塔斯基对于真理的定义及其意义论文

　　波兰数学家、逻辑学家塔斯基（AlfredTarski，1902）1933年在《形式化语言中的真理概念》一文中提出了一个对于真理（Truth）的语义学定义。它深刻地影响了当时的逻辑经验主义和后来的分析哲学的意义理论，并且导致理论语义学的正式建立。本文试图简单地评介建立这个定义的前因、方式及其后果。
　　一为何要从语义角度定义真理
　　一般说来，语义学（semantics）是研究语言的表达式与这些表达式所涉及的对象（或事态）之的关系的学科。典型的语义概念是指称、满足、定义等等。真理这个概念的涵义是极其丰富而且多层次的，历史上对于它的讨论和定义无论从学科角度还是从思想流派的角度看，都是很多样的。但是，如果把它放到语言学系统中来讨论，那么将它作为一个语义学的概念，即作为某些语言表达式（比如陈述句）与其所谈及的对象之间的关系来处理，确实不失为一种简便自然而且容易精确化的讨论方法。
　　然而，语义概念在学术史上的地位一直是不明确的或者说是很奇特的。一方面，这些概念深植于人们的语言活动中，要完整地表达思想尤其是有关认识论、方法论的观点，它们是必不可少的；另一方面，几乎所有要以普遍的和充分的方式来刻划它们的意义的努力都失败了。更糟糕的是，包含这些语义概念的论证，不管它们在别的情况下显得如何正确，却可能导致反论或悖论，比如说谎者悖论，因而使得许多人，包括早期逻辑经验主义的代表人物对它们极不信任，认为要前后一致地使用和定义它们是不可能的，在严格的科学中应该禁用这类概念。
　　罗素1902年发现的关于集合的悖论不但导致了所谓数学基础的危机，而且引起了人们对于各种悖论的极大兴趣。罗素的工作表明，悖论并不是表达方式上的故弄玄虚，通过发现和解决悖论，可以更深刻地认识语言和各种表达系统的逻辑基础，甚至会促使一门新的科学或理论的建立。应该强调指出，悖论对于建立现代演绎科学的基础起到了杰出的作用。正如类的理论方面的悖论、特别是罗素悖论（所有非自身分子的集的集的悖论）是在逻辑和数学的不矛盾形式化方面成功尝试的起点一样，说谎者悖论和其他语义悖论导致了理论语义学的建立。〔i〕
　　从另一个角度看，演绎科学本身的发展也提出了类似的要求。首先，是形式化公理方法的建立。欧几里德的《几何原本》可说是一个实质公理系统的例子，这一类公理系统的公理一般是表述某一类已事先给定的对象的直观自明的性质。但是，由于非欧几何的发现并且在欧氏几何中找到了它的模型，也就是说使它的真理性建立在了欧氏几何的真理性之上，使人们认识到对于空间特性的刻划可以有形式不同但具有真值联系的多个表达系统。〔ii〕
　　另外，数理逻辑的建立使形式逻辑具有了某种意义上的自身的规定性（黑格尔常常批评旧形式逻辑缺少这种规定性）或一套自足的语法系统，逻辑推理不再仅仅是输送外来内容和真值的毫无本身意义的空洞框架；每个语句的真值都有着本系统内的根据甚至某种判定方法，并且出现了属于该系统本身的重要问题一致性、完全性、公理的独立性等等，而这些问题都与形式化语言中的真理（或真值）问题密切相关。
　　由于一开始对形式化公理系统的特性还认识不足，尤其是因为囿于休谟数学观的框框，对于演绎科学真理性的回答首先是形式主义的而不是语义学的。维特根斯坦仅仅依据命题演算的某些形式特点而认为所有的逻辑规则都是重言式，〔iii〕其真理性在于它们是严格的同语反复，穷尽了一切可能，实际上什么也没有说。〔iv〕这一片面看法极大地影响了早期逻辑经验主义的代表人物，如石里克、卡尔纳普。在数学界，这种倾向也体现在希尔伯特为代表的形式主义学派中，并随后导致了重大转变。为了在数学领域中完全消除产生悖论的根源，希尔伯特提出了著名的希尔伯特方案或证明论，即要将数学公理系统相对相容性（一致性）的证明（比如证明非欧几何相对于欧氏几何、欧氏几何相对于实数论、实数论相对于自然数论的相容性）变为绝对或直接相容性的证明；在这种把握绝对的证明活动中无法再利用任何一种还需要解释的推演工具，因此证明论中数学或逻辑公理系统的基本概念都应是无意义可言的符号，公理是这些符号的机械组合，无所谓真假，数学相容性的证明变为不需要内容的纯形式符号的推导，完全可以按一个机械的模式在有穷步内进行和完成。但是，在这个富于启发力的方案指导下工作的哥德尔，却发现了所有能包括形式数论在内的系统如果是相容的，则是不完全的，即总可以在它们中找到一个语义上真的句子，它和它的否定在本系统内都不可证；因此这类系统的相容性在本系统内是不可证的。而要去证明这一类系统相容性的元理论必不能比这些对象理论更简单，而是更强更复杂也就更靠不住。所以在纯形式的和有穷方法的前提下，数学系统绝对相容性的证明是不可能的。
