弹性边界附近空化泡迁移和周期特性试验研究

　　摘 要：
　　抗空蚀材料的应用极大提高了泄水建筑物的过流性能和使用寿命，是减轻空蚀破坏最有效途径之一。针对目前关于弹性材料抗空蚀特性的机理研究尚有欠缺的问题，为了研究弹性材料如何减免空蚀破坏并探索潜在的弹性抗空蚀材料，着眼于细观层面的空化泡和弹性材料相互作用，通过低压直流放电诱发空化泡试验，研究了拉伸弹性模量范围和压缩弹性模量范围分别为0.3 9.7 MPa、0.4 7.5 MPa的弹性边界附近空化泡迁移和周期特性。结果表明：(1)弹性边界表面会随着空化泡收缩出现不同程度的隆起变形，从而弱化了空化泡的趋壁效应，并且空化泡伴随有一定程度的迁移运动。通过定量分析不同弹性边界附近空化泡的迁移量随时间变化过程，发现空化泡迁移过程主要体现在收缩-二次膨胀期间。当空化泡与弹性边界的间距一定时，随着边界材料弹性模量的降低，空化泡的迁移量和迁移速度下降。进一步建立了无量纲最大迁移距离和无量纲拉伸弹性模量的关系式，可以预测空化泡在特定弹性模量的弹性边界附近的迁移特性。(2)弹性边界可以显著影响空化泡的收缩周期，不同弹性边界条件下，空化泡收缩阶段标准化周期有不同程度的延长。对于特定弹性模量的弹性边界，大部分空化泡的标准化周期随无量纲距离的增大而减小。弹性边界的存在会减弱空化泡溃灭强度，在泄水建筑物边壁运用弹性材料可能会有利于减免空蚀破坏。研究结论可为减免空蚀破坏的应对措施提供一定的理论支持。
　　关键词：
　　空化泡;弹性边界;迁移;周期;试验研究;水力特性;水电站;影响因素;
　　作者简介：
　　翟俨伟(1992—),男，工程师，博士，主要从事水力学研究。
　　*李健薄(1995—),男，博士研究生，主要从事水力学研究。
　　基金：
　　国家自然科学基金青年基金项目(52109081);
　　引用：
　　翟俨伟，刘志武，李健薄． 弹性边界附近空化泡迁移和周期特性试验研究［J］. 水利水电技术( 中英文) ，2022，53( 3) : 91-109.
　　ZHAI Yanwei，LIU Zhiwu，LI Jianbo． Experimental study on characteristics of migration and period of cavitation bubble near elastic boundary ［J］. Water Ｒesources and Hydropower Engineering，2022，53( 3) : 91-109.0 引 言
　　空化是一种水动力学现象，广泛存在于水利、船舶、化工、医疗和声学等多个领域。所谓空化，即在流动的液体中，由于某种原因局部区域的压力突然下降到低于该区域的液体温度所对应的蒸汽压力时，部分液体蒸发，溶解在液体中的气体逸出，并在液体中形成空化泡的过程。空化泡随液体流动进入压力较高的区域时，外界条件的骤然变化使得空化泡溃灭，原空化泡周围的液体运动使局部区域的压力骤增。如果液流中不断形成的空化泡在固体壁面附近频频溃灭，壁面就会遭受巨大压力的反复冲击，从而引起材料的疲劳破坏甚至剥蚀，这种现象称为空蚀。空蚀是由空化造成的，因此要研究空蚀，首先需要深入了解空化过程中空化泡的动力学特性。早在1917年，RAYLEIGH就发表了关于液体中球形空化泡溃灭时产生压强的论文。GILMORE等所作的早期工作主要着眼于液体可压缩性的影响，其目的在于研究由于空化泡溃灭引起的液体中激波的生成。HICKLING等最早应用可压缩流动方程的数值解研究了空化泡回弹阶段的压力波即激波的形成。韩磊等通过数值模拟研究了空化泡溃灭冲击波与溃灭能量的关系。
