在铲斗铲装过程中对满斗率的数学模型的探讨

　　1关于铲装过程的数学模型所提出的假设
　　工程问题到数学问题的转变不可避免地涉及到部分条件的假设，以保证对物理过程进行定性描述的数学方程的精简性，提出的假设要求必须对所研究的目标物理参数影响小。提出假设是为研究问题方便而做的工作准备，同时能提高求解智能装载机器人装载效率最优解时的代码执行效率。对本研究所建立的数学模型作出以下假设。(1)物料的湿度较低，物料自身的黏着系数对满斗率影响很小。(2)铲斗铲入料堆过程中所受的阻力对满斗率无影响。(3)铲斗铲入料堆时为水平铲入，且物料堆体积足够大，物料平均块度不能大于 10 mm。(4)铲斗在提升过程中可被铲斗影响的物料能全部落入铲斗的空斗区域。
　　2 装载机铲装过程的数学模型
　　2. 1 装载机装载过程分析
　　装载机铲斗铲装物料过程中受力复杂，但是铲装的主要能耗集中在克服铲斗铲入阻力以及物料提升2 个阶段，其中克服铲斗铲入阻力做功主要是将铲斗前刃铲入物料中，此时铲斗内的物料为主动填充物料，铲斗的满斗率大小和铲斗铲入物料的深度有很大的关系。铲斗铲入物料的过程是剧烈能耗的过程，由于装载机本身功率大小的限制，通常在铲斗铲入一定深度后装载机整车速度会降低为 0，此时装载机无法继续前行铲挖，因此铲入深度是一个限制装载机性能的重要参数。装载机铲斗铲入深度的大小受铲挖物料种类的影响，低密度堆积物料的铲斗铲入深度要更大，高密度堆积物料的铲斗铲入深度更小。铲斗在完成主动填充物料之后就是铲斗提升阶段，此阶段进一步使部分可被铲斗影响的铲斗外物料旋转落入铲斗内，对满斗率起着至关重要的作用，此时落入的物料填充的区域为铲斗作业时的空斗区域。
　　2. 2 铲装过程的数学模型
　　铲斗铲装物料的多少等于铲斗在完成水平铲入物料后已经入斗的物料量加上随后铲斗上升时影响并落入铲斗的物料量之和。为建立装入物料的数学模型，需要先以铲斗侧面的中间面为模型面，建立一个笛卡尔坐标系，坐标系原点取铲斗侧面的中间面上铲斗铲入物料堆的铲入点，在铲入物料的过程中，铲斗为运动件，物料相对静止。
　　图 1 为在笛卡尔坐标系中，
　　当铲入深度 d=0 mm 时，铲斗与物料堆的相对位置。随着铲装作业的进行，f 1 为铲斗底面曲线函数，f 2 为铲斗斗面函数，f 3 为料堆中间面的物料堆的外形函数，铲装时铲斗运动，即 f 1 、f 2 发生移动。图 1 铲装过程的坐标系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process当 d0 时，引入参数 S t 、S e :S t 为中心面处铲斗铲入后可影响的铲斗外的物料面积，S e 为中心面处铲斗水平铲入物料的空斗面积，根据定积分的意义，可以将中心面处单独区域的面积求解转变成对变限积分求解。在建立 S t 数学模型的过程中，将料堆的外形函数视为静态，斗形函数视为动态，铲装的过程中 S t 便可以等效为变函数的定积分问题，由此可以得出 S t 的函数为S t = dc( xtan+ xtan － dtan) dx，(1)式中，d 为铲斗水平铲入深度，mm;c 为铲斗斗面与料堆交点的横轴坐标值，mm; 为料堆自然安息角，(  为铲斗前角，()。为了方便建立铲斗水平铲入物料时空斗面积的数学模型，需要对动态函数进行静态处理和对铲斗单独取坐标系变化，这样可以将本来复杂的多函数移动转变成单函数移动，这个过程便是将 f 1 和 f 2 视为已确定函数，f 3 为变函数，f 3 函数与纵轴截距的意义为铲斗铲入深度 d，
　　图 2 为转化后铲斗所在的坐标系。
　　图 2 铲斗坐标系变换Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成对问题的简化后便需要对 S e 的变化进行数学模型建立。通过图 2 可知，中心面处铲斗的空斗面积 S e 的变化为分段函数，为此也需要在建立数学模型时进行分段处理。在已经变换好的坐标系中，斗形函数 f 1 和铲斗斗面函数 f 2 转变为已确定函数，而f 3 函数为变函数，随着铲入深度的增加 S e 不断减小，求解 S e 就变成了在变函数的条件下对函数围成面积的求解。至此，便可以得出S e= S1－ 0 1ytan2－ ( )－y － dtan  +  －2( ) dy，0  d  槡200 3;S e = 0 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan  + 2( )－ d[ ]dx，d 槡200 3;式中， 1 为料堆外形函数与铲斗斗形函数的交点在 y轴上的数值，mm; 2 为料堆外形函数与铲斗斗底函数的交点在 x 轴上的数值，mm;r 为铲斗斗形曲率半径，mm;y 1 为铲斗斗形曲率圆心所处的位置，mm; S 1为铲斗侧面面积，mm 2 。