经典力学中最难的问题，至今没有答案

　　在美好的夏天，每个人都喜欢站在水边看浪花拍岸。但有多少人曾对水在运动过程中表现出的极端复杂性感到好奇？它的运动看起来既平滑又有规律，但当它拍碎在沙滩上后，就分裂成数以百计的水流和气泡，变得完全不可预测。正是纳维-斯托克斯方程组 （N-S方程组，Navier-Stokes equations）掌控着这种不可思议的复杂性。
　　大多数人都很熟悉牛顿第二定律：作用在物体上的力等于物体的质量和加速度的乘积。
　　牛顿第二定律
　　这个公式适用于世界上所有的宏观物体。但是如果你想知道液体的状态，你还要知道一些其它的东西——纳维-斯托克斯方程组。
　　在全世界范围内，工程师和物理学家把它们应用于从飞机设计到血液循环的众多领域。这些方程非常难解，这就是为什么它们是七个千禧年大奖难题（解决其中一个问题的奖金是100万美元）之一。
　　纳维-斯托克斯方程组
　　与任何高级公式一样，它看起来可能会令人心生畏惧，但它们所表示的概念并不复杂。我们将逐一探讨它们的含义，以理解它们为何如此重要。
　　介绍
　　开始之前我们要先做一些假设。
　　首先，我们研究的是牛顿流体 ，这是解释流体粘度的最简单的数学模型。现实中不存在真正的牛顿流体，但在大多数情况下，空气和水可以被视为牛顿流体。另一个非常重要的假设是，流体是不可压缩的 。这意味着它的密度 ρ 是一个常数 。
　　质量守恒
　　质量守恒公式
　　这个等式告诉我们，我们研究的流体的质量是守恒的。它可以改变自己的形状，但是从头至尾它的质量不变。
　　速度矢量的散度
　　现在让我们谈谈数学。字母表示流体的速度矢量，它有三个分量，我们可以把它们分别称为u，v，w，表示速度在x，y，z三个方向上的分量。希腊字母nabla  加上一个点乘符号代表散度算符 ，表示在各个方向 上对矢量的分量做微分操作 。
　　第一个导数表示速度的x分量如何随着空间x的变化而变化，另外两个导数代表着相同的含义。因为这个公式等于0，所以质量是守恒的。
　　动量守恒
　　动量守恒公式
　　第二个方程实际上是三个微分方程 组成的方程组，可以被看作流体的牛顿第二定律。如果我们将表达式展开，就可以得到一个复杂的方程组：
　　扩展后的动量守恒公式
　　为了理解起来简单，我们将忽略这个扩展形式，集中讨论动量守恒 。
　　当我们研究流体时，我们可以把质量和密度看作是相同的东西（只要它们的体积相同）。如果我们考虑两种流体，我们可以说密度较大的流体是＂较重＂的流体（例如汞和水中汞比较重）。其中用希腊字母ρ（rho）代表流体的密度。
　　现在我们有了质量，如果想利用牛顿第二定律，我们还需要获得加速度 ，也就是速度矢量的时间导数。
　　加速度是速度的时间导数
　　现在，我们只剩下等号右边的项是不知道的，它们代表了施加在流体上的所有力 。
　　第一项 p是压强的梯度 ，它代表流体所在空间的压力差。如果有一个压力较低的区域和另一个压力较高的区域，流体将从高压区流向低压区。p的梯度正是表征了这样的关系。
　　第二项描述的是流体的粘度 。考虑两种不同的流体，例如水和蜂蜜。当你倒出一杯水，水很容易地飞出杯子落向地面。当你用蜂蜜做同样的事，由于蜂蜜是粘稠的，会下落得非常慢。这就是这一项所表达的意思。
　　最后一项是最简单的一项，它代表的是作用在流体上的所有外力 。通常，我们认为这种力是重力。
　　综上所述，所有这些奇特得符号和字母表达的关系仅仅是＂力 = 质量 加速度＂。
　　纳维-斯托克斯方程组的应用
　　由于解这些方程极端复杂，为了使用它们我们需要做出很多近似 。其中两个例子是泊肃叶流动和库爱特流动（Poiseuille and Couette flow）。通过大量假设，这两位科学家能够为一个非常具体的应用找到纳维-斯托克斯方程的解。然而，如果我们想把它们用于更复杂的情形，比如天气预报，我们需要些补充。
　　使用这些方程最常用的方法是用雷诺平均数 对它们进行变换，利用这种方法得到的是雷诺方程组 。 它们通常被称为RANS（Reynolds averaged Navier-Stokes）方程。
　　RANS方程组（角标m代表平均量）
　　当流体处于湍流 （turbulent flow）状态时可以使用这些方程。除了最后一项，它们看起来几乎和纳维-斯托克斯方程一模一样。最后一项被称为雷诺应力张量，正是这个量能够解释流体中的湍流。
　　在RANS方程中，我们使用的量是对某个时间间隔做平均之后的量。这个时间间隔必须足够小，以便观测我们正在研究的现象。同时，它必须足够大，以使湍流效应的影响较小。
　　在正确的假设下，这些方程是有效的。我们知道如何利用它们使F1赛车更快、使航天器进入国际空间站、或是进行天气预报。
　　你可能还想知道对这些方程的证明怎么能值100万美金？
　　百万美金大奖
　　从物理学的观点看，这些公式只是应用于流体的牛顿第二定律。当我们做出一些合理的假设 和一些合理的简化 以后，我们可有利用这些方程做一些令人惊奇的事情。
　　问题是，不引入近似的话这个方程组是非常复杂的。想要解出它们实在是太难了，以至于到现在还不能证明 解析解是存在的。这就是千禧年大奖的由来。
　　关于这个问题的官方表述是：
　　证明 以下命题或给出它的反例 ：在三维空间加一维时间中，给定一个初始的速度场，可以找到一个光滑 且全局有定义的矢量速度场 和一个标量压力场 作为纳维-斯托克斯方程的解。
　　这意味着如果你想获取一百万美元的奖金，你必须做三件事：
　　对于工程师来说只需要知道，即使基础只是一定程度的假设，这些方程仍然是有效的；然而对于数学家来说，知道这些解是否存在以及它们的意义是非常重要的。
　　你现在可能会想，这个公式有用就可以了，花费时间和精力寻找证明完全是浪费时间。嗯，就像人类历史上的许多技术进步一样，这个结果似乎并不重要。重要的是通往那里的道路，它可以为我们的生活带来新的知识和改善。
　　比如说航天计划，如果人类从来没有想过要去月球上走一走，我们会失去很多可以改善我们生活状况的设备。核磁共振成像仪和心脏起搏器就来自为太空探索而开发的技术。今天，世界各地的医生每天都在使用它们来拯救生命。
　　同样的道理也适用于对纳维-斯托克斯方程的研究。探索纳维-斯托克斯方程解的过程将有助于提高我们对流体或其他事物的理解。它可以引导我们获得新的发现，可能还需要探索新的数学方法。这可以用来解决其他许多问题，发明新技术来改善我们的生活，让我们变得更好。
　　作者： Alessandro Bazzi
　　翻译：Nothing
　　审校：zhenni
　　原文链接：
　　The Navier-Stokes Equations. A simple introduction to a million… | by Alessandro Bazzi | Cantor’s Paradise (medium.com)
　　翻译内容仅代表作者观点
　　不代表中科院物理所立场