　　空化泡表面容易受到Rayleigh-Taylor不稳定性影响。当空化泡在刚性材料边界一定距离范围内溃灭时，会表现出明显的趋壁效应，形成朝向边界的凹角微射流。NAUDE等、BENJAMIN等最早观察到了这种微射流。CUI等通过试验研究了空化泡溃灭冲击波和微射流的破冰机理。而自由表面附近的空化泡溃灭会产生方向为远离自由表面的凹角射流。实际上，存在一个临界弹性边界，使凹角射流转为导离和导向边界两种射流形式。GIBSON等试验和理论分析都证明了这一临界弹性，并提出采用弹性涂层或弹性衬套可以避免空蚀破坏。
　　许多学者通过两个方面引入了针对空化泡与自由液面相互作用的研究，一是水下爆炸产生的空化泡；二是将自由液面视为无穷大的空气泡。自由液面是较为特殊的一种弹性边界，可近似认为属于边界弹性模量趋于0的特例。自由液面附近空化泡的演变明显区别于刚性材料边界，空化泡在收缩-回弹期间出现背离自由液面迁移的现象。在自由液面附近空化泡的溃灭特性的影响因素主要是空化泡最大半径和空化泡到自由液面的距离。
　　由于空化泡在刚性材料边界或自由液面附近溃灭出现的截然相反的迁移特性，可能存在具有一定弹性的边界材料，其表面会随着空化泡演变而产生变形，从而使空化泡的动力学特性介于刚性材料边界和自由液面之间。SANKIN等研究了激光空化泡与硅橡胶膜的相互作用，这种相互作用可以为体内显微注射提供独特的声学手段，将大分子和基因载体靶向递送至生物组织。GONG等基于改进的雷利模型和试验观察，研究了由不同外部源诱发空化泡的比尺效应，例如，水下爆炸引起的空化泡、电火花诱发的空化泡或激光脉冲诱发的空化泡，并建立了不同类型的空化泡之间的比例关系；另外，使用弹性模量16 MPa的橡胶作为柔性边界，研究空化泡与两层复合梁之间的相互作用，并通过数值模拟对试验现象进行了解释，进一步探索了两层复合梁的能量密度与其涂层刚度之间的关系。TURANGAN等研究了空化泡和薄弹性膜之间的相互作用，着重研究了它们之间距离和膜弹性的影响因素。AGHDAM等[26]通过试验研究了两个类似大小的空化泡与弹性模量3.15 MPa的薄膜之间的相互作用，根据定义的无量纲参数对试验现象进行了系统分类。HORVAT等定性研究了聚甲基丙烯酸甲酯材料和聚乙烯弹性薄膜之间的激光诱发空化泡动力学现象，该弹性膜的几何形状类似于眼内环境。BRUJAN等研究了激光诱发空化泡与弹性模量0.017 2.030 MPa的聚丙烯酰胺凝胶材料的相互作用，使用弹性模量对试验现象进行描述。
　　空化泡溃灭周期是指空化泡从初生到第一次溃灭的时间，空化泡溃灭周期受周围边界条件的影响。PLESSET等和夏冬生等发现空化泡在刚性边界附近时，空化泡溃灭周期会有所延长。CHAHINE发现众多空化泡同时振荡时，最靠近中心的空化泡溃灭周期有显著的延长。BRUJAN等和MA等发现空化泡在弹性边界附近时，大部分空化泡的溃灭周期会延长而少部分空化泡的溃灭周期会缩短。LI等发现空化泡在空气泡附近溃灭时，其溃灭周期会有明显的延长。
　　回顾上述研究，一些学者已经探索了空化泡和弹性边界之间的相互作用。然而这些不同形式的试验研究大多针对特定的弹性模量边界，且大部分是膜边界，其厚度的影响不可忽略，随着弹性模量的增加，空泡动力学行为变得复杂。因此，本文通过试验研究六个不同弹性模量的弹性边界与空化泡之间的相互作用，基于高速摄影观察，分析不同弹性模量的弹性边界对空化泡迁移和周期的影响。1 试验仪器与方法
　　试验仪器由低压直流放电诱发空化泡系统和观测分析系统组成，如图1所示。低压直流放电诱发空化泡系统电路部分主要由电源、电阻、电容器和三相开关组成。工作原理如下：电源可输出的直流电压为0 100 V。当三相开关向上拨置为充电状态，电源开始为两个并联的4 000 μF电容器逐渐充电。通过电表和指示灯判断电容器充满电量后，三相开关向下拨置转到待放电状态，低压直流脉冲发生器中储存的电流通过大功率电缆(220 V,500 A)传输到放电电极。此时，接通位于水中的放电电极，即可在搭接点处产生瞬间高温，从而诱发出空化泡。放电电极为一对铜合金导线(直径Ф0.10 mm),由于空化泡的尺寸(5 10 mm)远大于电极的尺寸，因此电极对空化泡的影响可以忽略不计。该系统通过调节电源输出的电压值，可稳定得到满足试验需求的不同尺寸的球形空化泡。观测分析系统包括Photron FASTCAM SA-Z型高速相机、尼康(Nikon)AF 24 85 mm f/2.8 4D镜头，使用发热极低且照明效果较好的无频闪、亮度均匀的LED冷光源，作为照明设备以配合高速摄像机和镜头。
