《益古演段》主要内容简介及赏析

　　数学著作。全书厘为三卷，共计六十四问。元李治撰。成书于大元己未年（1259年）。（李治事迹参见“《测圆海镜》”条）
　　李冶定居于封龙山时，曾阅读过一部《益古集》，而《益古集》也是一部数学著作，可惜此书早已散失。李冶可能在《益古集》的基础上，写成《益古演段》一书。正如他在序中说：“近世有某者，以方圆移补成编，号《益古集》，真可与刘（徽）、李（淳风）相颉颃。余犹恨其閟匿而不尽发，遂再为移补条段，细翻图式，使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉。客有订愚曰：‘子所述，果能尽轩隶之秘乎’？余应之曰：‘吾所述，虽不敢追配作者，诚令后生辈优而柔之。则安知轩隶之秘，不于是乎始’。”很明显，《益古演段》之“益古”二字显系源自《益古集》，而“演段二字意义，正如李锐所说：“所谓‘演’者，演立天元；‘段’者，以条段求之也”。其中“演立天元”，就是用天元术设定未知数并建立方程；“条段求之”，就是用图形解释方程；而“演段”二字，似应包括两方面，当是既用天元术建立方程，又以图形解释方程。
　　在《益古演段》里，李冶把《益古集》建立方程的方法，称为旧术；把天元术建立方程的方法，称为新术。所以有的问题则配备新、旧两术，有的问题只列新术。
　　根据记载可知，最初，在天元术中是用“人”字表示常数项；用“天”、“上”、“高”、“层”、“垒”、“汉”、“宵”、“明”、“仙”，分别表示未知数的一次、二次、、九次项；用“地”、“下”、“低”、减”、“落”、“逝”、“泉”、“暗”、“鬼”分别表示未知数的负一次、负二次、、负九次项。为了方便，李冶改变十九字为一字，即是用“元”表示一次项，或用“太”字表示常数项，而且用“元”不用“太”，或用“太”不用“元”。在《测圆海镜》里，由上到下采用降幂排列，如下左图；在《益古演段》里，由上到下采用升幂排列，如下右图所示：
　　以上两表都表示下列之多项式：
　　cx9bx8cxdcx1bx8ax9
　　至于李冶如何进行几何解释，今以卷上第十五问为例，用现代术语说明如下：
　　卷上第15问为：“今有圆田一段，内有方池水占之，外计地三十三亩一百七十六步。只云内方周不及外圆周一百五十二步。问外圆、内方各多少”。
　　李冶用新术解之如下：
　　设D为外圆径，a为内方池之一边，令xa则有4x1523DD，
　　（4x152）29D2（D）2。
　　即是12段也即4段外圆面积，
　　12x212a24a2。
　　即是12段也即4段内方池面积。以上两式相减，得：（4x152）212x2。
　　即是12段也即4段真田面积。暂寄一旁，作为“左式”。
　　再以（128096）为“同数”，与上式相消，得“开方式”为：
　　4x2（8152）x（1280961522）0。
　　解之得X25步。
　　其“旧术曰：十二之积步，为头位，以不及步自乘，减头位，余，八而一，为实。以不及步为从法。谦常置半步。开平方”。即得：
　　0。5x2152x12809615228
　　在旧术下，李冶注说：“新、旧二术不同者，旧术从简耳。算术本贵简易，而犹立新术者，缘旧术难画条段也”。可见，李冶非常重视条段法，因而列有“依条段求之：十二段积步内减不及步幂，为实。八之不及步，为从四步，为常法也”。还绘有“条段图”，并解释如下：
　　于是李冶解释说：“十二段圆积，该九段圆径幂；九段圆径幂；便是一个圆周幂也。据十二段圆积内，元少十二个方池；今于周幂内除折算外，剩四个池积，故以四步为常法也”。
　　李冶的这种几何解释，是依据天元术推求开方式步骤解释的。即是说明由旧术所得各项系数与新术所得各项系数不同的原因。
　　在《益古演段》里，一般说，不但有问，有答，而且还有法，有“条段求之”，有“义”和“旧术”。其中“条段求之”，即是几何解释；“义”，就是说明；而“旧术”，即是《益古集》之原术。
　　李冶所撰《测圆海镜》与《益古演段》两书，都是数学书籍，都是用天元术解几何问题的著作；但两者编排体例有所不同，前者侧重于推求容圆直径，后者侧重于推求几个图形面积的和或差；前者只用天元术解题，而后者则兼用新、旧两术；前者内容比较专深，后者则比较通俗。
　　《益古演段》流传至今的版本，计有清乾隆五十一年（1786）戴震校订的四库本，有李锐校订的知不足斋本，有白芙堂算学丛书本，还有古今算学丛书本以及丛书集成本等。