　　塔斯基就是在这样的背景下（与哥德尔几乎同时）从理论语义学或逻辑语义学角度回答了演绎科学基础研究中提出的这样一些问题。哥德尔不完全性定理发表于1931年，塔斯基关于真理定义的主要思想于1929年已完成，并于1930年在波兰做了学术演讲。《形式化语言中的真理概念》这篇论文于1931年3月由卢卡西维兹送交华沙的科学学会，但由于外部原因使出版拖到1933年，这也使得塔斯基可以借鉴哥德尔的成果并对这篇论文做了部分补充和修改。〔v〕
　　二。怎样定义语义的真
　　1。悖论与语言层次
　　从边沁（17481832）起，不再将词而是将句子作为意义的基本单位。弗雷格则认为一个句子的意义就在于它的真值条件或成真条件；正因为如此，句子和组成它的词才有了可传达的客观意义，而不仅仅是洛克等人所讲的带有主观经验色彩的观念。塔斯基为了避免心理因素的影响和表达歧义，就将他的真理定义的对象规定为语言系统中的语句，更严格地说，是陈述句。
　　他以亚里士多德的真理定义为讨论起点。我们希望我们的定义与经典的亚里士多德的真理概念所包含的直觉尽可能地相似即在亚里士多德《形而上学》一书里这段著名的话中所表达的直觉：‘将所是的〔或所存在的〕说成不是的〔或不存在的〕，或将所不是的说成是的，是假的；而将所是的说成是的，或所不是的说成不是的，是真的。’〔vi〕根据这个定义，雪是白的这个语句的真值条件就是：如果雪是白的，此语句就是真的；如果雪不是白的，此语句就是假的。因而下面这个等式成立：
　　语句雪是白的是真的，当且仅当，雪是白的。
　　将它一般化，即得到一个（T）等式：
　　（T）X是真的，当且仅当，P。
　　在此式中，P代表真的这个词所涉及的语言中的任何一个语句，X则代表这个语句的名称。
　　但是，塔斯基认为亚氏的这个定义尽管在直觉上是对的，但是它的表达形式有严重问题。我们可以在不违反其形式的前提下构造一个类似说谎者悖论的语言：
　　印在本页这一行上的这个语句是不真的。
　　当我们问这句话是真还是假时，矛盾就出现了；因为从其肯定可以得出其否定，从其否定又可得其肯定，因此它是一个悖论。
　　经过分析，塔斯基认为毛病出在可以构造出这类语句的语言系统上。这类语言系统不但包含了它的表达式，而且包含了这些表达式的名称和象真的这样的语义学词项，尤其是它能够不受限制地把这样的语义学词项用于其中的任何一个语句；简言之，这样的语言系统具有在内部断定自己语句的真值的能力，塔斯基称之为语义上封闭的语言。自然语言也属于这种语言。
　　因此，为了保证语义概念在使用中的一致性，去掉产生悖论的根源，在讨论真理定义或任何语义学问题时，必须禁用这类语义上封闭的语言，而用不同功能的两种语言来代替：第一种是被谈及的作为讨论对象的语言，称为对象语言，第二种是谈及第一种语言的语言，称为元语言。我们就是用元语言来为对象语言构造真语句的定义。元语言中不但要有对象语言的所有表达式的名称，而且还有对象语言所没有的语义学的词项，所以元语言比对象语言从本质上更丰富，也可以说，元语言中包含有更高逻辑类型的变项。因而对象语言可以在元语言中得到解释，但元语言不能在对象语言中得到解释。塔斯基已证明，这样一种本质上的〔更〕丰富性对于构造满意的真理定义是一个必要而且充分的条件。〔vii〕元语言可以分为两种：句法（syntax）元语言和语义元语方。只谈及对象语言的语言表达式的元语言称为句法元语言，比如一般逻辑教科书上谈到某个演绎系统的语法部分（原始符号、形成规则、变形规则等等）的语言；不仅涉及对象语言的语言表达式，而且谈及这些表达式所涉及的对象的元语言称为语义元语言，比如谈到某个演绎系统的语义部分（真假、可满足、普遍有效等等）的语言。〔viii〕作为构造这样两种语言的两个著名例子，我们可以举出卡尔纳普的《语言的逻辑句法》（1934年）和塔斯基的《形式化语言中的真理概念》（1933年）。