　　图1 低压直流放电诱发空化泡系统原理
　　使用透明玻璃水箱作为试验容器，尺寸为300 mm 300 mm 300 mm(长度 宽度 高度)。使用固定在水箱内的有机玻璃板支撑放电电极和边界材料试件。为确保液面和水箱边壁不影响空化泡的演变形态，放电电极被置于水箱中心、液面以下100 mm处。边界材料试件固定在放电电极下方。水槽中水面的压强为大气压(94.77 kPa),水温保持在25 2  。试验用水采用杂质和气核含量极低的二次去离子水。
　　不同弹性材料按照是否会随着空化泡演变而产生动态变形响应，可大致分为刚性材料和弹性材料。试验中刚性材料选择空化空蚀研究中较为常用的6061铝合金；弹性材料选择美国昆腾公司(Quantum Silicones Inc.)生产的QSIL 216、218、229系列透明液体硅胶材料，按不同比例混合，加入模具中固化成型。按照规范使用美国INSTRON 5567通用材料测试机得弹性材料的拉伸弹性模量(Et)和压缩弹性模量(Ec)值，如表1所列。
　　考虑到试件的面积和厚度可能会影响试验结果，对试件尺寸进行了预试验验证：使用弹性模量最小的705硅橡胶材料，制备60 mm 60 mm 12 mm、30 mm 30 mm 6 mm和30 mm 30 mm 24 mm等不同尺寸的试件，并将其与试验中使用的试件(30 mm 30 mm 12 mm)进行比较，如表2所列。结果表明，对于材料厚度相同而材料面积不同时(60 mm 60 mm 24 mm和30 mm 30 mm 12 mm),两个试件的最大变形量非常接近；对于材料面积相同而材料厚度不同时(30 mm 30 mm 24 mm、30 mm 30 mm 12 mm和30 mm 30 mm 6 mm),厚度为12 mm和24 mm的样品的最大变形量非常接近，而厚度为6 mm的试件的最大变形量则明显较小。这证明试验采用的材料试件尺寸合适，因此在后续研究分析中可以忽略材料尺寸的影响。
　　试验拍摄速度为180 000 fps, 曝光时间为5.06 μs, 图像分辨率为336 256像素。对空化泡尺寸的测量采用灰度图像处理法：预设定一个灰度值作为区分空化泡边界与背景的临界值，然后读取图片内空化泡的灰度面积，作为空化泡的面积。此时假定空化泡为正圆形，根据圆的面积与半径的计算关系，推导得到空化泡的等效半径。
　　为了定量描述空化泡相对于边界的位置，空化泡与边界之间的无量纲距离定义为
　　式中，D为空化泡膨胀至最大时形心到边界表面的距离(mm);Rmax为空化泡的最大半径(mm)。
　　考虑到γ的影响，在试验中γ范围取0.60 2.50,通过精确控制放电电极的位置，用60组左右的数据来实现对γ范围的均匀覆盖。2 试验结果
　　2.1 不同弹性材料附近空化泡迁移特性
　　利用低压直流脉冲诱发空化泡系统，比较相同无量纲距离条件下(γ 1.60)相同大小空化泡在刚性边界(6061铝合金)和不同弹性材料边界的演变特性，如图2所示，其中，图2中每一帧的左右上角分别显示了对应的帧序号和时间，为了更好的展现空化泡在溃灭前后的形态演变过程，对该时间段内的摄影图像进行了重点展示。此外，对不同工况的弹性材料的差异性进行了对比，如表3所列。可见刚性边界附近空化泡溃灭时具有明显的趋壁效应，而不同弹性边界附近空化泡朝向边界的迁移趋势有所不同。出现该现象的成因可以解释为：在刚性边界的影响下，空化泡在收缩至溃灭阶段期间，靠近边界一侧的水体受到边界的阻滞作用，而远离边界一侧的水体属于无界域，由此造成了空化泡两侧收缩过程的不对称性，其中远离边界一侧的空化泡表面收缩速度快于靠近边界一侧的空化泡表面，最终形成了直接冲击刚性边界的微射流；而弹性边界条件下，随着空化泡的收缩，边界材料会出现较明显的拉伸形变，可一定程度的弱化边界对水体回流的阻滞作用，进而弱化了空化泡收缩过程的不对称性，由此使得空化泡向边界迁移的趋势变弱。
