拓扑学究竟是一种什么样的学科?
作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,"数学英才"获授权转载,在此感谢!
不变
拓扑学属于几何学。
在欧氏几何中,刚性运动保持内积不变:即平移、旋转、翻折保持长度、角度不变;仿射几何中仿射变换则是保持单比不变;射影几何中射影变换则是保持交比不变……几何学的精神就是研究几何对象在特定变换下的不变性。这就是菲利克斯·克莱因在1872年发表的爱尔兰根纲领中的重要思想。
那么沿着这个思路,拓扑学研究的就是——在连续映射下保持不变的性质。上面提及的变换、映射都是连续变换,它们为我们研究各种连续变换提供了丰富的例子。连续变换可以说是几何学中最为一般的变换,它可能不会保持长度,也可能不会保持比例……但是几何对象在任意连续映射下,总有些本质是不变的。
连续
了解拓扑学,前提是对连续性有一定的了解。对连续性的感性认知,人人生而就有:两个原本很近的点,经过连续映射后,它们的像点也很近。
我这里用了"近"这个感性的描述,事实上暗示了(拓扑)空间可能存在度量。诚然,度量诱导拓扑是十分自然的事情,足以应对常见的情形,不过数学家并不止步于此,因为"远近"的概念还是没有完全摆脱欧氏空间给我们带来的束缚。邻域,则是从最基本的点集出发,为我们提供了"近"这一概念更一般性的刻画,于是造就了更具包容性的理论。
我们最常见的邻域是度量空间中的开球。邻域,简单来说就是描述一个(拓扑)空间的点是以什么样的方式聚集在一起的。它们被一份一份地打包起来,而连续映射其实是这些"包裹"的快递员。快递打包的灵活性,取决于邻域的丰富性。邻域就像是泡泡,两个泡泡并集是一个大的泡泡,两个泡泡交集会产生一个小泡泡。这些泡泡都可以作为快递的包裹。
包裹从一个空间快递到另一个空间是不能"打散"的,打散则就意味着连续性的破坏。每一个完好无损被邮递过来的包裹,一定原先也是完好无损的,这就是连续性。
同胚
如果两个空间存在一个连续映射,其逆映射也连续,我们就说两者同胚。同胚就意味着两者的一切拓扑性质都相同:
同胚,那么从出发到任意其他的拓扑空间的连续映射,都自然对应一个从到的连续映射;反过来,如果到的有一个连续映射,那么一定有一个从到的映射。按范畴论的思想,这并无本质区别,可以视为同一个对象(设想两个人的人际关系网完全一样,那么这两个人的社会身份是一样的,即人是社会关系的总和)。
将一个正方形压扁成一根线段是连续映射,
但是这个映射不是同胚映射,显然它不可逆。从图形角度看这个"压扁映射",它之所以不是同胚,是因为它将正方形上的点的邻域降维了。
科幻小说《三体》中用二向箔降维打击太阳系
虽然正方形和线段不同胚,但是两者同伦。同伦是一个随时间变量变化的连续变形,同伦允许将对象"压扁"。事实上,同胚映射要求太高了,哪怕建立同伦也是十分困难的事情。
甜甜圈同胚于咖啡杯,因为两者的亏格都是;如果在游泳圈(空心)表面挖去一个圆盘呢?它同胚于何物?上图为我们展示了这个连续变化的过程,其同胚型是两个平环在一个正方形区域粘贴重合。如果求其同伦型,则可以继续压缩变细,最终成为两个圆周的一点并。
代数
不变量其实是为了分类。
同胚(同伦、同调)显然是一个等价关系,彼此不同胚的拓扑空间,它们注定有质的区别。闭曲面分类定理告诉我们,这个区别就在于"洞"的个数,称之为亏格。对于低维空间,这都是显而易见的,那如何探讨更高维的不变量呢?