通过工程问题数学化的转变，在铲装过程中中心面的表示函数所围成面积的变限积分 S t 、S e 就已经得出，S t 、S e 是为解决满斗率问题所建立的初步的数学模型，也为接下来求解体积函数做好了前期准备。S t 、S e 函数的成功建立也是体积函数建立的必要前提，保证了函数的可解性。关于变限积分的面积函数的建立至此已经结束，接下来便是讨论如何建立可行有效的体积函数。在考虑体积函数的问题时，需要再次转换看待问题的角度，把平面问题实体化。根据对铲斗和料堆的实际了解可以知道:如果以中心面为基准，铲斗的物料体积函数 V e 便可以直接通过铲斗面积与斗长的乘积得到，对于铲斗的空斗面积也是类似的原理。至此体积函数 V e 便已经确定，但是体积函数 V t 还未确定。V t的相关量 S t 是一个较为复杂的变上下限积分，如果要求解 V t ，就要考虑到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地认为是圆锥体，V t 也可以看成是 S t 的旋转体积，所以求解出 V t 函数的结果就是已知面积的旋转体积的数值。通过对体积函数 V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函数V t =arcsinl2r 1( )360(dtanr 1+ St )2－ (dtanr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l为铲斗斗长，mm;r 1 为铲斗可影响的最高点对应的圆锥料堆的顶部圆锥底面圆半径，mm。已得出的 V e 、V t 体积函数之比便是对通用铲装物理过程的数学描述，得到数学模型后还需要就函数中某一相关因素对满斗率的影响进行讨论，验证数学模型的正确性。本研究之后便是利用已建立的数学模型就铲入深度与满斗率之间的关系进行一次初步求解。
　　3 相关参数的选取
　　以广西柳州工程机械股份有限公司的 Zl50 系列轮式装载机的铲斗数据为数学模型中的铲斗参数依据，从而得出数学模型的求解结果。铲斗底板尺寸 b x取 690 mm，铲斗斗长 l 为 2 970 mm，铲斗侧面斗宽 b w取 1 200 mm，铲斗前角  为 60，铲斗斗底曲率半径取600 mm。料堆为矿石料堆，自然安息角  为35 ，铲斗铲入料堆的水平面上的料堆面的半径取 4 000 mm。
　　4 铲装过程的数学模型求解
　　取定相关参数后，铲装数学模型中剩余未知量为1 个自变量和 2 个因变量，自变量为铲入深度 d，因变量为物料体积函数 V e 和 V t 。在建立铲装过程的数学模型后，试探性地对铲斗铲入深度与满斗率之间的关系进行求解，主要是为了验证铲装过程数学模型的有效性和对某一具体问题的可解性。因此，对于铲装数学模型的求解分为数学模型中的斗形函数验证和铲斗物料填充率的最优解的求解两大部分。其中斗形函数的验证为数学模型有效性的验证，铲斗物料填充率的最优解的求解为验证数学模型的可解性。
　　4. 1 铲斗数学模型的斗形函数验证
　　根据已建立的铲装过程的数学模型可知，斗形函数为变限积分函数。为验证建立的数学模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函数可视化处理，对比数学模型中的变限积分函数与实际斗形是否基本符合。将相关参数输入铲装过程的数学模型中的被积分函数，得出斗形如图 3 所示。图 3 斗形函数求解结果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function
　　6 结 论本研究所建立的数学模型对工程实际有很强的适用性，可以利用该模型求解出各类参数的铲斗在工作时的最佳铲入深度，使得铲斗的满斗率达到最大值，提高资源的利用率。也可将铲斗外形函数设为求解目标，利用铲装过程中满斗率的数学模型优化铲斗尺寸，如何利用铲装过程满斗率的数学模型对铲斗参数优化设计，也是笔者正在探求的一个问题。此外，如果料堆的安息角与重力加速度之间的数学关系能够明确，铲装过程的数学模型可用于讨论不同重力下的铲装机理。本研究所建立的铲斗装载过程的数学模型也可用于智能装载机器人装载过程的主动求解优化，在不同的情况下求解出最优的铲入深度，提高工作效率，降低能耗。