　　图2 不同弹性边界附近空化泡演变过程
　　图2 不同弹性边界附近空化泡演变过程
　　图2 不同弹性边界附近空化泡演变过程
　　从不同弹性材料附近空化泡迁移的图像中截取γ分别约为1.30、1.60、1.90对应的空化泡形心至边界的距离变化全过程，且选出的每组图像中空化泡最大半径较为一致。空化泡形心至边界的距离D随空化泡演变时间的变化过程如图3所示。
　　图3 空化泡中心至边界的距离D随演变时间t变化过程
　　由于每组数据中的Rmax较为稳定，即每组空化泡的演变周期较为一致，可将图2和图3中的时间一一对照，分析空化泡迁移随演变时间的变化过程。可见空化泡迁移行为集中体现在第一周期的收缩-第二周期回弹膨胀期间。(g)组刚性边界附近空化泡在收缩初期便有小幅度的迁移；而弹性边界中只有弹性模量较大的(e)、(f)组有类似现象，(a)—(d)组在空化泡收缩期间至边界的距离基本不变。散点图的斜率可以反映空化泡的迁移速度。斜率最大值出现在空化泡溃灭至二次膨胀期间，表明空化泡迁移速度的最大值出现在溃灭-二次膨胀这一变化过程中。随着γ增加，斜率逐渐变小，对应空化泡迁移最大速度变小，说明边界对空化泡的吸引影响会随着γ增加而逐渐减小。随着边界弹性模量下降，散点图的斜率随之降低，空化泡的迁移速度也相应变小，表明边界材料的弹性对空化泡的迁移特性有明显影响。
　　当γ为1.30左右时(对应图3中绿色散点),(e)、(f)、(g)组中的空化泡在溃灭后直接冲击到边界表面。而从(d)组至(a)组随着边界弹性模量减小，空化泡在迁移过程结束后，至边界的距离逐渐变大。虽然此时空化泡至边界表面尚有一定距离，但在第二周期膨胀后便不再向边界迁移，至边界的距离基本不再改变。
　　当γ为1.60左右时(对应图3中红色散点),不同弹性边界的空化泡迁移行为出现明显差异。g组刚性边界空化泡的迁移过程并不是一次完成的，而是在第二周期溃灭时又一次加速靠近刚性边界迁移，并最终达到和γ在1.30时一样几乎与边界表面贴合的距离，表现出非常强的趋壁效应。弹性边界附近的空化泡则没有出现二次迁移行为，而是在溃灭-回弹期间迁移完成后，逐渐朝着边界方向缓慢移动，其中(f)组229硅胶弹性边界的空化泡达到了与边界表面贴合的距离。而(a)—(e)组最终也没有达到与γ在1.30时贴合至边界表面的距离，两者之间有明显的距离差。如图2中(g)组第20 22帧所示，空化泡第二次溃灭期间有明显的向边界迁移的现象，并在第23 24帧出现了沿着边界两侧发展的较大范围的溅射流。(f)组图中空化泡在第二次溃灭后朝向边界迁移的趋势稍弱，在空化泡达到边界表面后形成的溅射流范围也要小于g组[图2的(f)、(g)组中，第24帧对应时刻一致],说明虽然最终也贴合在了边界表面，但迁移发展过程的剧烈程度有所减弱。而(e)组图中仅空化泡的局部接触了弹性边界表面，在冲击表面后扩散出的溅射流范围较(f)组进一步变小，空化泡形心至边界表面仍保持一段距离。(c)、(d)组中空化泡的迁移过程散点图斜率有明显的变缓，表明相较(e)、(f)、(g)组，此时空化泡的迁移过程变缓；同时出现迁移的时间节点也稍有靠后，更接近空化泡溃灭时刻。(d)组空化泡的一部分最终接触到了边界表面，但形成的溅射流范围很小，说明空化泡对边界的冲击较弱；(c)组空化泡仅在靠近边界的端部与边界表面发生接触，且溅射流几乎不可见，因而对边界的造成的冲击微弱。(a)、(b)组中的空化泡迁移过程明显变缓，空化泡在第一次溃灭期间有很小幅度的迁移，这之后空化泡便几乎不再有迁移行为。直至空化泡最后消散，空化泡残余甚至没有接触到边界表面，表明此时弹性边界对空化泡的吸引十分微弱。
