华人数学家死磕欧拉方程10年，用计算机找到了让它失效的奇点

　　金磊 发自 凹非寺
　　量子位 | 公众号 QbitAI
　　专研长达10年 ，论文足足177页 。
　　华人数学家通过计算机，找到了让著名欧拉方程 失效的＂奇点＂。
　　图源：Quanta Magazine
　　欧拉方程，是250年前（1755年） 由瑞士数学家欧拉提出，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。
　　它可以说是＂鼻祖级＂的方程，正如杜克大学数学家Tarek Elgindi的评价：
　　几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。
　　即便如此，几百年来仍有许多＂未解之谜＂让数学家们困惑不已。
　　例如原则上，如果你已知流体中每个粒子的位置和速度，欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演化下去。
　　但数学家们认为，欧拉方程在某个＂奇点＂上便会开始输出没有意义的数值，也就是无法再做精准预测。
　　而一旦达到这个点，人们就认为欧拉方程失效了，更戏剧化的说法，叫做产生了＂爆破＂ （blow up） 。
　　来自加州理工学院华人数学家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通过计算机对此做出了证明。
　　马里兰大学数学家Tristan Buckmaster在看完这项工作后说：这是一个惊人的结果。
　　此前从来没有过。 用计算机证明欧拉方程的＂爆破＂
　　早在2013年的时候，Thomas Hou和现在就职于香港恒生大学的Guo Luo就提出过一个假设：
　　欧拉方程会导致一个奇点。
　　为此，他们开发了一种计算机来模拟圆柱体中的流体：
　　圆柱体内的液体，上半部分是顺时针旋转，而下半部分则是逆时针旋转。
　　这两股相反方向的水流在运动的过程中，产生了其它复杂的情况——出现上下循环的水流。
　　而在它们相遇的地方，流体的涡度（描述流体旋转情况的流体力学概念） 以极快的速度增长，似乎随时就要＂爆破＂。
　　但他们当时的研究只能说对于＂奇点存在＂是具备启示性，并没有真正意义的证据。
　　这是因为计算机不可能计算出无穷大的值，它可以算出的是非常接近奇点的近似值，但并非是精准的那种。
　　事实上，当用更强大的计算方法探测时，明显的奇点却已经消失了。
　　也正因如此，普林斯顿大学数学家Charlie Fefferman评价过去人们对这件事的研究为：
　　问题非常的微妙，以至于到处都是模拟研究的＂残骸＂。
　　但Thomas Hou等人却不为所动，坚持＂死磕＂这一难题。
　　终于在9年后，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功证明了附近奇点的存在。
　　他们先是仔细分析了2013年的研究，发现那个近似解似乎有一个特殊的结构：
　　随着时间的推移，这些方程的解会呈现出一种所谓的＂自相似模式＂（self-similar pattern） ，它的形状后来看起来很像它的早期形状，只是以一种特定的方式重新缩放。
　　因此，二人认为不需要去研究奇点的本身，相反，可以关注更早的时间点来间接对它做研究。
　　具体而言，就是通过正确的速率放大解的这部分（是由解的自相似结构决定的） ，可以模拟之后会发生什么。
　　为此，他们花费了好几年的时间才找到了与2013年＂爆破＂情况类似的自我模拟方案。
　　然后二人需要做的工作，就是证明奇点附近存在一个精确的解。
　　从数学层面上来说，就是要证明他们找到的那个解是稳定的，即便对它进行扰动，结果也能在近似解周围小邻域的范围内。
　　但在这个过程中，Thomas Hou发现，他们不得不再借助计算机的力量，因为有太多的精度要确定，计算量简直大到惊人的程度。
　　但也正如刚才我们提到的，计算机是无法计算无穷大的值，微小的错误可以说是在所难免，因此他们也要小心地跟踪这些错误，以免影响到其它结果。
　　最终，在＂人机结合＂的方式之下，Thomas Hou和Jiajie Chen最终找到了所有项的边界，并完成了证明——
　　欧拉方程确实会产生一个奇点。
　　而这次的证明过程，让Thomas Hou感受颇深：
　　现在的数学工作不再是靠纸和笔，计算机是一种更强大的武器。
　　对此，Fefferman也补充道：
　　在我看来，如果不大量使用计算机辅助证明，就好像把（数学家）的双手绑在背后一样。 作者介绍
　　这项研究的作者之一是Thomas Hou，加州理工学院计算与数学科学教授，专攻数值分析和数学分析相关工作。
　　他本科就读于华南理工大学，于1982年获得学士学位；他的博士生涯是在加州大学洛杉矶分校完成。
　　1989年到1993年期间，他在纽约大学库朗数学科学研究所任教。
　　自1993年至今，他便一直在加州理工学院任教。
　　研究的另一位作者是Jiajie Chen，目前是纽约大学的数学科学家。
　　他在研究生期间就证明了各种流体方程式可以＂爆破＂。
　　论文地址：
　　https://arxiv.org/abs/2210.07191
　　参考链接：
　　[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
　　[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou
　　— 完 —
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