三角函数系中隐藏的秘密
单刀直入,三角函数系1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos 3x,sin 3x,…,cos nx,sin nx,…有一个非常重要的性质:他们当中任意两个不同的函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0。即
而两个相同函数的乘积在区间[-π,π]上的积分不等于0。除了1 1在区间[-π,π]上的积分等于2π,sin nx乘以sin nx和cos nx乘以cos nx在区间[-π,π]上的积分都等于π,此处n为大于0的自然数。即
正是因为知道了这个性质,当把函数展开成傅里叶级数时,傅里叶系数的确定就变得简单多了。
假如一个以2π为周期的周期函数f(x),能展开成傅里叶级数,如下
当然对于这个函数能展开成傅里叶级数的条件,并不是我们今天讨论的重点,我们只是假设其能展开成傅立里级数,只是不知道傅里叶系数a₀,a₁,b₁,a₂,b₂…的值是多少,想求之。
我们想求aₙ,只要令f(x)乘以cos nx,在区间[-π,π]上的积分一下就会得到一份惊喜。(其中想求a₀得让f(x)乘以cos0即1)
我们想求bₙ,只要令f(x)乘以sin nx,在区间[-π,π]上的积分一下同样会得到一份惊喜。
这样我们就求得了傅里叶系数。
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