　　当γ为1.90左右时(对应图3中蓝色散点),空化泡迁移行为的趋势整体有所变弱，散点图中斜率有明显的下降，说明迁移的速度变小。其中(f)、(g)组空化泡在经过一个明显的迁移过程后仍朝向边界缓慢靠近。而(a)—(e)组的空化泡在溃灭-二次膨胀过程中有不同程度的迁移，但相较于γ为1.60的情况距离边界更远，且没有进一步向边界移动的趋势。
　　不同弹性材料边界附近空化泡的迁移过程规律存在差异，空化泡的迁移量和迁移速度都会随着边界材料弹性模量的降低而下降。空化泡迁移过程主要体现在收缩-二次膨胀期间。
　　边界材料的弹性影响空化泡迁移特性。随着材料弹性模量的变化，空化泡的迁移规律值得进一步探讨。保持空化泡的大小一致，将空化泡与边界的无量纲距离γ作为控制条件，提取试验图像中空化泡的半径随演变时间变化过程散点图，如图4所示。记录空化泡膨胀至最大半径Rmax和回弹后的第二周期最大半径Rmax2对应时刻所在位置，将Rmax和Rmax2时刻空化泡形心至边界的距离D相减即可得到空化泡迁移距离d如图5所示。汇总所有试验结果即可得到迁移距离d随γ的变化过程如图6所示。
　　图4 刚性边界附近空化泡半径R随时间变化过程 (Rmax=8.3 mm, γ=1.42)
　　图5 刚性边界附近空化泡迁移距离示意
　　图6 不同弹性边界附近空化泡迁移距离d随γ的变化结果
　　由图6可见，(g)组6061铝合金刚性材料边界附近空化泡的迁移距离d整体要大于(a)—(f)组弹性材料边界。随着无量纲距离γ增加，刚性材料边界附近空化泡的迁移距离呈现出先增大、再趋稳、最后减小的趋势：γ在0.60 1.30区间的空化泡迁移距离增加；γ在1.30 1.60区间迁移距离达到最大，约为8.0 mm; 当γ>1.60时，随着γ继续增大，空化泡迁移距离逐渐减小。
　　当空化泡距离刚性边界较近，即γ较小时有很强的趋壁效应，使得空化泡朝向刚性边界迁移，甚至直接演变成附壁型空化泡。但由于空化泡到刚性边界的距离偏小，使得迁移距离受到限制。因此在空化泡从附壁型溃灭逐渐过渡到朝向刚性边界溃灭时，迁移距离d逐渐增加。当γ继续增加至空化泡第二周期膨胀刚好达到刚性边界表面，恰好不受到刚性边界表面限制时，迁移距离d即达到了最大值。然后随γ的增加，在刚性边界的影响下，空化泡迁移距离均保持一定。再进一步增大γ时，空化泡受刚性边界的影响开始减弱，迁移距离开始逐渐减小，在γ=2.50附近时迁移距离d约为6.0 mm。
　　对于(b)—(f)组弹性材料附近空化泡，整体规律与刚性边界的大体类似，但是各组在迁移距离和趋势转变对应γ的临界点上有一定差异：(f)组(Et=9.7 MPa)附近的空化泡迁移结果显示，当无量纲距离γ在1.30 1.46时空化泡达到了最大迁移距离，约为8.0 mm。γ在1.80 2.00区间的数据稍显离散。随后d转变为下降趋势。(e)组(Et=8.2 MPa)在γ为1.37 1.68时达到了最大迁移距离约8.0 mm。而γ在1.60 1.80区间波动较为剧烈，说明在这一区间内的空化泡对边界的趋壁效应出现变化。(d)组(Et=4.6 MPa)空化泡的迁移距离在γ为1.44和1.62两侧有明显拐点，最大迁移距离较前几组有所减小，为7.5 mm。在γ=1.65附近数据点有一定的波动，表明空化泡在此处的迁移表现开始改变。(c)组(Et=2.5 MPa)空化泡在γ=1.15 1.58时达到了最大迁移距离6.9 mm左右。随后γ在1.60附近迁移距离数据呈现出离散并有明显下降。(b)组(Et=1.0 MPa)附近空化泡可明显看出d随着γ增加而增加的区间，在γ=1.11处达到最大迁移距离5.7 mm。随后在γ=1.11 1.40迁移距离逐渐下降，在γ=1.40 1.50迁移距离明显减少，说明此时空化泡趋壁效应有显著减弱。(a)组(Et=0.3 MPa)的规律较以上几组区别较大，d随着γ增加而增加并在γ=1.13时达到最大迁移距离3.9 mm, 要明显小于以上几组的结果。之后迁移距离便在γ=1.18附近出现断崖式下降，直接降至2.0 mm左右，说明此无量纲距离外空化泡不再有明显趋壁效应。