与此同时,数学家不再满足"不变量",谁说不变量非得是个数呢?拓扑空间是否可以用其所蕴含的群作为名片?代数和拓扑应运而生。例如由拓扑空间上道路的接续作为乘法而构成的群——基本群,由闭链的形式和所构成的交换群——同调群……这些群的定义不受维数的影响,是研究高维拓扑空间的利器。事实上,拓扑空间各个维数同调群的秩的交错和,恰恰等于欧拉示性数,而后者与亏格有关。回忆黄金多面体的欧拉公式:
这是一个交错和的形式。这里的就是球面的欧拉示性数,因为黄金多面体和球面同胚。
到目前为止,就连关于高维球面的同伦群(稳定同伦群理论)仍然由许多未解之谜,数学家为此开发了许多代数拓扑工具:同伦论、同调代数、谱序列……
微分
Morse理论:流形在临界点(红色)决定流形的拓扑结构
正如前文所述,一般的拓扑空间可能都不具备度量。但是如果想将分析的工具应用在拓扑学中,我们不得不对拓扑空间的光滑性有一定要求,我们称之为微分拓扑流形。
流形上的向量场是切丛的截面。所谓切丛由流形每一点的切空间(切线、切平面……)构成。Hopf-Poincare定理告诉我们,流形上向量场的所有奇点指数,与流形的欧拉示性数有关。而Morse理论则告诉我们,通过流行嵌入到欧氏空间中的高度函数的非退化临界点,可以决定流形生长的细节——在哪里分叉,在哪里闭合,于是其同伦型也就被决定了。仅仅是研究切丛就获得了如此丰富的信息,著名的Gauss-Bonnet-Chern(陈省身)定理更是暗示流形的纤维丛蕴藏着更丰富信息……
纽结理论——拓扑学分支,研究圆周在三维空间嵌入的同痕分类。图中为右手三叶结。纽结理论和规范场理论以及弦论有着很深刻的联系,例如杨振宁的Yang-Baxter方程与扭结的Reidemester变换形式相同。
数学英才
中学生英才计划
数学学科官方公众号
推送数学微慕课和学习资料
全球首次,普通手机即将实现卫星电话功能我国多家牛逼央企和头部手机厂商合作,经过各种加班加点的研发,完成全球第一款手机北斗短报文通信射频基带一体化芯片,这款牛逼的芯片可以让我们的智能手机一号双网,实现不换卡不换号不增加外
超级玛丽欧兄弟u豪华隐藏关卡新手一键通关攻略新超级马里奥兄弟U豪华版每个世界都有隐藏关卡,不仔细看一般很难发现。以下是如何解锁世界2甜品沙漠中隐藏的关卡。加蓬铁球滚下坡道中的甜品隐藏关卡在关卡的中后段,有图中箭头板的位置。其
火龙传奇新手攻略1。注册新账号进入游戏最先就是选择创建的职业类别,总的来说道士职业法师职业和战士职业初期并没有区别,火龙还是要靠武器装备等级来刷装备PK的,依照个人兴趣爱好来选择。创建好每日任务以
vivoX80和荣耀70Pro有哪些优缺点?该怎么选?有一说一,vivoX80和荣耀70Pro都是主打拍照的机型,虽然在侧重点上又有不少的区别,而且价格也比较接近,但两款机型的选择,我更倾向于vivoX80!vivoX80和荣耀70P
苹果新机即将量产,售价接近2W随着时间步入8月下旬,距离9月的苹果秋季发布会已经不远了。想必大家都已经开始期待iPhone14系列的正式亮相了吧。除了新iPhone之外,另一款酝酿多时的苹果新品同样值得期待,正
好评率97红米K50Ultra可以入手吗?作为骁龙8Gen1处理器的红米K50Ultra,表现还是不错的,各方面比较均衡,而且2999元起售的价格虽然看起来没那么小米,但也基本符合预期!其实不仅是红米K50Ultra,今年
让你的居家生活更舒适,可以放心闭眼买的好物推荐两个月前和大家分享了几款提升居家幸福感的家用电器,收获了许多值友的点赞和评论,有一丢丢小小的成就感。最近又陆陆续续体验了几件智能家电,特意挑选了三款值得推荐的产品再次整理成文分享给
11寸2。5k屏幕,骁龙860!是否让你动心?2021年8月10日发布的小米平板5是小米平板的回归之作,拥有不俗的性价比,配置均衡,首发搭载骁龙860处理器,可能很多人没听过,这个就是骁龙855处理器的马甲版,cpu大致相当于
诺基亚又现神机手机里暗藏蓝牙耳机售价599元7月份,诺基亚推出三款经典新机,其中有款自带耳机的手机令人印象深刻,该机正是主打音频使用体验的诺基亚5710XpressAudio。现在,诺基亚5710XpressAudio正式上
KPL一场比赛六个热搜,AG与Hero这一战,说明了什么?随着暑假接近尾声,KPL的夏季赛也来到了季后赛的阶段,不得不承认的一点,还是线下观赛更能激发热情,在KPL官方宣布季后赛开启线下赛场之后,以往熟悉的电竞观赛感觉又回来了,备受关注的
养育女儿,父母不能心软,培养女儿的三股狠劲,未来会很受益很多老一辈人的观念都认为养女儿不用太过费心,认为只需要将女儿养大即可,反正到时候都是要嫁给其他人的。但这样陈旧的观念已经逐步被淘汰掉了,现在很多年轻家长更热衷于生一个女儿,而且还要