　　2。真理定义所要求满足的条件形式上正确、实质上充分
　　塔斯基认为，为了保证定义在形式上的正确，除了区分对象语言和元语言之外，还必须说明这两种语言的结构，即将这两种语言都形式化和公理化，保证其中每一个表达式的意义从其形式上就可以被唯一地确定。所以，塔斯基认为要在自然语言中正确地定义真理是不可能的。
　　对于元语言还需多做一些说明：元语言的基本词项除了一般的逻辑词项和与对象语言的词项意义相同的词项之外，还要有从形式结构上描述对象语言的所有表达式及其关系的词项，以使我们有能力在任何情况下为对象语言的任一个表达式构造元语言的名称。自然，元语言的公理也要相应地反映出这三类词项的性质。此外塔斯基对于元语言还有另一个更带有哲学含义的要求，即（涉及对象语言的）语义学词项只能经过定义而被引入元语言中。〔ix〕在这个构造中，我将不使用任何不能事先被归约为其他概念的语义概念。〔x〕他希望通过在元语言中构造这个定义，能够把以前一直含混不清的真理或真语句概念归约为纯粹的逻辑概念、被考察的语言的概念和语言形态学的特殊概念。〔xi〕也就是说，归约为任何逻辑学家和分析哲学家也都要承认的在逻辑上形式上完全站得住的那些概念，从而证明语义概念可以像那些分析的概念一样毫无矛盾地使用，语义学可以成为语言形态学（themorphologyoflanguage）的一部分。
　　对于真理定义的另一个条件是要求它是实质上充分的（materiallyadequate），，即涉及某个对象语言的所有（T）等式都要作为这个定义的结果而被推衍出。〔xii〕在这些出现在元语言中的格式为X是真的，当且仅当，P的（T）等式中，P代表对象语言中任何一个已被翻译到元语言中的语句，X则代表这个语句的名称。
　　为什么要提出这个条件呢？首先，既然这个定义要把语义概念归约为非语义概念，那么就必须在语义概念可能出现的一切场合都有办法把包含这类概念的语句置换为不包含语义概念的语句，即穷尽被定义概念（如真、满足）的一切可能的情况。其次，是为了回答演绎科学特别是证明论中提出来的可证性与真理性的关系以及排中律是否成立等问题。一般人的直觉很容易接受这样一个古典排中律式的看法：任何一句话或者说一个判断不是真的就是假的（即它的否定是真的）。且不管所谓形而上学，就是在数学中也有一些命题或判断的本身被证明是无解的，而且说谎者悖论一类的命题对这种信念更是严重的威胁。于是实证主义者和有穷主义者出来说：根本不存在这类柏拉图式的从本体论上就保证了的理念的真，或者更进一步，也根本不存在康德式的从认识论上被保证了的有先天综合能力的范畴的真或感性直观的纯形式的真，而只有所谓证实的真或分析的真。这种倾向由于数学基础中悖论的发现而得到加强并在直观主义〔xiii〕学派的有穷主义中达到极点；他们认为真正的数学命题只存在于有穷构造中，因而拒绝使用涉及到实无穷的排中律。他们这种看法得到F。考夫曼和维特根斯坦等人的赞同，希尔伯特虽然出于保护一大批数学成果的目的反对直观主义排斥排中律的主张，但在很大程度上也受到悖论的发现和这种从某一方面看来很合理的主张的影响，在他提出的方案中也要把涉及实无穷的数学系统的相容性归约为只涉及有穷构造的数学系统的相容性。卡尔纳普在《语言的逻辑句法》中所持有算法论（句法论）基本上也属于这种观点。然而，奇怪的是哥德尔、塔斯基等人却发现了有些形式化命题不可证或在有穷步内不可证但明明白白是个真命题。怎样解释这种真与可证明的复杂关系呢？哥德尔宁愿做柏拉图式的客观真理的解释，塔斯基则显然认为对于形式化语言中的真理问题，做柏拉图式的解释是太宽了，做出了过多的本体论的承诺，而做有穷主义的或证明论式的解释又过窄了，没有把一切真命题都包括进来。他的真理定义的一个目标就是要使这个定义包括所有那些演绎科学中从形式上、逻辑语义上或用中世纪的逻辑术语，从实质指谓（suppositiomaterialis）上可以判定其为真的命题，而且只包含这类命题；因此，他称这个条件为实质上充分的（或译为确切的、适当的）。
