等角线 是空间中相交于同一个点的一组直线，而这些直线中两两形成的夹角都相等。
　　在二维平面中，正六边形的三条对角线就是一组等角线，任意两条线形成的夹角都是60 。同时，这种情况也是二维中等角线数量的极限，换句话说， 在二维中等角线最多有三条 。
　　二维平面中的等角线。| 图片来源：毛尖尖；素材参考：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
　　而在三维空间中，连接 正二十面体 相对顶点的6条线同样是一组等角线，它们两两之间会形成63.4 的夹角。这组等角线数量也是三维空间中的最大值 。
　　三维空间中正二十面体和6条等角线。 图片来源：Zilin Jiang / MIT
　　但对数学家来说，探索并不局限于三维空间。在一些数学家眼中，高维才真正让事情开始变得有趣，其中似乎包含着无限可能。
　　但对等角线而言，它们在高维中并不是无限的。 麻省理工学院的赵宇飞 和他的团队尝试解决了高维空间中这个直线几何的问题。这个问题困扰了研究人员至少70年。这项突破确定了高维中给定角度的等角线的最大可能数量 。论文即将发表在2022年1月的《数学年刊》上。
　　当维度超过三时，我们不可能真正在脑海中想象得出等角线的构造是什么样子的，这也是为什么计算任何维度中等角线的最大数量是非常困难的。
　　自上世纪中叶起，等角线的极值几何研究已经开始受到广泛的关注。1973年，数学家 莱门斯 （P. W. H. Lemmens） 和塞德尔 （J. J. Seidel） 在一篇发表于《代数学报》的论文中详细阐述了研究给定角度的等角线的最大数量的问题。
　　但之后的几十年，对相关问题的研究停滞了很长一段时间。直到几年前，2017年，数学家 苏达科夫 （Benny Sudakov） 带领的研究团队在等角线最大数量的研究中取得了一些重要进展。
　　从本质上来说，苏达科夫沿用了研究＂不可观察＂的对象时经常使用到的数学方法。他们 寻找其他类型的数学对象来表示直线的存在 。简单来说，他们将这些直线和向量及其运算联系在了一起，并将其转化成矩阵 。这样一来，线性代数 的工具就顺理成章地被引入，从而进行进一步探索。
　　苏达科夫使用到的方法在二维中的简化版示意。 图片来源：毛尖尖；素材参考：Lucy Reading-Ikkanda/QM
　　图论 是一种研究点如何通过边相互连接的学科。借助图论的语言重新解构并分析这个几何问题后，研究的主要创新便随之显现。
　　在这个等角线问题中，图形的点就表示向量。点根据特定的颜色规则相互连接，将红色和绿色的线进行配置，从而构建出了一种截然不同的方式来审视原来那个问题。
　　类似的方法也可以应用在更高维度中，比如五维中8条直线的图和矩阵。 图片来源：毛尖尖
　　在苏达科夫取得这项进展后不久，他前往MIT进行访问活动，并在组合学研究研讨会上谈到了他在等角线方面的进展。
　　赵宇飞在采访中表示，着手研究这个问题是因为他原本正在寻暑期项目课题，他认为等角线是一个有待解决的大问题，也相信团队可能会取得一些不错的进展。但最终完全解决整个问题绝对超出了他的预期。
　　在这项新研究中，团队仍然是借助线性代数的工具去理解图和网络，通过图形及其转化后的矩阵来得到所谓的＂谱＂，也就是所谓 谱图论 的方法。用赵宇飞的比喻，这就好比用一束强光照在一张图上，然后检查出现的颜色光谱。
　　团队在这些谱中发现了一些之前从未被观察到的基本事实 。新的研究带来了谱图论中的一个新定理：有界度图必须具有次线性第二本征值重数。这个定理的证明需要格外的洞察力，将图的谱与图中小块的谱联系在一起。而他们的证明清晰而明了。
　　这篇论文为谱图论领域提供了新的见解，并 为研究网络提供了数学工具 。谱图论已经引出了计算机科学中的不少重要算法，如谷歌搜索引擎的PageRank算法。
　　这种对等角线的新理解同样对编码和通信具有潜在的重要意义 。等角线是＂球形码＂（spherical code） 的一个例子，这正是信息论中的重要工具，它允许各方通过嘈杂的通信信道互相发送信息，比如NASA与其火星探测器之间的通信。
　　#创作团队：
　　编译：Måka
　　#参考来源：
　　https://news.mit.edu/2021/mathematicians-solve-old-geometry-problem-equiangular-lines-1004
　　https://www.quantamagazine.org/a-new-path-to-equal-angle-lines-20170411/
　　#图片来源：
　　封面来源：Zilin Jiang / MIT；封底：Pixabay

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