截长补短法（中考数学压轴题分析：截长补短）
　　【中考真题】
　　（2020•安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
　　（1）求证：BD⊥EC；
　　（2）若AB＝1，求AE的长；
　　（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=√2AG．
　　【分析】本题最后一问需证明EG﹣DG=√2AG。结论中包含线段的和差等量关系，容易联想到截长补短的方法。
　　三大辅助线技巧——截长补短
　　由于又出现√2，因此考虑构造等腰直角三角形。
　　在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
　　当然，如果顺时针将△AFG旋转90°也可以得到结论。
　　【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
　　∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
　　又∵AE＝AD，AF＝AB，
　　∴△AEF≌△ADB（SAS），
　　∴∠AEF＝∠ADB，
　　∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
　　即∠EGB＝90°，
　　故BD⊥EC，
　　（2）∵四边形ABCD是矩形，
　　∴AE∥CD，
　　∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
　　∴△AEF∽△DCF，
　　∴AE/DC=AF/DF，
　　即AE•DF＝AF•DC，
　　设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
　　解得a=(1+√5)/2或(1-√5)/2（舍去），
　　∴AE=(1+√5)/2．
　　（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
　　在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
　　∴△AEP≌△ADG（SAS），
　　∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
　　∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
　　∴△PAG为等腰直角三角形，
　　∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．

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