　　通过提取图6中的最大迁移距离，结合图像排除极个别数据误差，得到空化泡最大迁移距离典型值dmax,如表4所列。由表可见，弹性材料边界附近的空化泡的迁移距离特征明显区别于刚性材料边界：弹性模量越小，空化泡的迁移距离越少，趋壁效应越弱。值得注意的是，在(a)—(f)组弹性材料边界的空化泡迁移距离，会在某个特定γ区间出现迁移距离数据波动或跳跃变化，这不仅反映出了弹性边界材料对空化泡迁移特性的影响，还包含了空化泡对不同弹性材料边界溃灭冲击范围的变化。
　　由于不同尺寸的空化泡在相同无量纲距离γ下有着不同的迁移距离d。为了研究不同空化泡尺寸对迁移距离的影响，选择迁移距离和规律更显著的6061铝合金、229硅胶材料边界和处在居中弹性模量的216-2硅胶材料作为边界，通过改变电压值和放电电极搭接点的位置，开展大量离散尺寸空化泡(Rmax=6.0 10.0 mm)和不同无量纲距离的空化泡迁移特性试验。将迁移距离的统计结果与图6中对应的空化泡迁移距离结果进行综合比较如图7所示。
　　图7 不同尺寸的空化泡迁移距离比较
　　由图7可见，在相同无量纲距离γ条件下，不同尺寸的空化泡有着不同的迁移距离d。迁移距离在数值上与空化泡的大小有着明显差异，但二者的总体规律趋势是一致的。在无量纲距离γ一定的情况下，大空化泡有着较大的迁移距离，而小空化泡的迁移距离则偏小，说明空化泡尺寸对d存在影响。为了得到空化泡d与无量纲距离γ的一般关系，需要将d进行无量纲化处理
　　式中，d′为无量纲迁移距离。
　　利用式(2)将迁移距离d转化为无量纲迁移距离d′,建立空化泡无量纲迁移距离d′与无量纲距离γ的关系如图8所示。
　　图8 无量纲迁移距离d′与γ关系
　　无量纲化处理后，空化泡无量纲迁移距离d′与其至边界的无量纲距离γ的关系总体趋势保持不变，且数据点的离散程度有明显减小。由(c)、(f)、(g)组中数据点可见，在取无量纲迁移距离d′后，两组数据关系趋势保持一致，且高度重合。由此表明无量纲处理的方式是合理的。对于刚性边界附近空化泡，其最大无量纲迁移距离d′max约为1.00,这说明空化泡的迁移距离正好与空化泡的最大半径值相当，而随着边界弹性模量的减小，d′max随之下降。
　　由于dmax和d′max均与材料弹性模量密切相关，为了进一步得到空化泡迁移特性和边界材料弹性的一般关系，需要将弹性模量值进行无量纲化处理
　　式中，E′t为无量纲拉伸弹性模量；E′c为无量纲压缩弹性模量；ρ为液体密度，在本试验中取水的密度；g为重力加速度。
　　由图2刚性边界与弹性边界附近空化泡溃灭过程比较可见，空化泡的溃灭朝向和迁移趋势出现在收缩-二次膨胀期间，此时弹性边界材料有明显的拉伸变形，从而减弱了空化泡对弹性边界的趋壁效应。因此，空化泡的迁移特性应与边界材料拉伸弹性模量有关，可以建立dmax与Et的关系如图9所示。
　　图9 空化泡dmax与边界材料Et的关系
　　由图9可见，随着边界材料Et的增加，dmax先明显增加，然后逐渐趋于稳定，并接近刚性边界条件下对应的dmax。将Et和dmax的数值经无量纲化处理后，得到图10。无量纲化后的关系趋势与图9中的基本一致。可以利用Levenberg-Marquardt非线性最小二乘方法进行回归分析，得到d′max与E′t的函数关系
　　图10 空化泡d′max与边界材料E′t的关系
