渗透模型思想提高数学素养

　　一、加强实践操作，促进数学建模
　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。苏霍姆林斯基曾说：儿童的智慧在他的手指尖上。数学是做出来的，学生只有亲历知识的发现过程，才能真正理解和掌握知识；学生只有经历知识的探索过程，数学的思想、方法才能深深地积淀在自己的脑海中。因此，教学时，教师要善于为学生提供丰富的感性材料，给予学生足够的时间用于操作、实践，让学生在自主探索与合作交流中学习知识，了解知识的形成过程，从而为数学模型的建立提供可能。如三角形面积计算公式的推导过程就是一个不断感知与积累经验、建立梯形面积模型的过程。我是这样设计的：
　　1.创设情境，提出问题
　　师：上周我们班学生表现非常优秀，得到了学校表彰的流动红旗，同学们想想，这面流动红旗面积有多大呢？
　　生1：要知道它是什么样的三角形。
　　生2：要知道它的底和高各是多少。
　　师：要知道流动红旗的大小，也就是要知道三角形的面积，我们现在还没掌握这方面的知识。这样，咱们先来解决三角形的面积计算这个问题，再去算流动红旗的面积。
　　2.迁移诱导，激发参与兴趣
　　请同学们猜猜看，三角形的面积与什么有关系？联系平行四边形面积公式的推导过程，想想用什么方法可以推导出三角形的面积？
　　3. 小组合作，自主探究
　　（1）以小组为单位，各小组自行选择一种方案进行探究。学生可以利用手中的工具、学具、表格动手操作。
　　（2）各小组推选一人向全班汇报过程与结果。
　　方案一：在方格纸上，用两个完全一样的直角三角形拼一拼，拼成一个长方形。从图中可以看出，长方形的长等于三角形的底，长方形的宽就是三角形的高，把数据填入手中表中，比较三角形与长方形面积有什么关系？
　　因为长方形的面积=长宽 （直角三角形面积等于长方形面积一半），所以三角形的面积=底高2。
　　师追问：为什么要除以2？
　　方案二：在方格纸上，用两个完全一样的锐角三角形拼一拼，拼成一个平行四边形，从图中可以看出平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，把数据填入手中表中，比较三角形与平行四边形面积有什么关系？
　　因为平行四边形的面积=底高（锐角三角形面积等于平行四边形面积一半），所以三角形的面积=底高2 。
　　师再次追问：为什么要除以2？
　　方案三：在方格纸上，用两个完全一样的钝角三角形拼一拼，拼成一个平行四边形，从图中可以看出平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，把数据填入手中表中，比较三角形与平行四边形面积有什么关系？
　　因为平行四边形的面积=底高（钝角三角形面积等于平行四边形面积一半），所以三角形的面积=底高2。
　　三角形面积字母公式：S=ah2
　　（3）师生小结：同学们用各种方法，把手中的直角、锐角、钝角转化成已学过的图形，根据三角形与其他图形的关系推导出：三角形面积=底高2 。现在能帮老师解决问题了吗？
　　上述教学中，学生经历了三角形面积的推导过程，在猜测与验证中，学生动手操作、主动探索、分析归纳，从多种方案中都推导出了三角形的面积公式，充分体验了三角形面积计算公式这一数学模型的形成过程。
　　二、引导抽象概括，成就数学建模
　　在数学学习过程中，抽象与概括是数学能力的核心要素之一，是形成概念、得出规律的关键性手段，因而，也是建立数学模型最为重要的思维方法。抽象是从许多数学事实或数学现象中，舍去个别的、非本质的属性，而抽出共同的本质的属性。而概括则是把抽象出来的事物间的共同特征归纳出来，它以抽象为基础，是抽象过程的进一步发展。例如，学习生活中的比整个过程如下：
　　（l）具体情景：相片B、D与A相像，那为什么这几张相片比较像呢？你的想法是什么？
　　（2）列式计算，讨论结果的表示方式。
　　相片A：64=1.5；相片B： 32=1.5（长除以宽的商相同）；相片D：128=1.5。
　　得出：64=32=128
　　通过以上列式，以数学语言的方式总结表达出来，得到结论：被除数除数=被除数 除数。从而得到比的概念：两个数相除，又叫做两个数的比。
　　（3）用字母公式表示除法与比之间的联系：ab=a b（b0）。同理通过分数与除法关系，可以揭示除法、分数与比之间的联系：ab=a b（b0）。
　　从中发现，这个片段学习过程，正是从一些具体数学例子，去掉非本质的属性得出规律，建立数学模型的过程，是提出问题解决问题建立模型的过程。在教学中引导学生以抽象概括的思维方法，来学习小学数学中的许多数学问题时，可以得出这样的规律：许多不同类型数学问题，可以概括相同数学模型。例如，小学数学中平均数应用题、归一应用题、行程应用题等，所具有的相同的数学模型是：总数份数=平均数（速度从某种意义上来说，也是一种平均数）。可见，数学模型是一种数学抽象，它抛开了一切非本质的属性，阐明了系列问题中最主要的关系和特征，并用数学符号加以表述。学生通过不断的学习与建立数学模型，就能够有效地提高解决问题的能力。
　　三、成功解决问题，深入模型应用
　　数学建模的目的是更好、更快地解决问题，学生数学学习的过程其实就是一系列数学建模的过程，在提出问题、解决问题、再提出问题、再解决问题的过程中，积累了大量的数学模型。建立一个好的数学模型对解决该类问题的帮助是非常之大的，如鸡兔同笼问题学习，就是通过鸡兔同笼这样的一个有趣情景，使学生在脑中牢固建立起鸡兔同笼的模型，再在解决问题中用上这种模型。
　　如问题：连芳的储蓄罐中有1元的硬币和5角硬币共100枚，总面值是60元。问1元的硬币和5角的硬币各有多少枚？解答此类问题时，教师就可以先引导学生觀察、猜想，试着把1元的硬币看成鸡，5角的硬币看成兔
　　，再运用已学过的鸡兔同笼模型来解决：1元的硬币数量：（60-0.5100）（1-0.5）=100.5=20枚；5角的硬币数量：100-20=80枚。通过这样的转化，使问题得以具体化、模型化，从而轻而易举地使问题得到解决。同时，在解决问题的过程中，学生深刻体会到了模型思想的魅力，从而更加激起学习数学的兴趣。
　　四、结语
　　总之，数学模型无处不在，学生学习数学知识的过程就是对一系列数学模型理解、把握并加以运用的过程。数学教学应重视模型思想的渗透，帮助学生把握数学的本质，建立相关数学模型，促使学生更好地理解知识，形成应用数学模型探索问题和解决问题的习惯，让数学学习过程真正成为提高数学素养的过程。