任意角的三角函数 教学目标: 1 .通过对初中锐角三角函数定义的回忆,掌握任意角三角函数的定义法,并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值. 2 .掌握已知角 终边上一点坐标,求四个三角函数值.(即给角求值问题) 教学重点: 任意角的三角函数的定义. 教学难点: 任意角的三角函数的定义,正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示. 教学用具: 直尺、圆规、投影仪. 教学步骤: 1 .设置情境 角的范围已经推广,那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢?本节课就来讨论这一问题. 2 .探索研究 ( 1 )复习回忆锐角三角函数 我们已经学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角 为自变量,以比值为函数值,定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数,本节课我们研究当角 是一个任意角时,其三角函数的定义及其几何表示. ( 2 )任意角的三角函数定义 如图 1 ,设 是任意角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,当角 在第一、二、三、四象限时的情形,它与原点的距离为 ,则 . 定义:①比值 叫做 的正弦,记作 ,即 . ②比值 叫做 的余弦,记作 ,即 . 图 1 ③比值 叫做 的正切,记作 ,即 . 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件 提问:对于确定的角 ,这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢? 利用三角形相似的知识,可以得出对于角 ,这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关,只与角 的大小有关. 请同学们观察当 时, 的终边在 轴上,此时终边上任一点 的横坐标 都等于 0 ,所以 无意义,除此之外,对于确定的角 ,上面三个比值都是惟一确定的.把上面定义中三个比的前项、后项交换,那么得到另外三个定义. ④比值 叫做 的余切,记作 ,则 . ⑤比值 叫做 的正割,记作 ,则 . ⑥比值 叫做 的余割,记作 ,则 . 可以看出:当 时, 的终边在 轴上,这时 的纵坐标 都等于 0 ,所以 与 的值不存在,当 时, 的值不存在,除此之外,对于确定的角 ,比值 , , 分别是一个确定的实数,所以我们把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上六种函数统称三角函数. ( 3 )三角函数是以实数为自变量的函数 对于确定的角 ,如图 2 所示, , , 分别对应的比值各是一个确定的实数,因此,正弦,余弦,正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,当采用弧度制来度量角时,每一个确定的角有惟一确定的弧度数,这是一个实数,所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量,以比值为函数值的函数. 即:实数 角(其弧度数等于这个实数) 三角函数值(实数) ( 4 )三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线,如下图 3 . 图 3 设任意角 的顶点在原点 ,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 ,过 作 轴的垂线,垂足为 ;过点 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与角 的终边(当 为第一、四象限时)或其反向延长线(当 为第二、三象限时)相交于 ,当角 的终边不在坐标轴上时,我们把 , 都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫有向线段.由正弦、余弦、正切函数的定义有: 这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.当角 的终边在 轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角 的终边在 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在. ( 5 )例题讲评 【例 1 】已知角 的终边经过 ,求 的六个三角函数值(如图 4 ). 解: 提问:若将 改为 ,如何求 的六个三角函数值呢?(分 , 两种情形讨论) 【例 2 】求下列各角的六个三角函数值 ( 1 ) ;( 2 ) ;( 3 ) . 解:( 1 ) 当 时, , , , 不存在, , 不存在 ( 2 ) 当 时, , , 不存在 不存在 ( 3 )当 时, , 不存在 不存在 【例 3 】作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.( 1 ) ;( 2 ) . 解: , 的正弦线,余弦线,正切线分别为 . 【例 4 】求证:当 为锐角时, . 证明:如右图,作单位圆,当 时作出正弦线 和正切线 ,连 利用三角函数线还可以得出如下结论 的充要条件是 为第一象限角. 的充要条件是 为第三象限角. 练习(学生板演,利用投影仪) ( 1 )角 的终边在直线 上,求 的六个三角函数值. ( 2 )角 的终边经过点 ,求 , , , 的值. ( 3 )说明 的理由. . 解答: ( 1 )先确定终边位置 ①如 在第一象限,在其上任取一点 , ,则 , ②如 在第三象限,在终边上任取一点 ,则 , ( 2 )若 ,不妨令 ,则 在第二角限 ( 3 )在 终边上任取一点 ,因为 与 终边相同,故 也为角 终边上一点,所以 成立. 说明:以后会知道,求三角函数值的方法有多种途径.用定义求角 的三角函数值,是基本方法之一.当角终边不确定时,要首先确定终边位置,然后再在终边上取一个点来计算函数值. 3 .反馈训练 ( 1 )若角 终边上有一点 ,则下列函数值不存在的是( ). A . B . C . D . ( 2 )函数 的定义域是( ). A . B . C . D . ( 3 )若 , 都有意义,则 . ( 4 )若角 的终边过点 ,且 ,则 . 参考答案:( 1 ) D ;( 2 ) B ;( 3 ) 或 8 ,说明点 在半径为 的圆上;( 4 )- 6 . 4 .本课小结 利用定义求三角函数值,首先要建立直角坐标系,角顶点和始边要按既定的位置设置.角 的三角函数定义式,其实是比例的化身,它的背后是相似形在支称着,不过这个定义具有一般性,如轴上角的三角函数,如果没有定义作为论据,欲求其函数性就不是很容易. 分类讨论(角位置)是三角函数求值过程中,使用频率非常高的一个数学思想,而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴. 课时作业: 1 .已知角 的终边经过下列各点,求角 的六个三角函数值. ( 1 ) ( 2 ) 2 .计算 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 3 .化简 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 参考答案: 1 .( 1 ) , , , , , ( 2 ) , , , , , 2 .( 1 )- 2 ;( 2 ) 8 ;( 3 )- 1 ;( 4 ) 3 .( 1 ) 0 ;( 2 ) ;( 3 ) ;( 4 ) 下学期>>4.3 任意角的三角函数