《四元玉鉴》主要内容简介及赏析

　　数学著作。全书三卷，共有二十四门，二百八十八问。元代朱世杰撰。（撰者事迹参见“《算学启蒙》”条）
　　祖颐《四元玉鉴后序》称：“平阳（今山西临汾西南）蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝谐撰《如积释锁》，绛（今山西绛县）人元裕细草之，报人始知有天元也。平阳李德载因撰《两仪群英集臻》，兼有地元。霍山（今山西霍县）邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》，末仅有人元二问。吾友燕山朱汉卿先生，演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元”。以上所述之诸书如《益古》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》，虽然都已失传，根据一般说法猜测，可能都是天元术的著作；而《两仪群英集臻》可能是天元、地元二元术的著作；《乾坤括囊》可能有两问涉及天元、地元、人元的三元术。朱世杰在天元术、二元术、三元术的基础上，创立了四元术，从而撰成《四元玉鉴》一书。
　　《四元玉鉴》卷上之前，胪列有“五图”，其第一图即是”今古开方会要之图”，就中有“梯法七乘方图”和“古法七乘方图”；前者是“今”法开方的示意图，而后者则是“古”法开方示意图；前者所示意的是增乘开方法，后者则是传统开方法。第二图即是“四元自乘演段之图”，就中四元是指“勾三、股四、弦五、黄方二”，这里用图形表示四数和的平方展开式。第三图即是“五和自乘演段之图”，就中“五和”是指“勾股和、勾弦和、股弦和、弦较和、弦和和”，这里用图形表示五数和的平方展开式。第四图即是“五较自乘演段之图”，就中“五较”是指“勾股较、勾弦较、股弦较、弦和较、弦较较”，这里用图形表示五数和的平方展开式。第五图即是“四象细草假令之图”，这里并不是图表，而是列举四道典型例题，分别用一元方程组、二元方程组、三元方程组，以及四元方程组求解的问题。朱世杰分别称之为：“一气混元”、“两仪化元”、“三才运元”、“四象会元”。
　　若将四道例题表示以现代形式，则有：
　　“一气混元”：
　　开方式X59X481X3719X238880。
　　“两仪化元”：
　　今式X32X2Y2XYXY22y20。云式X32XYXY22y20。
　　“三才运元”：
　　今式XYZXYZXY20。云式X2XYZXZ0。
　　三元之式X2Y2Z20。
　　“四象会元”：
　　今式X2YZ0。
　　云式X22XXY24YXZ4Z0。三元之式X2Y2Z20。
　　物元之式2X2YW0。
　　这四道例题不但给《四元玉鉴》有关各问提供解题的步骤，而且对其算法也给予示范作用。可见卷前所列之“五图”，是全书必备的预备知识。至于四元术的表示方法，正如莫若说“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。其形式如下左图所示，下右图所示则为一多项式：
　　X22Y23Z24W25X6Y7Z8W20XZ30XY40YW50XW100。
　　《四元玉鉴》卷上六门七十一问。即1。直段求源（18问），2。混积问元（18问），3。端匹互隐（9问），4。廪粟回求（6问），5。商功修筑（7问），6。和分索隐（13问），卷中十门一百零三问，即1。如意混和（2问），2。方圆交错（9问），3。三率究圆（14问），4。明积演段（20问），5。勾股测望（8问），6。或问歌彖（12问），7。茭草形段（7问），8。箭积交参（7问），9。拨换截田（19问），10。如像招数（5问）。卷下八门一百一十问。即1。果垛叠藏（20问）。2。锁套吞容（19问），3。方程正负（8问），4。杂范类会（13问），5。两仪合辙（12问），6。左右逢元（21问），7。三才变通（11问），8。四象朝元（6问）。
　　书中所有问题，几乎都涉及方程或方程组的解法。涉及四元方程组者有七问，涉及三元者十三问，涉及二元者三十六问，涉及一元者二百三十二问。在解法中，最重要的工作是消去法，也就是由四元消去一元而成三元，而成二元，而成一元。由于朱世杰的叙述过于简略，后人对于“互隐通分相消”，“剔而消之”，或“消而剔之”的理解则各有千秋，如清代学人徐有壬说：“四元之妙，在相消”。陈棠说：“四元不难于求如积，而难于相消”。
　　《四元玉鉴》另一重点内容，就是垛积、招差术，也就是高阶等差级数求和的问题，在“茭草形段”、“如象招数”、“果垛叠藏”三门中，集中论述了高阶等差级数求和问题，不难发现，朱世杰是很熟悉下列公式的：
　　123n12n（n1），
　　13612r（r1）
　　1（23）n（n1）（n2），
　　14101（23）r（r1）（r2）
　　1（234）n（n1）（n〔2）（n3），
　　。
　　在“如象招数”门最后一问注文为：
　　（今有官司）“依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方，每人日支钱二百五十文，问兵及支钱各几何”。
　　依据朱世杰的叙述列表如下：
　　按术计算则得共招兵数为：
　　S33435317323400人。
　　不难看出，这就是朱世杰用以计算兵数的四次等间距内插法公式。即
　　关于垛积的问题，虽然是由北宋沈括开始创立的，但到朱世杰的时代，则大放异采，在《四元玉鉴》里，朱世杰提出许多新的垛积问题，同时还把招差问题也就是高阶等差级数提高到一个完善的境界。正如阮元说：“茭草形段、如象招数、果垛叠藏各问，为自来算书所未及”。在《四元玉鉴》里，由二元术、三元术、发展到四元术是中国传统数学一次高度的发展，而高阶等差级数求和问题更是遥遥领先于世界的伟大成果。
　　流传到现今的《四元玉鉴》，有清人沈钦裴《四元玉鉴细草》的两种道光初年抄本，这两种抄本均藏于北京图书馆；另有罗士琳《四元玉鉴细草》，出版于道光十四年（1834年），现有观我生室本，志古堂本，古今算学丛书本，测海山房本，万有文库本等。