　　通过回归分析拟合出的曲线R2为0.986,调整后R2为0.983,相关性很强，拟合结果较好。根据拟合曲线的趋势和式(5),当E′t趋于无穷大时，d′max接近1,与刚性边界对应的试验结果d′最大值较为吻合；当Et′趋于0时，边界条件接近自由液面，而自由液面附近空化泡会远离边界迁移，因而当自由液面不对空化泡演变产生影响时，d′max趋于0,即空化泡不受边界影响，没有发生迁移。拟合关系与实际情况较为符合。因此，利用d′max与E′t的经验关系式，可以预测某一弹性模量边界附近空化泡的迁移特性。
　　2.2 不同弹性材料附近空化泡周期性差异
　　空化泡的周期是空化泡的重要特征。空化泡在边界附近演变时，会受γ影响导致演变周期发生延长或缩短,长期以来空化泡演变期间的周期特性备受关注。本文主要关注在不同弹性边界条件下的空化泡周期性差异。位于无限范围内的液体中球形空化泡的振荡时间tosc定义为空化泡初生到之后的第一个最小体积之间的周期。通常可以将其近似为雷利(Rayleigh)溃灭时间的两倍,利用雷利方程求解，tosc与最大半径Rmax的关系为
　　式中，ρ为液体的密度(1 000 kg/m3);p为液体的静压，即当地大气压；pv为空化泡内部的蒸气压，假设忽略不计。
　　为了便于比较周期的差异，取空化泡演变的无量纲周期t′,定义为
　　本文研究不涉及空化初生即空化泡膨胀阶段，仅研究空化泡膨胀至最大之后的演变过程，因而取收缩阶段标准化周期τ,定义为
　　式中，tc为空化泡最大半径到第一次溃灭的时间。
　　通过图像识别得到无边界条件下空化泡收缩阶段时间，利用式(6)和式(8)进行标准化处理，结果如图11所示。无边界空化泡收缩阶段的标准化周期τ平均值为1.02,标准差0.023,与雷利方程理论结果非常接近。
　　图11 无边界空化泡收缩阶段标准化周期
　　当空化泡在边界附近时，空化泡的周期特性会受到边界的影响而发生改变，周期性受到影响的程度与γ有一定关系。通过截取空化泡在收缩阶段经历的时间，利用式(6)、式(7)和式(8)得到不同弹性材料边界附近空化泡收缩阶段的标准化周期如图12所示。
　　图12 不同弹性边界附近空化泡收缩阶段τ与γ的关系
　　由图12可见，不同弹性材料边界附近的空化泡τ均大于1,说明空化泡受边界条件的影响，周期性出现了延长。随着无量纲距离的增加，空化泡周期性受边界的影响逐渐减弱，标准化周期逐渐接近1。为了进一步验证标准化周期处理方法的合理性，在图12结果(空化泡半径范围7.5 8.5 mm)的基础上，补充了大量空化泡半径在5.0 10.0 mm的试验数据，将这些数据叠加在一起展示如图13所示。
　　图13 不同边界附近不同尺寸空化泡的标准化周期
　　由图13可见，加入了离散空化泡尺寸的周期数据后，与相近空化泡尺寸的结果相比较，无论是刚性边界还是弹性边界，整体都呈现出了一致的规律趋势。这说明式(6)、式(7)和式(8)的标准化周期处理方式具有一般性。离散尺寸的空化泡受不同边界的影响，分别表现出了相似的标准化周期特性。
　　不同弹性边界延长了空化泡的演变周期，同时空化泡的周期性受γ的影响非常明显，特别是在γ小于1.50时，无量纲距离越小，标准化周期延长的越显著。另一个明显特征是，随着弹性模量的增加，直至刚性，标准化周期呈现先增大后减小的变化趋势。结合空化泡收缩过程中对边界造成的隆起变形可一定程度的解释这一现象：弹性边界材料在空化泡收缩过程中的变形响应，使空化泡的收缩过程在一开始较为平顺。当弹性边界隆起至最大高度后，由于此时边界与空化泡底面贴合的较为紧密，不利于周围水体的回补，边界响应转为对空化泡收缩过程的阻滞；弹性边界隆起过程占空化泡收缩过程越少，阻滞作用就体现的越明显，从Et=0.3 2.5 MPa体现出了这样的过程；随着边界材料弹性模量进一步增加，边界隆起变形响应较弱，在空化泡收缩过程中由边界隆起回补变少，边界与空化泡底面的贴合程度也变得不再紧密，在收缩过程中周围水体回补的过程受边界与空化泡贴合的影响减小，因而使得空化泡的标准化周期出现了递减，从Et=4.6 9.7 MPa表现出了这一过程。229硅胶与6061铝合金边界的标准化周期随无量纲距离的变化规律非常接近，这与229硅胶材料表现出的更迟钝的变形响应有关。
