指数分布的方差是什么（指数分布的协方差）

　　离均差、方差、均方差、协方差这几个数学名词都听上去都差不多，可是在日常工作生活中能用得上这些概念的人应该不多，今天就来说说其中的差别。
　　要想搞清楚什么是离均差、方差、均方差和协方差，得先从均值这个概念开始。哪怕是数学再不好的人，也应该知道算术平均数是怎么回事吧。
　　以标准普尔500指数为例，在2018年9月10日至9月21日期间共有10个交易日，自然也就有10个标准普尔500指数的收盘价。将这10个交易日的标准普尔500指数收盘价相加后除以交易天数10，就会得出这10个交易日标准普尔500指数收盘价的均值2,902.46。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值
　　2018-9-10
　　2,877.13
　　2,902.46
　　2018-9-11
　　2,887.89
　　2018-9-12
　　2,888.92
　　2018-9-13
　　2,904.18
　　2018-9-14
　　2,904.98
　　2018-9-17
　　2,888.80
　　2018-9-18
　　2,904.31
　　2018-9-19
　　2,907.95
　　2018-9-20
　　2,930.75
　　2018-9-21
　　2,929.67
　　合计
　　29,024.58
　　有了均值，下面就可以计算离均差，离均差就是一组数据中各个数值与该组数据均值的差异。用上述10个交易日的收盘价分别减去均值2,902.46，可以得出每一个收盘价的离均差。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值M
　　离均差=X-M
　　2018-9-10
　　2,877.13
　　2,902.46
　　(25.33)
　　2018-9-11
　　2,887.89
　　(14.57)
　　2018-9-12
　　2,888.92
　　(13.54)
　　2018-9-13
　　2,904.18
　　1.72
　　2018-9-14
　　2,904.98
　　2.52
　　2018-9-17
　　2,888.80
　　(13.66)
　　2018-9-18
　　2,904.31
　　1.85
　　2018-9-19
　　2,907.95
　　5.49
　　2018-9-20
　　2,930.75
　　28.29
　　2018-9-21
　　2,929.67
　　27.21
　　离均差是计算方差的基础，将离均差乘方，相加求和后再除以10求平均值，得出来的结果就是这组数据的方差，方差衡量的也是一组数据中各个数值与该组数据均值的离散程度。在下表中，方差等于280.7405。方差的计算公式为
　　，其中x为样本平均值，n为样本的大小。
　　日期
　　标准普尔500指数X
　　均值M
　　离均差
　　(离均差)^2=σ2
　　2018-9-10
　　2,877.13
　　2,902.46
　　(25.33)
　　641.51
　　2018-9-11
　　2,887.89
　　(14.57)
　　212.23
　　2018-9-12
　　2,888.92
　　(13.54)
　　183.28
　　2018-9-13
　　2,904.18
　　1.72
　　2.97
　　2018-9-14
　　2,904.98
　　2.52
　　6.36
　　2018-9-17
　　2,888.80
　　(13.66)
　　186.54
　　2018-9-18
　　2,904.31
　　1.85
　　3.43
　　2018-9-19
　　2,907.95
　　5.49
　　30.16
　　2018-9-20
　　2,930.75
　　28.29
　　800.44
　　2018-9-21
　　2,929.67
　　27.21
　　740.49
　　合计
　　29,024.58
　　2,807.4055
　　280.7405
　　有了方差，标准差就迎刃而解了，因为标准差=方差的平方根，用σ表示。因此，前面这组数据的标准差=(280.7405)^(1/2)=16.7553。
　　且慢…以上的计算过程是基于该组数据是样本数据的总体这一前提假设，也就是说在标准普尔500指数的历史上只有2018年9月10日至9月21日这10个交易日的收盘价。当然这是不可能，因为这些数据只是抽样数据，是为了举例说明而给定的样本数据而不是数据的全部，因此需要对以上计算过程略作调整。上表中的和2,807.4055应除以（10-1）而不是10，方差的结果变成311.9339，同样标准差也就变成=(311.9339)^(1/2)=17.6617：
　　标准差又名均方差，是离均差平方的算术平均数的平方根，可用来衡量一组数据中各个数值与该组数据均值的离散程度。标准差的计算公式为
　　，其中x为样本平均值，n为样本的大小。标准差越大，说明该组数据中大部分数据与均值的差异较大。均值相等的两组数据，标准差却未必相同。比如，有A、B两组数据，如下表所示，这两组数据的均值都等于5。
　　A
　　B
　　3
　　4.8
　　5
　　5.2
　　4
　　4.3
　　6
　　5.7
　　7
　　5
　　但各数据偏离均值的程度是有差异的…，可以看到均值相等的两组数据中，A组中各个数据之间的差异程度要高于B组。
　　小结一下：方差是标准差的平方，是离均差平方的和的均值。
　　通过以上的演示计算，可以看到离均差、方差、标准差衡量的都是某一组数据内部各数值偏离均值的程度，通俗地讲是自己跟自己比。但下面介绍的协方差比较的是两组数据之间的差异程度。协方差的计算公式为
　　其中
　　是两个数据系列的样本平均值，x、y为数据系列中的单个数据，n为样本的大小。
　　如果用于比较的两组数据完全相同，那么其方差和协方差的计算结果是一致的，因此方差只是协方差的一个特例。
　　有了方差和协方差，下一步就可以计算相关系数了，公式为
　　其中是两个数据系列的样本平均值，x、y为数据系列中的单个数据，n为样本的大小。
　　需要注意，如果用协方差计算相关系数，协方差中的x、y假设为全体数据，因此协方差公式中的标准差计算时，需要除以n而不是n-1。
　　以西德克萨斯轻质原油和标准普尔500指数为例，计算其收益率之间的相关系数，收盘价取值日期为2018年9月10日至9月21日。
　　分布推导的结果与EXCEL自带函数计算结果相符。