《测圆海镜》主要内容简介及赏析

　　数学著作。十二卷。原名为《测圆海镜细草》，后世一般称为《测圆海镜》。金、元间李冶撰。成书于戊申年（1248年）。
　　李冶，原名治，字仁卿，号敬斋，金代真定府栾城（今河北栾城县）人。金章宗明昌三年（1192年）生于其父任职之大兴城（今北京大兴县），卒于元世祖至元十六年（1279年），终年八十八岁，死后谥曰文正。
　　李冶自幼天资聪慧，性格颖悟，喜爱读书，手不释卷，尤其酷爱数学和文学书籍。其机智程度为一般子弟所不及。稍长，即到元氏（今河北元氏县）求学，于金哀宗正大七年（1230）赴洛阳应试，中“词赋科进士”，任命高陵（今陕西高陵县）“主簿”。因蒙古军进攻陕西，未到任即改调钧州（今河南禹县）任“知钧州事”，不久，于金哀宗天兴元年（1232），蒙古军攻克钧州，便弃官北上，虽然金哀宗也曾对抗蒙古军，但因政事腐败、国力单薄，天兴三年（1234），金廷灭亡。于是李冶流亡于忻、崞（今山西忻县、崞县）一带，后即隐居于崞东之桐川。
　　李冶在封龙山隐居期间，一面登坛设座聚众授徒，一面手不停披著书立说；除在桐川撰成《测圆海镜》外，在封龙山先后成书《益古演段》、《敬斋古今黈》、《泛说》、《文集》、《壁书丛削》等。其前两种是数学著作，第三种是一部随感录，记载了李冶对各种事物的心得体会，以及对文史的独到见解；很可惜，其后三种著作早已散失。
　　李冶在桐川隐居期间，曾得到“洞渊”九容之说，基于此，乃撰成《测圆海镜》一书。如序说：“吾自幼喜算数，恒病夫考圆之术，，老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而响之，病我者，使爆然落去，而无遗余。山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。既成编，客复目之。‘测圆海镜’盖取夫天临海镜之义也。”《测圆海镜》是一部古代数学名著，不仅是论述容圆问题之专著，也是天元术的代表作。
　　《测圆海镜》全书共十二卷，其编排，一改古代传统数学著作的体例，在第一卷里，列有“圆城图式”、“总率名号”、“今问正数”、“识别杂纪”等项，这些项目悉为全书一百七十问的预备知识。其“圆城图式”，是绘制在卷首的勾股容圆图形，即是勾股形及其内切圆的图形，如右图所示：
　　在勾股形及其内切圆图形中，过勾股形各特殊点作横、纵直线，将此勾股形分为十五个相似的勾股形，并在各勾股形之顶点分别标一汉字，以表示这一勾股形的名称。这一作法，与现今几何学的作法完全一致。
　　“总率名号”就是给各勾股形及其三边分别确定一名称。这也与现今几何学的作法相同。
　　“今问正数”，就是给各勾股形之三边分别设定一正整数。若现今设计这十五个相似勾股形的四十五条边之数值，不但需要是正整数，而且需要符合勾股形的要求，还需符合相似形的条件。因而既需要几何学的知识，也需要初等数论的有关理论。李冶能设计出符合要求的四十五个正整数，足可证明其造诣之深。
　　“识别杂纪”，共列出六百九十二条命题，这些命题都是涉及各勾股形边与边之间的计算公式，其中除有八条谬误者外，其余六百八十四条命题完全正确无误。这些命题中，有的是定义，有的是公理，有的是定理，都是为全书一百七十问提供理论和计算的依据。可见，《测圆海镜》之编撰有其独特之处，可以肯定，《测圆海镜》有步入演绎体系之倾向。
　　勾股容圆