　　3。定义的构造
　　一个语言系统可以包括无穷多个语句，为了使实质充分的条件得以实现，就必须提供一个方法使得我们可以从简单的有限的语句构造出无穷多个语句。但塔斯基发现：从那些带量词的形式化语言的形式构造的角度看来，复合语句一般不是由简单语句（不包含自由变项的语句函项）复合而成，而是由简单的语句函项（其中包含自由变项）复合而成。〔xiv〕比如在塔斯基用来作为构造真理定义的一个具体例子的类演算（thecalculusofclasses）中，某一个复合语句如1（i1，112i2，1）（意思是对于任何类a，aa；或者有一个类b，使得ba）并不是由1i1，1和12i2，1通过析取（）构成，而是由语句函项i1，1和简单语句12i2，1的析取再加上全称量词1而构成。因此，我们只有先定义简单的语句函项和由简单语句函项构造复合语句函项的运算，然后将语句作为语句函项的极端情况，即其中不带自由变项的语句函项处理。塔斯基用递归方法定义了语句函项，即先定义（描述）最简单结构的语句函项（比如ik，l，意思为类a被包含于类b；k和l的值是自然数，代表类变项），然后定义从较简单的语句函项构造出复合语句函项所凭借的运算，比如否定、析取、加量词。但是，一个语句函项无所谓真假，比如我们不能说X35是真或是假，而只能讲它能被什么对象所满足，例如2。因此，某个语句函项被某些对象满足的概念就作为第一个语义概念、即涉及到表达式与其对象的关系的概念而被引入，定义这个概念成为塔斯基工作中几乎是最重要的一环。
　　（这里要提醒一下：对于满足和其后真理的定义是在元语言中给出的，因此下面提到的对象语言的各种表达式都已被翻译成元语言了。）
　　出于技术性的考虑，〔xv〕塔斯基实际上用的是某个语句函项被对象的某个无限序列所满足的概念。为了使定义明晰，塔斯基将对象语言的所有变项都用自然数加上了附标，因此一个语句函项中的自由变项和约束变项都是带有附标的，比如类演算中的语句函项2i1，2；对象的一个无限序列就是该语言所涉及的对象按附标大小顺序排列而成，比如由类演算中所有的类按附标排列成一个无限序列。一个语句函项x能否被对象的一个无限序列f所满足，取决于与x中自由变项vi相应（即有同样附标）的对象序列中的项fi。如果按照定义fi满足vi，那么这个对象的无限序列也就满足该语句函项。〔xvi〕
　　塔斯基还是用递归方法来定义满足：
　　定义22：序列f满足语句函项x，当且仅当，f是类的一个无限序列并且x是一个语句函项，而且它们满足下面四个条件之一：（1）有自然数k和使得xik，l并且fkfl；（2）有一个语句函项y使得xy并且f不满足函项y；（3）有语句函项y和z使得xyz并且f或者满足y或者满足z；（4）有一个自然数k和一个语句函项y使得xky并且每个与f至多在第k处不同的类的无限序列都满足函项y。〔xvii〕
　　（说明：在塔斯基所使用的类演算的元语言中，i的意思为被包含于；y的意思为非y；yz的意思为y或z；ky的意思为对于所有vk（附标为k的那个变项），表达式y都成立；ky的意思是：有一个vk使得表达式y成立。）
　　按照这个定义，我们可以把某个语句函项被对象的某个无限序列所满足这样一个语义概念的每一个例子都还原为或归约为对象语言的某些表达式及其关系，因而满足了形式上正确、实质上充分的条件。比如：类的无限序列f满足语句函项i1，2当且仅当f1f2；满足语句函项i2，3i3，2当且仅当f2f3；满足语句函项2i1，2当且仅当f1是空类；满足语句函项2i2，3当且仅当f3是满类。并且，我们可以利用条件（4）提供的加全称量词的运算而由语句函项构成语句，即对语句函项中出现的每个自由变项都加以约束。因此，我们可以直接用满足概念来定义真语句。
　　从条件（4）可以看出，一个约束变项要么就被所有的对象序列满足，要么就不被任何对象序列满足。而一个语句中只包含有约束变项，所以，塔斯基给出了这样一个类演算中的真语句的定义：
　　定义23：x是一个真语句符号表示为xTr当且仅当x是一个语句并且类的每一个无限序列都满足x。〔xviii〕
