出，与学生在不同年龄的认知水平相适应，有利于学生更好地吸收知识，而且内容起到前后呼应的作用。而《新数学》则在第五章中集中提出，且内容比较简单。与《数学》相比，《新数学》中的各个定理缺乏证明过程，欠缺严谨性。《数学》中对各个结论进行了一般情况下的推广，有利于学生课后的思考以及思维的拓展。在这几点上，值得《新数学》借鉴。
　　三、例题设置上，教科书应更注重归纳思想
　　《数学》在直线的方程的例题上主要以计算为主，通过6个例题来巩固四种形式的直线方程式的求解；《新数学》则通过3个计算的例题，在初中已学的一般式基础上分别推导斜截式、点斜式、两点式的方程，给定以上的形式计算斜率和截距。《新数学》对例题求解的要求则是从斜截式出来推导其他形式的直线方程，而《数学》对例题的解决则是基于四种形式的直线方程的公式。
　　《数学》在直线的关系的6个例题由4个计算和2个应用题组成，通过计算交点和直线的位置关系来巩固这部分知识；《新数学》则更加有针对性地设计3个例子，分别为由两直线求交点坐标、求过一点与某直线平行以及过一点与某直线垂直的直线方程。《新数学》设置的例题更加基础，更加有针对性，使学生在初次接触新知识点时更易接受。
　　《新数学》在例题设置上将归纳思想体现得淋漓尽致，在直线的方程式、直线间的关系上均由例子引出结论，再由例题巩固结论。例如，在引入直线间的关系的时候，教科书利用具体直线的图像让学生观察分别得到平行与垂直时，直线的斜率之间的关系。再由归纳的方法过渡到一般直线的位置关系的判定原理。《数学》则更加注重演绎的方式，在直线的方程这一章均由演绎得到结论，再由习题对结论进行应用。
　　【参考文献】
　　〔1〕饭高茂，松本幸夫。新数学II〔M〕。日本东京：东京书籍株式会社，2009。
　　〔2〕中学数学课程教材研究开发中心。数学（必修2）。北京：人民教育出版社，2009。
　　〔3〕朱哲。日本教科书中的勾股定理〔J〕。数学教学，2008（12）：3740。
　　〔4〕田月思，王丽燕，骆旭兰，朱哲。中日数学教科书中平方根内容比较〔J〕。中学数学杂志（初中），2009（8）：3436。