0的0次幂到底是等于0等于1还是不存在？最深度剖析0的0次方！

　　我们都知道以下两个结论：
　　①0的任何正数次幂都等于0：0^x=0，x 0
　　②任何非0实数的0次幂都等于1：x^0=1，x 0
　　今天我们来讨论一个争论已久的问题，0的0次幂到底等于多少？
　　0^0=?
　　从表面上来看，如果0^0=0，就会与x^0=1矛盾；如果0^0=1，就会与0^x=0矛盾。看上去无论将0^0定义成0还是1，都不是很恰当。
　　于是有人提出0^0就和分母为0一样，是无意义的。理由如下：
　　0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0
　　此时会出现分母为0，所以0^0无意义。
　　看上去似乎有些道理，但这样的解释显然不能让人信服，我们完全可以类似地来理解0^1。
　　0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0
　　按照之前的解释，同样会出现分母为0，那么0^1也是无意义的，这与我们公认的0^1=0显然是矛盾的。
　　我们必须转换思路。我们很容易想到利用极限来理解这个问题，0^0可以看作函数f(x)=x^x，当x趋于0+的极限值。我们先用计算器来算一下：
　　0.1^0.1=0.794……
　　0.01^0.01=0.954……
　　0.001^0.001=0.993……
　　0.0001^0.0001=0.999……
　　…………
　　可以明显感觉到，当x 0+时，x^x 1。其实这个结论是可以严格证明的。
　　求证：lim(x^x)=1，x 0+
　　证明：
　　lim[ln(x^x)]=lim[x ln(x)]=lim[ln(x)/(1/x)]，x 0+
　　当x 0+时，ln(x) - ，1/x +
　　此极限为＂- /+ ＂型的未定式，根据洛必达法则
　　lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x 0+
　　=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)，x 0+
　　=-0=0=ln1，x 0+
　　lim[ln(x^x)]=ln1=0，x 0+
　　lim(x^x)=1，x 0+
　　证毕！
　　到这里，问题似乎得到了圆满的解决，0^0=1，而且计算器也是这样显示的。
　　我们再深入来思考一下这个问题，如果0^0=1，那么对于0^x：
　　①当x 0时，0^x=0；
　　②当x=0时，0^x=1；
　　③当x 0时，-x 0，0^x=0^[-(-x)]=1/0^(-x)=1/0=
　　这一切看上去非常丝滑，就连欧拉也认可其合理性，欧拉称这个变化为一次巨大的跳跃。
　　但另一位大神柯西却不认同这种观点，柯西认为如果你能够构造极限lim(x^x)=1，x 0+，来说明0^0=1。那么，我同样可以构造另一个极限：lim[e^(-1/x^2)]^x，x 0+
　　首先，当x 0+时，
　　e^(-1/x^2) e^(-1/0) e^(- ) 1/e^(+ ) 1/(+ ) 0
　　这个极限仍然是＂0^0＂型，接下来我们来求一下这个极限值：
　　求极限：lim[e^(-1/x^2)]^x，x 0+
　　解：
　　ln{[e^(-1/x^2)]^x}=x ln[e^(-1/x^2)]=x (-1/x^2) ln(e)=(-1/x) 1=-1/x
　　lim=lim(-1/x)=- ，x 0+
　　lim[ln(0+)]=-
　　lim=lim[ln(0+)]=-
　　lim[e^(-1/x^2)]^x=0，x 0+
　　我们求得了，对于以上＂0^0＂型求极限，极限值为0。也就是说，0^0=0。
　　类似地，我们还可以再构造极限：lim[e^(-1/x^2)]^(-x)，x 0+。显然，这个极限仍然是＂0^0＂型。
　　求极限：lim[e^(-1/x^2)]^(-x)，x 0+
　　解：前面我们已经证明了
　　lim[e^(-1/x^2)]^x=0，x 0+
　　lim[e^(-1/x^2)]^(-x)=lim{1/[e^(-1/x^2)]^x}=1/0= ，x 0+
　　lim[e^(-1/x^2)]^(-x)= ，x 0+
　　我们又求得了，对于以上＂0^0＂型求极限，极限为 。也就是说，0^0= 。
　　同样是＂0^0＂型求极限，我们得出了3个不同的极限值，分别是1，0和 。这时，人们才意识到＂0^0＂型是一个未定式，其极限值具体是多少要分情况来看。
　　所谓未定式是指，极限值不确定的形式。未定式的极限值有可能存在，也有可能不存在；如果未定式的极限值存在，也有可能不唯一。
　　未定式一共有7种类型，分别为：
　　- 型、0 型、 / 型、0/0型、1^ 型、 ^0型以及0^0型。
　　到这里，我们终于可以回答这个问题了，0^0到底等于几，要分具体情况来看。不同的情况下，对应不同的取值。0^0有可能等于1，也有可能等于0或其他值，还有可能是不存在的。