　　塔斯基接着证明了，只要元语言比对象语言在本质上更丰富，按照这样一个程序来构造一个关于对象语言的形式上正确实质上充分的定义总是可能的。在1944年发表的《真理的语义学概念及语义学基础》中，他更简明地概括了这个定义：一个语句如果被所有的对象满足就是真的，否则就是假的。〔xix〕
　　4。这个定义的特点
　　首先，作为上面讲到的满足概念的一种极端情况，即被所有的对象序列满足或不满足，这个真语句的定义同样是形式上正确和实质上充分的。也就是说，通过这个定义，我们可以把某某语句是真的这样一个包含语义学中真的概念的陈述归约为〔翻译为〕由其意义是完全清楚明确的概念构成的陈述，即归约为不包含任何〔明显的〕语义概念的对象语言的表达式及其关系，而且从理论上讲在一切场合都可以进行这种归约，因此我们可以通过这个定义得到或推论出涉及对象语言每一个语句的所有（T）等式。这就表明，你对于对象语言的了解程度与你对于涉及这个语言的语义真理的了解程度从逻辑上是等价的。如果你理解了对象语言并能使用它，你也就理解了关于这个语言的真理性并能使用某某语句是真的这样一类陈述；如果你还不理解对象语言但可以分辨它的符号，你也可以在元语言的（T）等式中给出它的真值条件。
　　这里需要澄清一个问题，即不能把（T）等式误认为塔斯基给出的定义本身。通过上面的叙述已很清楚，（T）等式只是这个定义所产生的结果，每一个具体的（T）等式只是一个对于真的片断定义，它们的全体或逻辑合取才与上面那个定义23等值或外延相同。
　　这样，我们就可以得出这个定义的第二个特点，即每一个语句的真值是与整个语言系统的构造方式密切相关的。一个语句是真的，当且仅当它能被所有对象满足。雪是白的这句话的真值并不象经验主义所说是依赖于经验中的雪和白或者某个孤立的事件，那样的雪和白是主观的、无法传达的和死无对证的。可以想见，一个没有语言思维结构或概念结构的人或生命，无认论经验多少次雪，也不会懂得雪是白的，更无从谈其真假。有人曾把（T）等式理解为‘雪是白的’是真的，当且仅当，雪事实上是白的。塔斯基坚决地纠正了这一似是而非的错误看法，指出某个（T）等式并没有提供断定任何特定语句尤其是经验语句的充要条件，因此与所谓经验证实无关。它告诉我们的是‘雪是白的’是真的与雪是白的这样两个语句在逻辑上是等价的。〔xx〕雪是白的这句话真正的逻辑形式是：对于一切事物而言，如果它是雪，则它是白的。这一点在形式化语言中更为明显；一个语句是否被所有对象满足，在还没有追究整个语言系统的真理性之前，完全取决于它在某个语言系统中所处的位置，即这个语言的构造方式给予它的结构特点。因此，一个语言系统中的一切语句尽管在形式上不同，但却可以按照这个真理定义区分为真假两类。一切真语句都被所有的对象满足从而构成一个严格的真语句类或真语句的集合。
　　这个定义的第三个特点是在元语言中利用了更强的逻辑手段。塔斯基用满足概念定义真，而对满足这个概念使用了递归定义，这种定义方式在对象语言中是不允许的。塔斯基同时申明，不使用递归定义而使用正常的定义也是可以的，但这样就必须在定义项中引入更高逻辑类型的变项。〔xxi〕
　　有必要说明一下：这样一个对于真语句的语义定义与对于真语句的结构定义（structuraldefinition）是不同的。所谓真语句的结构定义就是指给出一个可行的判定方法，依据这个方法，我们可以判定某个语言中的每一个语句到底是真还是假（但这种判定也可能涉及无穷多步），而不仅仅是给出它们的真值条件，因此这是一个更具体的定义。而且在建立这样一个定义的时候，不需要利用更高逻辑类型的变项。比如在命题演算中可以给出这样一个结构定义，利用真值表我们可以将它变为一个外延相同的语义定义。〔xxii〕塔斯基在《形式化语言中的真理概念》中也给出了一个类演算的真语句的结构定义，不过又附加了一些公理。但是，在大多数人们感兴趣的形式化语言中（包括狭谓词演算），是无法给出这样一个定义的，而语义定义则在任何一个本质上比对象语言更丰富的元语言中都可以做出。
　　因此，我们可以说塔斯基这个定义的第四个特点是它具有普遍性。