周期函数(掌握好函数的周期性)
周期函数(掌握好函数的周期性)
函数,大家都很熟悉,可以说是中学数学学习阶段最主要、最核心的内容之一。一个人如果要想学好数学,在中考高数学中取得高分,那么他就必须学好函数,掌握好函数所有知识内容。因此,可以毫不夸张地说,函数是整个中学数学的基础。
函数的知识内容之所以会成为中高考数学的重点与热点,那是因为跟函数相关的题型,可以千变万化、多种多样,能很好考查大家运用知识解决问题的能力,考查大家数学逻辑能力,考查大家在数学解题过程中表现出来的思维能力等等。
因此,今天我们就一起来讲一讲函数当中非常重要的一个性质,就是函数的周期性。函数的周期性是作为函数的一个基本性质,不仅常常出现在数学函数问题当中,而且我们如果利用函数的周期性去解决问题,往往能使一个复杂问题得到更加简便的解决。
什么是函数的周期性?
周期性这个词组从语文的角度来说,就是有规律地重复出现。
因此,对于任意实数(自变量有意义),当我们的自变量增大或减小时,函数值有规律的重复出现,我们就称之为周期性。
用具体数学语言去讲就是:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)(其中a+b=T),则说T是函数的一个周期,T的整数倍也是函数的一个周期。
典型例题1:
关于y=f(x),给出下列五个命题:
①若f(-1+x)=f(1+x),则y=f(x)是周期函数;
②若f(1-x)=-f(1+x),则y=f(x)为奇函数;
③若函数y=f(x-1)的图象关于x=1对称,则y=f(x)为偶函数;
④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称;
⑤若f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
填写所有正确命题的序号________.
解析:由f(-1+x)=f(1+x)可知,函数周期为2,①正确;
由f(1-x)=-f(1+x)可知,y=f(x)的对称中心为(1,0),②错;
y=f(x-1)向左平移1个单位得y=f(x),故y=f(x)关于y轴对称,③正确;
两个函数对称时,令1+x=1-x得x=0,故应关于y轴对称,④错;
由f(1-x)=f(1+x)得y=f(x)关于x=1对称,⑤错。
故正确的应是①③.
答案:①③
大家要记住一个概念,就是最小正周期。
对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
简单地说:在函数图象上,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
如对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
值得注意:如果以后无特殊说明,周期指的就是最小正周期。
周期函数性质:
1、若T(≠0)是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期。
2、若T(≠0)是f(X)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。
3、若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期。
4、若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
5、T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 (Q是有理数集)
6、若T1、T2是f(X)的两个周期,且 是无理数,则f(X)不存在最小正周期。
7、周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
重要推论:
1、若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|
2、若有f(X)的2个对称中心(a,0)(b,0)则T=2|a-b|
3、若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0),则T=4|a-b|
同时,在很多数学问题当中,周期性问题往往会和函数的奇偶性联系在一起。周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用。因此,大家如果想要更能更好的去解决周期性类问题,也要深入掌握好函数奇偶性的性质,如奇、偶函数的有关性质:
1、定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;
2、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;
3、若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;
4、利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.
典型例题2:
大家一定要记住,利用函数的周期性是求解周期函数问题是基本的方法。此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题。
在研究函数周期性过程中,我们发现函数的周期性还充分体现了数学美。函数学习,不要想的太枯燥,要学会从抽象的背后发掘数学美,发掘内在的数学思想,最终提升自身的数学素养。
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