　　《测圆海镜》第二卷，主要论证容圆公式，其中包括有：1。“勾股容圆”，就是推求勾股形内切圆直径公式；2。“勾上容圆”，就是推求圆心在勾边上，与股、弦两边相切圆直径公式；3。“股上容圆”，就是推求圆心在股边上，与勾、弦两边相切圆直径公式；4。“勾股上容圆”，就是推求圆心在直角顶上，与弦相切圆直径公式；5。“弦上容圆”，就是推求圆心在弦上，与勾、股两边相切圆直径公式；6。“勾外容圆”，就是推求勾边外之旁切圆直径公式；7。“股外容圆”，就是推求股边外之旁切圆直径公式；8。“弦外容圆”，就是推求弦边外之旁切圆直径公式；9。“勾外容圆半”，就是推求勾边之外，圆心在股边延长线上，与勾边、弦边延长线相切圆直径公式；10。“股外容圆半”，就是推求股边之外，圆心在勾边延长线上，与股边、弦边延长线相切圆直径公式，其中第一个容圆公式，可能得自《九章算术》，而后九个容圆公式则当是源于“洞渊”九容之说。这十个容圆公式，都是为第三至第十二卷所列各问而设。
　　天元术，就是以文字代表未知数，用以建立方程，来解决问题的方法。这一方法虽然形成于金末、元初时期的山西、河北一带，但是，最原始的论述多已散失，流传至今有关天元术之代表作，应推李冶《测圆海镜》一书。李冶通过对天元术的深入研究，在《测圆海镜》里，使天元术系统化、程序化、模式化，使天元术能广为流传，其功则是不可没。《测圆海镜》之一百七十问，都是使用天元术，其解答步骤是：首先，设“天元一”为某某；其次，依题意，列出一天元筹式，将此式暂且寄放于左旁，称为“左式”；再次，依题意，列出与之等价的另一天元筹式，称为“同数”；而后，使“左式”与“同数”相减，即是“如积相消”或“相消”；最后，即得一“开方式”，求得“开方式”的正根，就是答案。这些步骤相当于：设X为某某，依题意，得一含有X的多项式，再求一与之等价的多项式，两式相减，即得一元方程，解方程，就得答案。如《测圆海镜》卷十一第六问为：
　　“出西门（I）南行二百二十五步有塔，出北门（J）东行六十四步，望塔正当城径之半。问答同前（问圆城径）”。
　　在《测圆海镜》中有“法”、有“草”，今以现代形式表示其计算过程如下：
　　设X为圆城半径，由《识别杂纪》可知，两行步数相乘之积，等于圆半径的平方，此与直角梯形上、下底乘积的意义相同，又按“弦上容圆”算法，可得：
　　以（225x）看作股，以（64x）看作勾，勾股相乘得，
　　称为“大直积”，除以x得：
　　此式等于勾股相加之和，将此式寄于在旁，即是“左式”。
　　再取勾股相加之和，得
　　（225x）（64x）2892x
　　此即“同数”。使“左式”与“同数”相消，得：
　　解之得x120步，即圆城半径。
　　仅就这一问来看，不但可以看出李冶利用“望塔正当城径之半”的视线，来体现作勾股形平行弦的作法，也可看出李冶利用天元术解答问题的步骤。因而可以肯定，《测圆海镜》虽有一些缺欠处，但对李冶的贡献可概括为：
　　一、用一文字，按不同位置表示不同次数的未知项，使得由文词代数便于演变成符号代数。
　　二、对十进小数表示法，与现今方法相一致。
　　三、利用乘法消去分母，化分式方程为整式方程。
　　四、利用乘方消去根号，化根式方程为整式方程。
　　五、创立升位法及降位法，在解法上提供了某些方便。
　　六、对于正、负整指数幂的理解，与现今的理解相接近。
　　七、在方程的次数上，比以前有显著提高。
　　八、所列方程突破了“实常为负”的限制。
　　九、其天元筹式的写法，给“四元术”提供了方便。
　　十、在书末出现了文词代数的初步尝试。
　　李冶编写《测圆海镜》时间虽早，但刊刻出版却较晚。流传至今最早的版本，要算是北京图书馆所藏元代抄本《测圆海镜细草》十二卷，中科院也藏有一部抄本，此外则有由戴震校订的四库本，由李锐校订的知不足斋丛书本，还有白芙堂算学丛书本，同文馆集珍本，古今算学丛书本，丛书集成本等。