用白铁皮做罐头盒（一张铁皮可以做25个罐头身） 提要 列一元一次方程解决实际问题是其他方程（组）解决实际问题的基础，列方程解应用题时，应根据具体问题中的数量关系列方程，建立方程模型再通过解方程来解决实际问题；在寻找复杂问题的数量关系时，应注意选择适当的方法，尽量使复杂问题直观化或条理化，求得方程的解必须检验，对照应用题看是否合理。 知识全解 一、列方程解决实际问题的步骤 列方程解应用题，就是把生活中的实际问题抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决，列方程解应用题的一股步骤可以简单地表示如下： (1)审：弄清题意和题目中的数量关系。 (2)设：用字母表示其中适当的未知数。 (3)找：找出能够表示实际问题全部含义的一个相等关系，这是解题的关键。 (4)列：对上述相等关系中涉及的量，列出必要的代数式，从而列出方程。 (5)解：解所列方程，得到未知数的值。 (6)答：检验所求解是否符合题意，写出答案，注意不要忘记单位。 提示 列方程解应用题时应注意的事项如下． (1)找等量关系注意事项：①根据实际应用问题，准确判断所要解决的问题，是属于前文所述的常见的4种类型，还是属于其他类型；②找准等量关系，并能用简洁的文字表述清楚；③能用含有未知数的代数式表示实际应用问题中的相等关系。 (2)设未知数注意事项：①设未知数一般是问什么，就直接设什么；②如果直接设未知数有困难，则应间接设未知数；③设未知数时，必须写清楚未知数的单位。 特别注意，在设未知数时，如果未知数设得恰当，所列出的方程会比较简洁，解起来也会比较方便；反之，方程很难列，甚至列不出来，有时虽然方程能列出来，但解起来却很麻烦。 二、列一元一次方程解应用题中几种常见的类型 (1)行程问题：基本数量关系是路程=速度×时间；顺水（风）速度=物体速度+水（风）速，逆水（风）速度=物体速度-水（风）速；相遇问题中，双方所走路程和=总路程；追及问题中，双方所走路程差=开始时相距路程等。 (2)等积变形问题：等周长、面积、体积变化前后分别对应周长、面积、体积不变。 (3)工程问题：基本数量关系是工作量=工作效率×工作时间；比较常见的数量关系是，一方的工作量+另一方的工作量=合作的工作量。 (4)存贷款问题． ①利息=本金×利率×期数。 ②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数)。 ③实得利息=利息-利息税。 ④利息税=利息×利息税率。 ⑤年利率=月利率×12。 ⑥月利率=年利率×1/12。 (5)商品营销问题，常用公式如下 ①利润及利润率公式：商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本），商品利润率=商品利润/商品进价。 ②折扣率：打n折，是指按原售价的n/10售出，n可以是小数（如7. 5折）； ③变形公式：利润=总收入-总成本=单价×销量-总成本；售价=进价+利润=（1+利润率）×进价。 (6)比赛积分问题． 积分的原则：不同的比赛有不同的积分办法。 ①如篮球、排球等比赛，其结果只有胜或负。通常胜一场得2分，负一场得1分。故有：总积分=胜场次数×2+负场次数×1； ②足球比赛，其结果有胜、平或负，通常胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，则有：总积分=胜场次数×3+平场次数×1。 (7)方案问题． 选择设计方案的一般步骤如下 ①运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况； ②用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论 方法点拨 类型1 配套问题 例1 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作25个盒身，或制作40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒，现有36张白铁皮，用多少张制作盘身、多少张制作盒底可以使盘身与盒底正好配套？ 【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是盒身的个数×2=盒底的个数；制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程求解即可 【解答】设用x张制作盒身，则用(36-x)张制作盒底， 根据题意，得2×25x=40×(36-x)， 解得x=16． 36-16=20（张）． 答：用16张制作盒身、20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套， 【方法总结】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解。注意运用本题中隐含的一个等量关系：＂一个盒身与两个盆底配成一套盒＂。 类型2 工程问题 例2 有一批零件加工任务，甲单独做40小时完成，乙单独做30小时完成，甲做了几小时后另有任务，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2小时，求甲做了几小时？ 【分析】设甲做了x小时，根据题意得等量关系：甲x小时的工作量+乙(x+2)小时的工作量=1，再根据等量关系列出方程即可。 【解答】设甲做了x小时，根据题意，得 x/40+(x+2)/30=1 解这个方程得x=16 答：甲做了16小时 【方法总结】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程。 例3 某工程队承包了某段全长1755m的过江隧道施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进。已知甲组比乙组平均每天多挖掘0.6m，经过5天施工，两组共挖掘了45m。 (1)求甲、乙两个班组甲均每天各挖掘多少米？ (2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余得工程中，甲组平均每天能比原来多挖0.2m，乙组平均每天能比原来多挖0.3m。按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【分析】问题(1)通过列一元一次方程来解决，设乙组平均每天掘进xm，则甲 组平均每天掘进(x+0.6)m，寻找等量关系＂经过5天施工，两组共挖掘了45m＂，列方程。 问题(2)借助问题(1)中结果进一步计算可得出所需结果。 【解答】(1)设乙组平均每天掘进xm，则甲组平均每天掘进(x+0.6)m，根据题意，得 5x+5 (x+0.6)=45， 解得x=4.2，则x+0.6=4.8． 答：甲组平均每天掘进4.8m．乙组平均饵天掘进4.2m． (2)改进施工技术后，甲组平均每天掘进4.8+0.2=5 (m)；乙组平均每天掘进4.2+0.3=4.5 (m)。 