　　图14显示了边界对空化泡周期影响的相关研究。在本文的试验中，黑色实线、蓝色和红色虚线分别是刚性和弹性边界情况的拟合曲线。此外，刚性边界、自由表面和弹性边界的数据点来自BRUJAN等、BEST等和MA等,分别用不同的记号点标示出来。尽管试验方法和设置各不相同，但得到的标准化周期结果在趋势上是一致的。空化泡的标准化周期明显分为两部分：对于不同弹性边界τ>1;对于自由表面τ<1。而τ与γ的关系趋势也有着相似的趋势：不同弹性边界的空化泡收缩阶段标准化周期τ随着γ的增加而逐渐降低；τ总是大于雷利方程理论值1。此外，还有一个明显特征是文献中的刚性边界空化泡标准化周期大于受弹性边界影响的空化泡。而本文试验中出现了随着边界弹性模量增加，τ先增加后减小的现象。BRUJAN的研究中没有出现这一现象的原因可能是采用了比本文试验中弹性模量还要小的材料作为弹性边界，其材料的弹性响应更好，使空化泡表面的收缩过程明显相对缩短；MA使用弹性薄板作为边界，边界受空化泡收缩而出现隆起的拉伸变形过程与本文中使用的忽略厚度影响的块体边界表现不大相似。
　　图14 不同边界附近空化泡标准化周期对比
　　为了更为直观的展示出空化泡的收缩过程，以及不同边界条件对周期的影响，选取近边界空化泡的数据(γ约1.35),绘制不同边界附近空化泡无量纲半径随无量纲演变时间的变化过程如图15所示。不同弹性边界条件延长了空化泡的演变过程，从无边界到弹性、刚性边界条件，标准化周期出现了先增加后减小的变化过程。影响周期出现这一变化过程的原因在于不同弹性边界对空化泡的变形响应差异。此外，从图中可见空化泡溃灭后回弹进入第二个演化周期时，不同边界条件下的周期出现了巨大差异。无边界条件时空化泡的演变过程几乎与第一周期一致，而弹性边界附近空化泡则有不同程度的延长，刚性边界对第二周期的延长最为明显。
　　图15 不同边界附近空化泡无量纲半径随演变时间变化过程
　　3 结 论
　　本文通过试验研究了不同弹性边界附近空化泡动力学特性，包括空化泡迁移和周期特性，主要得出以下结论：
　　(1)随着空化泡收缩，弹性边界表面出现较大的拉伸隆起变形，一定程度的弱化了边界对水体回流的阻滞，从而弱化了空化泡收缩过程的不对称性，由此减弱了空化泡的趋壁效应。
　　(2)通过定量分析不同弹性边界附近空化泡朝向边界的迁移量随时间变化过程，发现空化泡迁移过程主要体现在收缩-二次膨胀期间。随着边界材料弹性模量的降低，空化泡的迁移量和迁移速度下降。进一步建立了无量纲迁移量d′max和无量纲拉伸弹性模量E′t的关系式，可以预测某一弹性边界附近空化泡的迁移特性。
　　(3)统计分析了空化泡收缩阶段的周期性差异。由于不同弹性边界受空化泡影响下的变形响应不同，空化泡收缩阶段标准化周期τ出现了不同程度的增大。特定弹性边界条件下空化泡的周期受无量纲距离γ的影响，γ越小周期延长的越明显。
　　由此可见，空化泡在弹性边界附近溃灭时，会使空化泡溃灭强度有一定的降低。在泄水建筑物容易出现空蚀破坏的区域运用弹性材料，可能一定程度上减弱空化对过流边壁的空蚀破坏程度，从而延长泄水建筑物的使用寿命。
　　水利水电技术（中英文）
　　水利部《水利水电技术（中英文）》杂志是中国水利水电行业的综合性技术期刊（月刊），为全国中文核心期刊，面向国内外公开发行。本刊以介绍我国水资源的开发、利用、治理、配置、节约和保护，以及水利水电工程的勘测、设计、施工、运行管理和科学研究等方面的技术经验为主，同时也报道国外的先进技术。期刊主要栏目有:水文水资源、水工建筑、工程施工、工程基础、水力学、机电技术、泥沙研究、水环境与水生态、运行管理、试验研究、工程地质、金属结构、水利经济、水利规划、防汛抗旱、建设管理、新能源、城市水利、农村水利、水土保持、水库移民、水利现代化、国际水利等。