改进施工技术后，剩余的工程所用时间为( 1755 - 45)÷(5+4.5) =180（天） 按原来速度，剩余的工程所用时问为(1755-45)÷(4.8+4.2) =190（天） 少用天数为190-180=10（天） 答：能够比原来少用10天完成任务。 【方法总结】解应用题时，当题目中有几个不同单位时，往往因为粗心大意，忽略了统一单位而发生错误。因此方程中各个单位应统一，否则所列方程两边不等。 类型3 打折销售问题 例4 一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：利润率：（售价-进价）/进价×100%） 【分析】设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0.8x元，根据利润的售价-进价=进价×利润率建立方程求出其解即可 【解答】设这件外衣的标价为x元，依题意得 0.8x-200=200×10%． 0.8x=20+200 0.8x=220 x=275 答：这件外衣的标价为275元 【方法总结】本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据利润率=（售价-进价）/进价×100%建立方程是解答本题的关键 类型4 比赛积分问题 例5 足球比赛的计分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分。一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了 8场，输了1场，得17分。 请问：(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ (2)这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？ (3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标请分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？ 【分析】用方程计算球赛积分问题的方法：弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。本题的等量关系是总积分=胜场次数×3+平场次数×1 【解答】(1)足球比赛计分规则：总积分=胜场次数×3+平场次数×1 设这个球队胜x场，则平了(8-1-x)场。根据题意，得 3x+ (8-1-x)=17，解得x=5 答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场 (2)因为已经打了8场比赛，还剩下6场比赛，若全胜，则得18分。所以，打满14场比赛最高能得17+ (14-8)×3=35（分） 答：最高能得35分 (3)由题意知，剩下的6场比赛中，只要得分不低于12分即可。 所以胜不少于4场，一定可以达到预期目标，或胜3场、平3场，正好也能达到预期目标 答：在以后的比赛中这个球队至少要胜3场， 【万法总结】解决比赛求积问题时要分析清楚比赛规则，根据比赛计分方式和比赛场次列方程求解． 类型5 方案决策问题 例6 某地有一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元，当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力如下：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行。受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了以下三种方案。 方案一：将蔬菜全部进行粗加工 方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售 方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成 如果你是公司经理，你会选择哪一种方案？说明理由。 【分析】要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利益，再进行比较即可 【解答】方案一：将蔬菜140吨全部进行粗加工，每吨利润4000元。 4000×140=560 000（元） 方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售． 15 ×6×7 000+ (140-15×6)×1000=680 000（元） 方案三：设精加工x吨，则 x/6+(140-x)/16=15 解得x=60 7000×60+4000×(140-60)=740 000（元）． 故选择第三种方案 答：应选择方案三 【方法总结】计算方案三的销售金额时，若按＂问什么设什么＂就不容易找到与已知量的联系，这说明列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要。 中考链接 考点1 一元一次方程的实际应用 例1 某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同。2月份的销售量比1月份增加了10%，每辆车的售价比1月份降低了80元。2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（） A．880元 B．800元 C. 720元 D．1080元 【分析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x-80）元，依据＂2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元。2月份与1月份的销售总额相同＂列出方程井解答， 【解答】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为(x-80)元，依题意得 100x= (x-80)×100×(1+10%) 解得x=880 所以，1月份每辆车售价为880元 故选A 【点评】本题考查了一元一次方程的应用。根据题意得到＂2月份每辆车的售价＂和＂2月份的销售总量＂是解题的突破口。 例2 小明想从某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？ 【分析】设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是(x-10)元，依据＂5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同＂列出方程并解答 【解答】设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是(x-10)元 依题意得：5x=7 ×(x-10)， 解得x=35 所以35-10=25（元） 答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价是25元， 【点评】由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。